2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 18:40 


04/04/15
8
Спасибо за помощь в решении! Думал, что я дурак (что отчасти верно, мог ведь другие пособия/учебники использовать), а оказалось, что в недопособии Письменного просто-напросто нет формулы Лагранжа, которая даже в Википедии есть. Втопку эту макулатуру тогда. Пара невыясненных нюансов по теме:

1. Как прийти к замене $((\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{c}\times \bar{d}) )^2=a^2(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^2$? Догадаться? Весьма нетривиально, на мой взгляд дилетанта.
2. Известен ли вам другой способ решения?

И один вопрос не совсем по теме, но близкий. В приведенном в Википедии доказательстве тождества Лагранжа был рассмотрен, ИМХО, какой-то слишком частный случай (что недопустимо, если я правильно понимаю):
Цитата:
Выберем правый ортонормированный базис $\vec{e_1},~ \vec{e_2},~ \vec{e_3}$ так, чтобы
$\vec{a} = \alpha_1 \vec{e_1} + \alpha_2 \vec{e_2} + \alpha_3 \vec{e_3},$
$\vec{b} = \beta_1 \vec{e_1} + \beta_2 \vec{e_2},$
$\vec{c} = \gamma_1 \vec{e_1}.$


Почему $\vec{b}$ и $\vec{c}$ не имеют вторых координат, а $\vec{c}$ не имеет еще и 3-й? По-моему, должны быть все координаты, ведь так? Тогда тождества, вроде как, не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 18:55 
Заслуженный участник


23/07/08
6541
Харьков
Как преобразовать $(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})$ ? Ну, руководящая идея — пользуясь формулой «бац минус цаб», раскрывать, раскрывать и раскрывать, надеясь на обнуления и сокращения (эта надежда действительно оправдывается).

Насчет тождества Лагранжа — укажите ссылочку, пожалуйста. Сам что-то не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 19:05 


04/04/15
8
svv в сообщении #1001265 писал(а):
Как преобразовать $(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})$ ? Ну, руководящая идея — пользуясь формулой «бац минус цаб», раскрывать, раскрывать и раскрывать, надеясь на обнуления и сокращения (эта надежда действительно оправдывается).

Поясню. Насколько я понял, самый-самый первый шаг в решении - это именно заменить правую часть исходного тождества на то, что вы предложили еще год назад и написали выше (только в квадрате). Потом, естественно, обосновать замену, то бишь еще одно тождество доказать, на чём я и застопорился, но товарищ ewert подсказал формулу, а ludwig51 наглядно показал. Но как именно к этой замене прийти, до обоснования?

svv в сообщении #1001265 писал(а):
Насчет тождества Лагранжа — укажите ссылочку, пожалуйста. Сам что-то не нашел.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Двойное_векторное_произведение

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 19:14 
Заслуженный участник


23/07/08
6541
Харьков
Есть векторы $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$. Мы хотим выбрать удобный для дальнейшего рассмотрения ортонормированный базис. Всегда можно набравить базисный вектор $\mathbf e_1$ по направлению вектора $\mathbf c$, тогда они будут коллинеарны: $\mathbf c=\gamma_1 \mathbf e_1$. Когда вектор $\mathbf e_1$ выбран, можно ещё повращать вокруг него базис и добиться того, чтобы вектор $\mathbf b$ лежал в плоскости, задаваемой векторами $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$. После этого вектор $\mathbf e_3=\mathbf e_1\times\mathbf e_2$ уже определится, и для вектора $\mathbf a$ мы уже не сможем требовать какого-то специального вида в этом базисе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62110
Её все только "бацминусцабом" называют, а Лагранжем - никто. Так что, переучивайтесь, если хотите с окружающими на одном языке разговаривать.

В честь Лагранжа названо достаточно много других интересных вещей, так что он не в обиде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 19:30 


04/04/15
8
svv
Спасибо, теперь всё понятно. Хоть в самой ВП и написано выбрать базис "так, что...", я как-то мимо ушей это пропустил, и в голове сперва базис задан, а потом уже векторы в нем определяются. А что насчет моих "непоняток" с заменой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 19:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62110
Кстати, немцы её называют тождеством Грассмана, а тождеством Лагранжа - другую формулу.
https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Eigenschaften

-- 07.04.2015 19:40:19 --

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_things_named_after_Joseph-Louis_Lagrange

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 19:46 


03/06/12
1358
svv в сообщении #1001014 писал(а):
Так что, попросим автора доказать четвёртое тождество, или пусть наслаждается жизнью?

А не хочу! 8-)

-- 07.04.2015, 20:50 --

sumb в сообщении #1001262 писал(а):
2. Известен ли вам другой способ решения?

Так, вообще, к каждой задаче можно придумать столько способов решения!

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение07.04.2015, 23:42 
Заслуженный участник


11/05/08
30897
sumb в сообщении #1001270 писал(а):
но товарищ ewert подсказал формулу,

Вообще-то подсказал товарищ svv, а я всего лишь расшифровал его подсказку.

sumb в сообщении #1001270 писал(а):
Но как именно к этой замене прийти, до обоснования?

А вот тут как раз всё очень просто. Во всей векторной алгебре есть, грубо говоря, лишь две теоремы (не считая тривиальных) -- это правило циклической перестановки и вот та самая пресловутая "бац минус цап". Их надо твёрдо знать, и при каждом удобном случае пытаться тыкнуть во все щели, вот и всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение08.04.2015, 14:59 


22/11/13
36
ludwig51 в сообщении #1000918 писал(а):
Доказательство справедливости тождества 3 с учётом замечаний и формул Svv.

3) $(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

$((\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{c}\times \bar{d}) )^2=a^2(\bar{a}\bar{b}\bar{c})^2$
$(\bar{a}\times \bar{b})\times(\bar{a}\times \bar{c}) =(\bar{a}\bar{a}\bar{c})\bar{b}-(\bar{b}\bar{a}\bar{c})\bar{a}=(\bar{c}\bar{a}\bar{a})\bar{b}-(\bar{a}\bar{c}\bar{b})\bar{a}=(\bar{c}(\bar{a}\times \bar{a}))\bar{b}-(\bar{a}(\bar{c}\times \bar{b}))\bar{a}=\bar{a}(\bar{a}(\bar{b}\times \bar{c}))=\bar{a}(\bar{a}\bar{b}\bar{c})$

Исправлены мои ошибки. Были пропущены скобки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение08.04.2015, 15:54 


03/06/12
1358
Так
ewert в сообщении #1001426 писал(а):
"бац минус цап".

или
svv в сообщении #1001265 писал(а):
«бац минус цаб»,

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение08.04.2015, 16:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/07/09
3877
МФТИ ФУПМ
BAC − CAB
Хоть вассавом назовите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение08.04.2015, 17:08 


22/11/13
36
Sinoid в сообщении #1001620 писал(а):
Так
ewert в сообщении #1001426 писал(а):
"бац минус цап".

или
svv в сообщении #1001265 писал(а):
«бац минус цаб»,

?

Имеется более общее правило двойного векторного произведения.
Среднее на скалярное произведение оставшихся минус крайнее в скобках на скалярное произведение оставшихся.
Примеры:
$\bar{a}\times (\bar{b}\times\bar{c})=\bar{b}(\bar{a}\bar{c})-\bar{c}(\bar{a}\bar{b})$
$(\bar{a}\times\bar{b})\times\bar{c} =\bar{b}(\bar{a}\bar{c})-\bar{a}(\bar{b}\bar{c})$

$(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})=\bar{a}((\bar{a}\times\bar{b})\bar{c})-\bar{c}((\bar{a}\times\bar{b})\bar{a})
$
или
$(\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c})=\bar{b}((\bar{a}\times\bar{c})\bar{a})-\bar{a}((\bar{a}\times\bar{c})\bar{b})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение08.04.2015, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62110
Ещё забавный нюанс: во французской Википедии ни малейшего намёка на мнемонику "бац минус цаб" нет, там даже сама формула записана через $u,v,w.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение08.04.2015, 22:57 


03/06/12
1358
ludwig51 в сообщении #1001635 писал(а):
Имеется более общее правило двойного векторного произведения.

Да знаю я, знаю, просто написано цап

-- 09.04.2015, 00:12 --

Munin в сообщении #1001637 писал(а):
во французской Википедии ни малейшего намёка на мнемонику "бац минус цаб" нет

Ну в русском языке подобная мнемоника выглядит прикольнее (бац, бац и мимо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group