Знакомство с умножением матриц

[worm2]

Часто концепция умножения матриц является таким небольшим камнем преткновения для студентов. Тема плохо усваивается, забываются определения, путаются строки со столбцами и т.п. Ну, по крайней мере, со мной так было, я несколько вальяжно относился к предметам на 1 курсе, ой да что там может быть сложного? Проблема невелика, конечно, последующие курсы заставят освоить эту тему or die. И всё-таки, нет причин не облегчать усвоение любой темы.
Вот этот рисунок (взял из Википедии) был для меня некоторым откровением:

Мне кажется, это первое, что должен видеть студент по этой теме, да и в дальнейшем эта схема должна более активно эксплуатироваться (в случае со мной это было не так, я увидел этот рисунок гораздо позже). Такой подход, как мне представляется, имеет ряд преимуществ:
1) Оказывается, мы с детства знакомы с перемножением матриц. Таблица умножения — не что иное, как произведение матрицы-вектора-столбца на матрицу-вектор-строку. Только "вектора" могут быть толще, или, другими словами, произведение матриц — это просто сумма нескольких таблиц умножения.
2) Мгновенно запоминается, что умножается "строка на столбец" и что "число столбцов в левой матрице равняется числу строк в правой". Если усвоить картинку, потом уже ничего нельзя перепутать.
3) А что будет, если поменять местами $A$ и $B$? Для случая таблицы умножения получается (опять со школы знакомое) скалярное произведение векторов, вау, это тоже частный случай перемножения матриц. Сразу видно, что умножение некоммутативно. Хотя для квадратных матриц, всё-таки, не сразу.
4) Ассоциативность, к сожалению, тоже не очевидна, нужно писать формулы. Но, хотя бы по размерностям видно: если $A$ можно умножить на $B$, а $B$ — на $C$, то $A$ умножаемо на $BC$, а $AB$ — на $C$.
5) Ранг можно сразу давать через decomposition rank: минимальная "толщина" сомножителей, на которые можно разложить матрицу. А уже потом показывать, что он равен "рангу по строкам" и "рангу по столбцам". Придётся, правда, сплясать вокруг нулевого ранга, но выгод, имхо, больше.

Может, мне просто не повезло, а эта схема и так уже достаточно активно используется?
Или у неё есть неочевидные изъяны, из-за которых предпочтителен более "формульный" подход?

[longstreet]

Я люблю картинки, но конкретно эта для меня не была бы помощью.

worm2 в сообщении #853730 писал(а):

Или у неё есть неочевидные изъяны, из-за которых предпочтителен более "формульный" подход?

Картинка не самодостаточна. Нужно дополнительно помнить про умножение и суммирование.

[nnosipov]

worm2 в сообщении #853730 писал(а):

Мне кажется, это первое, что должен видеть студент по этой теме, да и в дальнейшем эта схема должна более активно эксплуатироваться (в случае со мной это было не так, я увидел этот рисунок гораздо позже).

Конечно, такую картинку надо показать, а уж потом формулу писать. По моим ощущениям, студентов, которые не понимают умножения матриц (не могут перемножить), немного, даже очень мало. Один-два примера, и это уже трудно забыть. Ну а с рангами вопрос, конечно, более сложный, это требует заметных усилий. Здесь типичный ответ --- ранг это число строк (столбцов).

[arseniiv]

worm2 в сообщении #853730 писал(а):

4) Ассоциативность, к сожалению, тоже не очевидна, нужно писать формулы. Но, хотя бы по размерностям видно: если $A$ можно умножить на $B$, а $B$ — на $C$, то $A$ умножаемо на $BC$, а $AB$ — на $C$.

Ассоциативность станет ясна, когда будет показано, что $(AB)\mathbf x = A(B\mathbf x)$, а этот частный случай проще (кажется; не помню) доказать, чем общее $(AB)C = A(BC)$, а раз вокруг и так обычно при этом линейная алгебра, всё должно легко пройти, если порядок правильный, и доказательство для $C = \mathbf x$ можно будет разложить в доказательство для столбца $[0^{(m)},1,0^{(n)}]^\top$. Хотя это, наверно, не сильно убыстрит?

[Munin]

Для меня эта картинка является запутывающей. А "понимаю" я умножение матриц иначе. За основу взято не умножение матрицы на матрицу, а умножение матрицы на столбец. Умножение матрицы на матрицу - это много умножений матрицы на столбец: $AB=A[b_1\,b_2\,b_3]=[Ab_1\,Ab_2\,Ab_3].$ Умножение матрицы на столбец очень хорошо понятно и в абстрактном смысле (на вектор действует линейное отображение, иногда в другое пространство другой размерности), и в техническом - как считать (поясняющую картинку я приводил, могу повторить, но пока не буду, чтобы две картинки не мешались в голове у читающих тему).

На предлагаемой картинке внимание акцентируется на тех размерностях матриц-сомножителей, которые друг другу не соответствуют. А для меня важнее оказалось акцентировать внимание на тех размерностях, которые друг другу соответствуют. Остальное "само как-то образуется": если вам надо сложить куда-то $m\times n$ результатов, то они сами по себе свалятся в прямоугольник.

Ассоциативность в моём случае очевидна. И это достаточно большой плюс.

Ранг тоже важно понять в абстрактном смысле, а в техническом (decomposition rank) - не столь важно.

[ewert]

arseniiv в сообщении #853863 писал(а):

. Хотя это, наверно, не сильно убыстрит?

Боюсь, что сильно замедлит. Ассоциативность лучше доказывать тупо в лоб:

$$(A(BC))_{il}=\sum\limits_ka_{ik}(BC)_{kl}=\sum\limits_ka_{ik}\left(\sum\limits_jb_{kj}c_{jl}\right)=\sum\limits_j\left(\sum\limits_ka_{ik}b_{kj}\right)c_{jl}=\sum\limits_j(AB)_{ij}c{jl}=((AB)C)_{il}$$

Это полезно проделать просто для того, чтобы приучить к формальным манипуляциям со значками и к тому, что за этими манипуляциями стоит (раскрытие скобок, перегруппировка слагаемых и снова вынесение за скобки).

Конечно, гораздо проще сослаться на то, что ассоциативность для операторов тривиальна. Однако операторы -- более сложное (точнее, более абстрактное) понятие и вводится уже позже.

[arseniiv]

Как будто и правда коротко.
(В сторону.) Но матрицы, которые можно умножать, всегда являются операторами!

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #853976 писал(а):

Конечно, гораздо проще сослаться на то, что ассоциативность для операторов тривиальна. Однако операторы -- более сложное (точнее, более абстрактное) понятие и вводится уже позже.

Чего в нём сложного? С функциями все со школы знакомы. А оператор - это просто такая функция. Ассоциативность композиции для функций тривиальна.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854004 писал(а):

А оператор - это просто такая функция.

Совершенно верно. Однако его ещё пока что нет, увы. Тем более ещё нет матрицы оператора и даже оператора умножения на матрицу.

[Munin]

(Оффтоп)

Вводя умножение матрицы на столбец, мы вводим и оператор на столбцах - функцию. И у нас сразу автоматически в подарок ассоциативность.

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #854053 писал(а):

Вводя умножение матрицы на столбец, мы вводим и оператор на столбцах - функцию.

Нет, не вводим; это преждевременно и сильно отвлекает.

А вот с чем я согласен -- так это с тем, что умножение матрицы на столбец (как частный случай умножения вообще) хорошо стимулируется потребностью формализовать запись линейных систем.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #854060 писал(а):

Нет, не вводим; это преждевременно и сильно отвлекает.

Я пропустил слово "тем самым". То, что это функция, очевидно. Подробно говорить о её свойствах и не надо, достаточно заметить, что это функция.

ewert в сообщении #854060 писал(а):

А вот с чем я согласен -- так это с тем, что умножение матрицы на столбец (как частный случай умножения вообще) хорошо стимулируется потребностью формализовать запись линейных систем.

Я этого, вроде, и не провозглашал.

Это соответствует историческому ходу возникновения линейной алгебры, примерно в 19 веке. Но я не сторонник излагать логику предмета по его истории.

[arseniiv]

ewert в сообщении #854060 писал(а):

Нет, не вводим; это преждевременно и сильно отвлекает.

А разве матрицы не вводятся почти вместе с их умножением на столбцы? Какой смысл в матрице, если она просто стоит?

[ewert]

arseniiv в сообщении #854168 писал(а):

А разве матрицы не вводятся почти вместе с их умножением на столбцы?

Нет.

Тут чисто технологический момент. Алгебраические операции над матрицами -- это вещь в себе, и достаточно увесистая. Непосредственный стимул к их (матриц) введению -- это необходимость формализации систем линейных уравнений. Именно самих систем; от их формализации, и даже от соотв. формализации элементарных операций метода Гаусса, до умножения матрицы на столбец -- довольно далеко. Это уже следующий уровень. Жить же надо здесь и сейчас.

-- Чт апр 24, 2014 23:18:22 --

Munin в сообщении #854069 писал(а):

То, что это функция, очевидно.

Это Вам очевидно. Школьники же (а речь именно о вчерашних школьниках) с векторными функциями векторного аргумента никогда в жизни не сталкивались. На математике -- не сталкивались абсолютно; на физике -- если и сталкивались, то лишь как с неким абстрактным набором набором значков. Им нужно к этому понятию как минимум привыкнуть. Между тем в курсе линейной алгебры -- время не ждёт; там нужен результат здесь и сейчас.

[Munin]

ewert в сообщении #854231 писал(а):

Это Вам очевидно. Школьники же (а речь именно о вчерашних школьниках) с векторными функциями векторного аргумента никогда в жизни не сталкивались.

Ну, с определением функции-то они хотя бы сталкивались?