Непонятные тройные произведения

[provincialka]

Sinoid, так в каком состоянии дела? Подсказка svv к третьему заданию вам помогла?

[svv]

provincialka
Подтвердите, пожалуйста, что и с четвертым тождеством какая-то чепуха, если считать, что точки являются разделителями векторов в смешанном произведении. Контрпример:
$\mathbf a=\mathbf w=\mathbf i$
$\mathbf b=\mathbf u=\mathbf j$
$\mathbf c=\mathbf v=\mathbf k$
($\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k$ — декартовы орты)
Здесь только знак не сходится, но если взять $\mathbf a=3\mathbf i$, а остальные пять векторов оставить такими же, то будет совсем плохо.

[provincialka]

Почему "и с четвертым"? Третье тождество легко сводится к первому.
Четвёртое понять пока не могу. Вообще не привыкла к таким обозначениям.

[svv]

Ну, третье же исправлять пришлось.

При любом понимании произведения в четвертом тождестве левая часть зависит линейно от $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf c$, но квадратично от $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w$ (в смысле, если умножить $\mathbf u$ на $t$, всё выражение умножится на $t^2$). А правая — наоборот.

[provincialka]

То есть, надо догадаться, как исправить четвёртое равенство. Ну, это на свежую голову, ночь уже.

[svv]

RIP в сообщении #844165 писал(а):

Это, видимо, задачи нового типа: прежде чем их решать, надо сначала найти правильную формулировку.

[Sinoid]

svv в сообщении #848839 писал(а):

Наверное, надо подсказать...
Левая часть в третьем задании имеет вид
$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2$
Покажите, что это равно $(\vec p\times\vec q)^2$.

Точно! Я же это знал! банальное соотношение синуса и косинуса! Совсем упустил из вида.

[Sinoid]

Спасибо всем за догадки и подсказки.

[sumb]

Подскажите, пожалуйста, и каковы же промежуточные преобразования в 3-м задании? Не могу сообразить, никак...

[svv]

Вставляем пропущенный минус, и вот правильная формулировка задания: проверить справедливость тождества
$(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

Обозначим
$\overline{p}=\overline{a}\times\overline{b}$
$\overline{q}=\overline{a}\times\overline{c}$
Тогда левая часть принимает вид
$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2$
Как я написал выше, это равно $(\vec p\times\vec q)^2$. Можете это обосновать?
(Формулы у нас надо набирать в $\TeX$.)

[sumb]

svv
Обозначения-замены понятны мне стали сразу, и что в итоге нужно обосновать тоже. Вопрос в другом: каков первый шаг в обосовании? Расписать векторное пр-е как формулу площади параллелограмма? Но это вряд ли что-то даст, судя по тому, что тождество-то верно, а синусов нигде не видно. Как я понял, выдача ответа вопрошающему тут чревата, поэтому надежд не питаю. Передо мной, вот, пособие Письменного, а конкретно - свойства произведений векторов. Может быть, это задание требует больше теор. информации?

[svv]

$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2=(\vec p\times\vec q)^2$
Пусть угол между $\vec p$ и $\vec q$ равен $\gamma$.
Тогда $\vec p\cdot\vec q=pq\cos\gamma$, верно?
А для векторного произведения пусть не сам результат, но его модуль записывается аналогично:
$|\vec p\times\vec q|=pq\sin\gamma$
Получается, что надо доказать
$p^2 q^2-(pq\cos\gamma)^2=(pq\sin\gamma)^2$
И...

sumb в сообщении #1000062 писал(а):

Расписать векторное пр-е как формулу площади параллелограмма? Но это вряд ли что-то даст, судя по тому, что тождество-то верно, а синусов нигде не видно.

Синусы в левой части — из основного тригонометрического тождества, справа — прочитайте здесь фразу «длина вектора $\mathbf c$ равна...».

[sumb]

svv
Тут уяснил:
$|\overline{p}|^{2}|\overline{q}|^{2}=|\overline{p}|^{2}|\overline{q}|^{2}(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)$.

Однако вернувшись к исходному тождеству, немного задумался над заменой: $\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}=(\overline{p}\times\overline{q})^{2}$.
Почему? Разве это не будет выглядеть, например, так: $\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}=((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\overline{c}))^{2}$ ?

[svv]

sumb в сообщении #1000113 писал(а):

Однако вернувшись к исходному тождеству, немного задумался над заменой: $\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}=(\overline{p}\times\overline{q})^{2}$.

Тут будет проще наоборот, от правой части перейти к левой. И не так всё сразу получается, понадобится несколько шагов.

[sumb]

svv
$(\bar{p}\times\bar{q})^2=((\bar{a}\times\bar{b})\times(\bar{a}\times\bar{c}))^2=(\left|\bar{a}\right|\left|\bar{b}\right|\sin\widehat{a,b}\left|\bar{a}\right|\left|\bar{c}\right|\sin\widehat{a,c}\sin\gamma)^2=\bar{a}^2((\bar{a}\times\bar{b})\left|\bar{c}\right|\sin\widehat{a,c}\sin\gamma)^2$. (а почему формула сползает? )
Нисколько не сходится. Простите мою дремучесть, но что делаю не так?