Предел рекуррентно заданной последовательности

[frankenstein]

Всем добрый вечер.
Задана последовательность:
$ t_0 = a $
$ t_1 = b $
$ t_n = \frac{t_{n-1} + t_{n-2}}{2} $ для всех $n \ge 2$
Требуется найти:

$$ \lim\limits_{n \to \infty} t_n$$

Как я начал решать:
1. Найти закрытую формулу общего члена.
Сперва решил найти производящую функцию.

$$ G(x) = \sum_{n=0}^{\infty}t_nx^n $$

$$ (I) = (II) + (III) t_0 = a + 0 t_1 = b + 0 t_2 = \frac{t_1}{2} + \frac{t_0}{2} t_3 = \frac{t_2}{2} + \frac{t_1}{2} ... $$

Первое равенство умножаем на $x^0$
Второе равенство умножаем на $x^1$ и т. д.
(I) - сумма элементов первого столбца, (II) - сумма элементов второго столбца, (III) - сумма элементов третьего столбца.

$$ (I) = \sum_{n=0}^{\infty}t_nx^n = G(x) $$

$$ (II) = a + bx + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}t_nx^{n+1} = \frac{1}{2}x \Bigl( \sum_{n=1}^{\infty} t_nx^n \Bigr) + t_0 + t_1x = \frac{1}{2}x \Bigl( G(x) - t_0 \Bigr) + t_0 + t_1x $$

$$ \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}t_nx^{n+2} = \frac{1}{2}x^2 \Bigl( \sum_{n=0}^{\infty} t_nx^n \Bigr) = \frac{1}{2} x^2 G(x) $$

Итак, допустим:

$$ (I) = (II) + (III) $$

Получаем:

$$ G(x) = \frac{1}{2} x (G(x)-a) + a + bx + \frac{1}{2}x^2 G(x) $$

$$ G(x) = \frac{2bx-ax+2a}{2-x-x^2} $$

Разложил производящую функцию на сумму простейших:

$$ G(x) = \frac{2b+a}{3} \cdot \frac{1}{1-x} + \frac{4(a-b)}{3} \cdot \frac{1}{x+2} $$

Вот. Дальше затрудняюсь. Какой шаг теперь сделать?

[ИСН]

Знаете, как сделать взрывчатку из стирального порошка?

[frankenstein]

Извините, не понял метафору
Если честно, мне кажется что это решение абсолютно неверно,
точнее я думаю что в ней до хрена изъянов и ошибок.

[ИСН]

Отставить в сторону и делать без него. Ваше решение я не читал; оно может быть верным, может не быть, но производящие функции здесь - это избыточно мощная техника. Зачем? Там же общую формулу и так сразу видно.

[frankenstein]

Предлагаете подобрать формулу и доказать по индукции?
Да, можно, но я пробовал, 2 часа искал такую формулу, но все время что-то было неправильно.
Если бы не было двойки, была бы последовательность Фибоначчи.

[TOTAL]

frankenstein в сообщении #870928 писал(а):

Сперва решил найти производящую функцию.
......................................................
Какой шаг теперь сделать?

Сперва решили слетать на Луну. После возвращения с Луны первым шагом стряхнити с себя лунную пыль, а вторым шагом ищите решение в виде $t_n=t^n$

[provincialka]

Найдите приращение, т.е. разницу между соседними членами последовательности.

[EtCetera]

Рассмотрите последовательность $u_n=\alpha t_n+\beta t_{n-1}$.

[frankenstein]

$$ t_1 - t_0 = b-a t_2 - t_1 = \frac{a-b}{2} t_3 - t_2 = \frac{b-a}{4} t_4 - t_3 = \frac{a-b}{8} t_5 - t_4 = \frac{b-a}{16} ... t_{n+1} - t_{n} = \frac{(-1)^{n+1} a + (-1)^{n} b}{2^n} $$

Интересно получилось, не знаю можно ли это применить как нибудь
чтобы найти формулу общего члена.

[ИСН]

Во-первых, $a=0,\;b=1$.
Во-вторых, найдите первых 5 - 10 чисел и посмотрите на их двоичную запись. Да.

[provincialka]

frankenstein в сообщении #870956 писал(а):

Интересно получилось, не знаю можно ли это применить как нибудь

Можно. Только найдите приращение в общем виде. В разности $t_n-t_{n-1}$ замените первое слагаемое по рекуррентной формуле.
А еще подумайте, как от разностей вернуться к исходной последовательности.

[TelmanStud]

Увидев закономерность получилось, что то вроде этого
$t_n=\frac{1}{3}\frac{a \left((-1)^n+2^{n-1}\right)+b \left((-1)^{n+1}+2^n\right)}{ 2^{n-1}}$
По индукции наверное можно доказать ее правдивость
Ну а предел уже легко вычислить $\cfrac{1}{3} (a+2 b)$

[Ms-dos4]

Это же линейное разностное уравнение, составляем характеристическое $\[1 = \frac{1}{{2x}} + \frac{1}{{2{x^2}}}\]$, $\[{\lambda _1} = 1\]$, $\[{\lambda _2} = - \frac{1}{2}\]$, тогда общее решение $\[{t_n} = {C_1}\lambda _1^n + {C_2}\lambda _2^n = {C_1} + {C_2}{( - \frac{1}{2})^n}\]$. С учётом $\[{t_0} = a\]$ и $\[{t_1} = b\]$ имеем $\[{t_n} = \frac{1}{3}[(a + 2b) + {( - 1)^n}{2^{ - n + 1}}(a - b)]\]$. Ну и $\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {t_n} = \frac{1}{3}(a + 2b)\]$

[provincialka]

Ms-dos4, хорошо, что вы показываете общее решение. Хотя в данном примере все проще. Имеем $t_n-t_{n-1}=-\frac12 (t_{n-1}-t_{n-2})$, откуда следует, что $u_n=t_n-t_{n-1}$ - геометрическая прогрессия. Ну, а $t_n=u_n+t_{n-1}=...$ - сумма этой прогрессии

[Ms-dos4]

provincialka
Да, так действительно ещё проще. Мне это почему то сразу в глаза не бросилось.