Мат. ожидание суммы и произведения ДСВ

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: вычислить $M(X+Y)$ и $M(XY)$, если совместное распределение дискретных случайных величин $X$ и $Y$ задано таблицей:

$$\begin{tabular}{c|rrrr|} X | Y & -3 & -2 & 1 \\ \hline -2 & 0.1 & 0.15 & 0.05 \\ -1 & 0.05 & 0.15 & 0.2 \\ 1 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \\ \end{tabular}$$

Верно ли я понимаю, что величины $X$ и $Y$ могут быть зависимыми, и формулы $M(X+Y)=M(X)+M(Y)$ и $M(XY) = M(X) M(Y)$ использовать нельзя? Как в таком случае вычислить нужные мат. ожидания?

Спасибо!

[provincialka]

Первую - можно и для зависимых. Вторую - нет. Ваши величины точно зависимы (строки матрицы не пропорциональны друг другу)
А матожидания вычисляются как и всегда: значение функции в каждой ячейке (у вас - произведение $x$ и $y$) умножается на вероятность и складывается.

[Limit79]

provincialka
То есть для произведения нужно составить соответствующее распределение и считать в лоб его мат. ожидание?

[provincialka]

Я добавила в предыдущий пост.

[Limit79]

provincialka
А мат. ожидание суммы можно также вычислить?

[provincialka]

Можно. Но можно и по первой приведенной вами формуле.

[Limit79]

provincialka
Большое Вам спасибо!

Последний вопрос, коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

$$r_{xy} = \frac{M(XY) - M(X) \cdot M(Y)}{\sigma(X) \cdot \sigma(Y)}$$

?

(извиняюсь за глупый вопрос, просто я несколько запутался в формулах )

[provincialka]

Да, конечно.

[Limit79]

provincialka в сообщении #866231 писал(а):

матожидания вычисляются как и всегда: значение функции в каждой ячейке (у вас - произведение $x$ и $y$) умножается на вероятность и складывается.

Таким способом у меня получается $M(XY)=0.95$.

Я составил закон распределения вероятностей $XY$, посчитал мат. ожидание, оно равно $M(XY)=0.84$

Все перепроверил -- вроде везде все верно

Все-таки где-то у меня ошибка?

-- 21.05.2014, 22:57 --

Кстати говоря, $M(X) = -0.7$, $M(Y) = -1.2$, и $M(X) \cdot M(Y) = 0.7 \cdot 1.2 = 0.84$

-- 21.05.2014, 23:08 --

$$M(XY) = 6 \cdot 0.1 + 4 \cdot 0.15 - 2 \cdot 0.05 + 3 \cdot 0.05 + 2 \cdot 0.15 - 1 \cdot 0.2 -3 \cdot 0.1 - 2 \cdot 0.1 + 1 \cdot 0.1 = 0.95$$

Может отсюда что-нибудь вычесть нужно?

-- 21.05.2014, 23:23 --

Закон распределения $XY$:

$$\begin{tabular}{ ccccccccc } XY & -3 & -2 & -1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 6 \\ P & 0.075 & 0.225 & 0.14 & 0.105 & 0.16 & 0.1 & 0.12 & 0.075 \\ \end{tabular}$$

Причем $\sum p_{i} = 1$, то есть, вроде все верно. Но исходя из этого закона,

$$M(XY) = -3 \cdot 0.075-2 \cdot 0.225-1 \cdot 0.14+1 \cdot 0.105+2 \cdot 0.16+3 \cdot 0.1+4 \cdot 0.12+6 \cdot 0.075 = 0.84$$

[provincialka]

Как получены эти вероятности? Например, произведение $-3$ можно получить только как $1\cdot(-3)$, так что его вероятность равна 0,1 (стоит в соответствующей клетке)

Число 0,84 тоже получается, а именно, $M(X)\cdot M(Y)=0,84$

[Limit79]

provincialka
Я составил отдельно законы распределения для $X$ и для $Y$.

$$P\{X=1\} = 0.3$$

$$P\{Y=-3\} = 0.25$$

$$P\{X=1;Y=-3\} = 0.3 \cdot 0.25 = 0.075$$

-- 21.05.2014, 23:47 --

provincialka в сообщении #866275 писал(а):

Число 0,84 тоже получается, а именно, $M(X)\cdot M(Y)=0,84$

Но ведь это неверно, так как все-таки $M(XY) = 0.95$

[Otta]

Limit79 в сообщении #866279 писал(а):

provincialka в сообщении #866275 писал(а):

Число 0,84 тоже получается, а именно, $M(X)\cdot M(Y)=0,84$

Но ведь это неверно, так как все-таки $M(XY) = 0.95$

Как одно другому противоречит?

[Limit79]

Otta в сообщении #866288 писал(а):

Как одно другому противоречит?

В принципе никак, я подумал, это было сказано про искомое мат. ожидание $M(XY)$.

-- 22.05.2014, 00:03 --

По исходному распределению я посчитал отдельные распределения для $X$ и для $Y$ , потом исходя из этих двух распределений я посчитал распределение $XY$, и, в таком случае $M(XY)=0.84$.

Если считать $M(XY)$ из исходного распределения вот так:

provincialka в сообщении #866231 писал(а):

матожидания вычисляются как и всегда: значение функции в каждой ячейке (у вас - произведение $x$ и $y$) умножается на вероятность и складывается.

То получается $M(XY)=0.95$.

Первый вариант, видимо, неверен, из-за того, что $X$ и $Y$ зависимы (а таким образом можно считать только для независимых величин)

[Otta]

Limit79 в сообщении #866289 писал(а):

По исходному распределению я посчитал отдельные распределения для $X$ и для $Y$ , потом исходя из этих двух распределений я посчитал распределение $XY$,

Вы его неверно посчитали. И provincialka намекнула Вам, где ошибка.

[Limit79]

Otta в сообщении #866292 писал(а):

Вы его неверно посчитали. И provincialka намекнула Вам, где ошибка.

Я это понял Но, если исходно даны распределения двух независимых случайных величин $X$ и $Y$, то распределение $XY$ считается же именно так (перемножаем значения $X$ и $Y$, получаем значения распределения $XY$, считаем вероятности)?

Limit79 в сообщении #866289 писал(а):

Первый вариант, видимо, неверен, из-за того, что $X$ и $Y$ зависимы (а таким образом можно считать только для независимых величин)