2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 00:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Sinoid, так в каком состоянии дела? Подсказка svv к третьему заданию вам помогла?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 00:36 
Заслуженный участник


23/07/08
6455
Харьков
provincialka
Подтвердите, пожалуйста, что и с четвертым тождеством какая-то чепуха, если считать, что точки являются разделителями векторов в смешанном произведении. Контрпример:
$\mathbf a=\mathbf w=\mathbf i$
$\mathbf b=\mathbf u=\mathbf j$
$\mathbf c=\mathbf v=\mathbf k$
($\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ — декартовы орты)
Здесь только знак не сходится, но если взять $\mathbf a=3\mathbf i$, а остальные пять векторов оставить такими же, то будет совсем плохо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
Почему "и с четвертым"? Третье тождество легко сводится к первому.
Четвёртое понять пока не могу. Вообще не привыкла к таким обозначениям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 00:50 
Заслуженный участник


23/07/08
6455
Харьков
Ну, третье же исправлять пришлось.

При любом понимании произведения в четвертом тождестве левая часть зависит линейно от $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$, но квадратично от $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w$ (в смысле, если умножить $\mathbf u$ на $t$, всё выражение умножится на $t^2$). А правая — наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
10851
Казань
То есть, надо догадаться, как исправить четвёртое равенство. Ну, это на свежую голову, ночь уже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 01:05 
Заслуженный участник


23/07/08
6455
Харьков
RIP в сообщении #844165 писал(а):
Это, видимо, задачи нового типа: прежде чем их решать, надо сначала найти правильную формулировку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение13.04.2014, 01:16 


03/06/12
1325
svv в сообщении #848839 писал(а):
Наверное, надо подсказать...
Левая часть в третьем задании имеет вид
$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2$
Покажите, что это равно $(\vec p\times\vec q)^2$.

Точно! Я же это знал! банальное соотношение синуса и косинуса! Совсем упустил из вида.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение14.04.2014, 15:11 


03/06/12
1325
Спасибо всем за догадки и подсказки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение04.04.2015, 16:55 


04/04/15
8
Подскажите, пожалуйста, и каковы же промежуточные преобразования в 3-м задании? Не могу сообразить, никак...

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение04.04.2015, 18:20 
Заслуженный участник


23/07/08
6455
Харьков
Вставляем пропущенный минус, и вот правильная формулировка задания: проверить справедливость тождества
$(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

Обозначим
$\overline{p}=\overline{a}\times\overline{b}$
$\overline{q}=\overline{a}\times\overline{c}$
Тогда левая часть принимает вид
$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2$
Как я написал выше, это равно $(\vec p\times\vec q)^2$. Можете это обосновать?
(Формулы у нас надо набирать в $\TeX$.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение04.04.2015, 19:15 


04/04/15
8
svv
Обозначения-замены понятны мне стали сразу, и что в итоге нужно обосновать тоже. Вопрос в другом: каков первый шаг в обосовании? Расписать векторное пр-е как формулу площади параллелограмма? Но это вряд ли что-то даст, судя по тому, что тождество-то верно, а синусов нигде не видно. Как я понял, выдача ответа вопрошающему тут чревата, поэтому надежд не питаю. Передо мной, вот, пособие Письменного, а конкретно - свойства произведений векторов. Может быть, это задание требует больше теор. информации?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение04.04.2015, 19:31 
Заслуженный участник


23/07/08
6455
Харьков
$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2=(\vec p\times\vec q)^2$
Пусть угол между $\vec p$ и $\vec q$ равен $\gamma$.
Тогда $\vec p\cdot\vec q=pq\cos\gamma$, верно?
А для векторного произведения пусть не сам результат, но его модуль записывается аналогично:
$|\vec p\times\vec q|=pq\sin\gamma$
Получается, что надо доказать
$p^2 q^2-(pq\cos\gamma)^2=(pq\sin\gamma)^2$
И...
sumb в сообщении #1000062 писал(а):
Расписать векторное пр-е как формулу площади параллелограмма? Но это вряд ли что-то даст, судя по тому, что тождество-то верно, а синусов нигде не видно.
Синусы в левой части — из основного тригонометрического тождества, справа — прочитайте здесь фразу «длина вектора $\mathbf c$ равна...».

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение04.04.2015, 21:04 


04/04/15
8
svv
Тут уяснил:
$|\overline{p}|^{2}|\overline{q}|^{2}=|\overline{p}|^{2}|\overline{q}|^{2}(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)$.

Однако вернувшись к исходному тождеству, немного задумался над заменой: $\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}=(\overline{p}\times\overline{q})^{2}$.
Почему? Разве это не будет выглядеть, например, так: $\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}=((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\overline{c}))^{2}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение04.04.2015, 21:44 
Заслуженный участник


23/07/08
6455
Харьков
sumb в сообщении #1000113 писал(а):
Однако вернувшись к исходному тождеству, немного задумался над заменой: $\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}=(\overline{p}\times\overline{q})^{2}$.
Тут будет проще наоборот, от правой части перейти к левой. И не так всё сразу получается, понадобится несколько шагов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непонятные тройные произведения
Сообщение05.04.2015, 10:12 


04/04/15
8
svv
$(\bar{p}\times\bar{q})^2=((\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c}))^2=(\left|\bar{a}\right|\left|\bar{b}\right|\sin\widehat{a,b}\left|\bar{a}\right|\left|\bar{c}\right|\sin\widehat{a,c}\sin\gamma)^2=\bar{a}^2((\bar{a}\times\bar{b})\left|\bar{c}\right|\sin\widehat{a,c}\sin\gamma)^2$. (а почему формула сползает? :-) )
Нисколько не сходится. Простите мою дремучесть, но что делаю не так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group