2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:19 


10/05/13
251
Всем добрый вечер.
Задана последовательность:
$
t_0 = a
$
$
t_1 = b
$
$
t_n = \frac{t_{n-1} + t_{n-2}}{2}
$ для всех $n \ge 2$
Требуется найти:
$$
\lim\limits_{n \to \infty} t_n$$
Как я начал решать:
1. Найти закрытую формулу общего члена.
Сперва решил найти производящую функцию.
$$
G(x) = \sum_{n=0}^{\infty}t_nx^n
$$
$$

(I) = (II) + (III)

t_0 = a + 0

t_1 = b + 0

t_2 = \frac{t_1}{2} + \frac{t_0}{2}

t_3 = \frac{t_2}{2} + \frac{t_1}{2}

...
$$
Первое равенство умножаем на $x^0$
Второе равенство умножаем на $x^1$ и т. д.
(I) - сумма элементов первого столбца, (II) - сумма элементов второго столбца, (III) - сумма элементов третьего столбца.
$$ (I) = \sum_{n=0}^{\infty}t_nx^n = G(x) $$
$$ (II) = a + bx + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}t_nx^{n+1} = \frac{1}{2}x \Bigl( \sum_{n=1}^{\infty} t_nx^n \Bigr) + t_0 + t_1x = \frac{1}{2}x \Bigl( G(x) - t_0 \Bigr) + t_0 + t_1x $$
$$ \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}t_nx^{n+2} = \frac{1}{2}x^2 \Bigl( \sum_{n=0}^{\infty} t_nx^n \Bigr) = \frac{1}{2} x^2 G(x) $$
Итак, допустим:
$$ (I) = (II) + (III) $$
Получаем:
$$ G(x) = \frac{1}{2} x (G(x)-a) + a + bx + \frac{1}{2}x^2 G(x)  $$
$$ G(x) = \frac{2bx-ax+2a}{2-x-x^2}  $$
Разложил производящую функцию на сумму простейших:
$$ G(x) = \frac{2b+a}{3} \cdot \frac{1}{1-x} + \frac{4(a-b)}{3} \cdot \frac{1}{x+2} $$
Вот. Дальше затрудняюсь. Какой шаг теперь сделать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Знаете, как сделать взрывчатку из стирального порошка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:25 


10/05/13
251
Извините, не понял метафору :D
Если честно, мне кажется что это решение абсолютно неверно,
точнее я думаю что в ней до хрена изъянов и ошибок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Отставить в сторону и делать без него. Ваше решение я не читал; оно может быть верным, может не быть, но производящие функции здесь - это избыточно мощная техника. Зачем? Там же общую формулу и так сразу видно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:32 


10/05/13
251
Предлагаете подобрать формулу и доказать по индукции?
Да, можно, но я пробовал, 2 часа искал такую формулу, но все время что-то было неправильно.
Если бы не было двойки, была бы последовательность Фибоначчи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
frankenstein в сообщении #870928 писал(а):
Сперва решил найти производящую функцию.
......................................................
Какой шаг теперь сделать?

Сперва решили слетать на Луну. После возвращения с Луны первым шагом стряхнити с себя лунную пыль, а вторым шагом ищите решение в виде $t_n=t^n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Найдите приращение, т.е. разницу между соседними членами последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 11:40 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Рассмотрите последовательность $u_n=\alpha t_n+\beta t_{n-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 12:06 


10/05/13
251
$$

t_1 - t_0 = b-a

t_2 - t_1 = \frac{a-b}{2}

t_3 - t_2 = \frac{b-a}{4}

t_4 - t_3 = \frac{a-b}{8}

t_5 - t_4 = \frac{b-a}{16}

...

t_{n+1} - t_{n} = \frac{(-1)^{n+1} a + (-1)^{n} b}{2^n}
$$

Интересно получилось, не знаю можно ли это применить как нибудь
чтобы найти формулу общего члена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Во-первых, $a=0,\;b=1$.
Во-вторых, найдите первых 5 - 10 чисел и посмотрите на их двоичную запись. Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 12:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
frankenstein в сообщении #870956 писал(а):
Интересно получилось, не знаю можно ли это применить как нибудь
Можно. Только найдите приращение в общем виде. В разности $t_n-t_{n-1}$ замените первое слагаемое по рекуррентной формуле.
А еще подумайте, как от разностей вернуться к исходной последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 12:34 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Увидев закономерность получилось, что то вроде этого
$t_n=\frac{1}{3}\frac{a \left((-1)^n+2^{n-1}\right)+b \left((-1)^{n+1}+2^n\right)}{ 2^{n-1}}$
По индукции наверное можно доказать ее правдивость
Ну а предел уже легко вычислить $\cfrac{1}{3} (a+2 b)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 12:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Это же линейное разностное уравнение, составляем характеристическое $\[1 = \frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{2{x^2}}}\]$, $\[{\lambda _1} = 1\]$, $\[{\lambda _2} =  - \frac{1}{2}\]$, тогда общее решение $\[{t_n} = {C_1}\lambda _1^n + {C_2}\lambda _2^n = {C_1} + {C_2}{( - \frac{1}{2})^n}\]$. С учётом $\[{t_0} = a\]$ и $\[{t_1} = b\]$ имеем $\[{t_n} = \frac{1}{3}[(a + 2b) + {( - 1)^n}{2^{ - n + 1}}(a - b)]\]$. Ну и $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {t_n} = \frac{1}{3}(a + 2b)\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 13:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Ms-dos4, хорошо, что вы показываете общее решение. Хотя в данном примере все проще. Имеем $t_n-t_{n-1}=-\frac12 (t_{n-1}-t_{n-2})$, откуда следует, что $u_n=t_n-t_{n-1}$ - геометрическая прогрессия. Ну, а $t_n=u_n+t_{n-1}=...$ - сумма этой прогрессии

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел рекуррентно заданной последовательности
Сообщение02.06.2014, 13:37 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
provincialka
Да, так действительно ещё проще. Мне это почему то сразу в глаза не бросилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group