2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение26.03.2014, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4482
Предлагаю только без банальностей типа $e^{2\pi i}=1$. Начну:
$$
\int\limits_0^1 x^{-x}\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}n^{-n}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение26.03.2014, 01:46 
Заблокирован
Аватара пользователя


01/09/12

245
Примерно, так:

$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$


Повысилась степень и упростилось выражение(представление).

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение26.03.2014, 02:20 
Модератор


20/03/14
7491
 !  hypersphere, предупреждение за оффтоп и бессодержательные сообщения, третье за последнюю неделю по данному поводу. Неделя отдыха.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 20:55 


30/10/12

87
Автор топика, то, что вы написали, разве не банальность?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4482
Ну не знаю, у меня не сразу получилось доказать, так что для меня, наверное, не банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
g______d
Тема сформулирована очень размыто. "Малоизвестность" -- субъективное понятие, "красота" -- тоже.
Я бы привел примеры из теории дзета-функции, но для кого-то они будут хорошо известными, а кто-то не увидит в них красоты. Потому воздержался. Хотя Ваша задумка хороша.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4482
Ну да, похоже, внятно сформулировать мне не удалось. Но, может быть, если Вы тоже начнете, то тема самоорганизуется :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные красивые соотношения
Сообщение28.03.2014, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Как я понимаю, интересны точные равенства (не асимптотические), которые содержат некий "элемент неожиданности". Тогда могут подойти такие
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\prod_p\left(1-\frac1{p^s}\right)^{-1}
$$
$$
\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^2\frac1x}=\sqrt x\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-\pi n^2x}
$$
и в каком-то смысле родственные
$$
\sum_{n=0}^\infty p(n)s^n=\prod_{n=1}^\infty\frac1{1-s^n}
$$
$$
e^{-\frac{\pi}{12x}}\prod_{n=1}^\infty\bigl(1-e^{-2\pi n\frac1x}\bigr)=\sqrt xe^{-\frac{\pi x}{12}}\prod_{n=1}^\infty\bigl(1-e^{-2\pi nx}\bigr)
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 12:34 
Заслуженный участник


31/12/05
1043
$$\sqrt{\frac{\pi e}{2}} = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \cfrac{3}{1 + \cfrac{4}{1 + \cfrac{5}{1 + \cfrac{6}{1 + \cfrac{7}{1 + \cfrac{8}{\ddots}}}}}}}}} ~+~  \Bigg\{ 1 + \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7} + \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9} + \cdots \Bigg\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 12:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
ex-math
Что такое $p(n)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
kp9r4d
Количество разбиений $n$, т.е. число представлений $n$ суммой натуральных чисел, без учета порядка слагаемых. По определению полагают $p(0)=1$.

-- 29.03.2014, 15:34 --

Да, в теме предполагаются наверно соотношения из области анализа, не требующие дополнительных пояснений, вроде того, что пришлось сделать для $p(n)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 17:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
$$
\pi^{-\frac s2}\Gamma\Bigl(\frac s2\Bigr)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}=\pi^{-\frac {1-s}2}\Gamma\Bigl(\frac {1-s}2\Bigr)\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^{1-s}}
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Эх, хотел без дополнительных обозначений обойтись, и вышла ерунда. Если ряд слева сходится, то справа расходится, и наоборот :oops: Надо ряды заменить на $\zeta(s)$ и $\zeta(1-s)$, соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение29.03.2014, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1359
ex-math в сообщении #842679 писал(а):
Да, в теме предполагаются наверно соотношения из области анализа, не требующие дополнительных пояснений, вроде того, что пришлось сделать для $p(n)$.

Почему же, мне очень понравились ваши соотношения, первое я даже вроде как доказал; а третее (то самое соотношение с $p(n)$) доказал лишь в смысле производящих функций, осталось доказать то, что либо беск. произведение, либо ряд существуют. :3
Просто, если вам не сложно, пишите пояснения ко всяким странным значкам (хотя бы название функции, чтобы нагуглить можно было).

 Профиль  
                  
 
 Re: Малоизвестные (или не очень) красивые соотношения
Сообщение30.03.2014, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1727
Москва
Третье соотношение справедливо при $|s|<1$, а в этой области сходимость произведения очевидна.
Первое называется тождеством Эйлера и замечательно тем, что аналитически выражает единственность разложения натурального числа на простые множители. Третье -- как бы его аддитивный аналог, тут единственности уже нет -- вот и вылезает та самая $p(n)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 69 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group