2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
Ну дальше что? Из второго уравнения следует $\dot{\psi}=0$. Первое имеет решение $\sin \psi=0$. Что это означает?

Имеются (всегда или при каких-либо ограничениях) другие решения? Устойчивость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 18:03 


06/12/14
510
Стационарные точки: $\dot\psi=0$, для $\psi$ имеем 0, $\pi$ и корни ур-я
$$M^2b^2\cos\psi= ga(J+mb^2\sin^2\psi)^2$$

-- 05.04.2015, 18:04 --

сейчас попробую решить его- ур-е четвертого порядка. Все остально понятно, про устойчивость, бифуркации и малые колебания.

-- 05.04.2015, 18:22 --

Должны быть какие-то условия, при выполнении которых существуют вещественные корни

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение05.04.2015, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
А что значит $\sin \psi=0$?

Для того, чтобы понять про другие решения, решать вовсе не надо. Заметим, что д.б. $\cos \psi >0$. Что это значит? Заметим, что при $\cos \psi>0$ левая часть монотонно убывает, а правая возрастает (от $\psi$). Значит м.б. только одно дополнительное решение. Сравнив п.ч. и л.ч. при $\psi=0$ и $\psi=\pi/2$ Вы поймете когда такое решение будет и заодно найдете бифуркацию. Теперь надо исследовать на максимум и минимум но это можно сделать даже без производных

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.04.2015, 20:04 
Модератор


20/03/14
7637
 i  Тема перемещена из форума «Вопросы преподавания» в форум «Анализ-II»
Причина переноса: по-моему, ей тут лучше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 08:04 


10/02/11
6786
Geen в сообщении #999833 писал(а):
Не получается...

попробуйте еще раз
Oleg Zubelevich в сообщении #837269 писал(а):
интересно рассмотреть задачу в случае когда между колечком и эллипсом имеется линейно вязкое трение

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1472
Oleg Zubelevich в сообщении #1000769 писал(а):
Geen в сообщении #999833 писал(а):
Не получается...

попробуйте еще раз
Oleg Zubelevich в сообщении #837269 писал(а):
интересно рассмотреть задачу в случае когда между колечком и эллипсом имеется линейно вязкое трение

Все выходные пробовал :-)
Но про трение не подумал - вроде же задача всё равно остаётся одномерной...

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 12:07 


10/02/11
6786
Нарисуйте фазовый портрет приведеной системы. Вы получите, как я помню, (при определенных значениях параметров) седловую точку с расщепившимеся сепаратрисами и два фокуса, на которые все и будет сваливаться. Теперь будем брать начальные условия двлеко от фокусов. То, как решение будет выбирать на какой фокус свалиться, выглядит неким квазислучайным процессом. В этом и состоит "странность" аттрактора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 12:44 


06/12/14
510
Цитата:
Частные производные ф-ии $E(\psi, \dot\psi)$
$$\frac{\partial E}{\partial \psi}=
\left[\left(a^2 \varepsilon^2\dot \psi^2 -\frac{M^2b^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}\right)\cos\psi- ga\right]m\sin\psi.$$
$$\frac{\partial E}{\partial \dot\psi}=m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi.$$


Red_Herring в сообщении #1000614 писал(а):
А что значит $\sin \psi=0$?
Для того, чтобы понять про другие решения, решать вовсе не надо..

Стационарные точки: $\dot\psi=0$, а для $\psi$ - 0, $\pi$ и корни ур-я
$$M^2b^2\cos\psi=-ga(J+mb^2\sin^2\psi)$$
Правая часть этого ур-я всегда отрицательная. Значит $\cos\psi<0$, т.е. $\pi/2<\psi<3\pi/2$ (положение 0 у меня сверху). И левая и правая части ур-ия симметричны относительно $\pi$. Значит возможны два корня, по одному на каждом из участков монотонности. Возьмем участок $[\pi/2, \pi]$. Левая часть убывает от 0 до $-M^2b^2$, правая же возрастает от $-ga(J+mb^2)$ до $-gaJ$. Для существования корня необходимо, чтобы $M^2b^2 > gaJ$. То есть $M^2b^2=gaJ$ - бифуркация. Как исследовать на максимумы/минимумы без вовлечения вторых производных пока непонятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
Не надо искать вторых производных, а надо смотреть где и как первая производная меняет знак. Но здесь еще проще.

Если $|M|<M_0$, то есть две критические точки и верхняя очевидно максимум а нижняя минимум (кинетические энергии равны, сравниваем потенциальные)

Если $|M|>M_0$, то есть четыре критические точки причем верхняя все еще максимум, нижняя тоже максимум, а боковые -- минимумы.


\begin{tikzpicture}[scale=.75]
\draw[thick] (0,0) ellipse (3 and 4);
\draw[dotted] (0,-5)--(0,5);
\draw[<->] (0,0)--(0,4);

\draw[<->] (0,0)--(3,0);
\node at (1.5,0) {\colorbox{gray!10}{$b$}};
\node at (0,2) {\rotatebox{90}{\colorbox{gray!10}{$a$}}};

\fill[red] (0,4) circle (.1);
\fill[blue] (0,-4) circle (.1);


\begin{scope}[xshift=8cm]
\draw[thick] (0,0) ellipse (3 and 4);
\draw[dotted] (0,-5)--(0,5);
\draw[<->] (0,0)--(0,4);

\draw[<->] (0,0)--(3,0);
\node at (1.5,0) {\colorbox{gray!10}{$b$}};
\node at (0,2) {\rotatebox{90}{\colorbox{gray!10}{$a$}}};

\fill[red] (0,4) circle (.1);
\fill[red] (0,-4) circle (.1);
\fill[blue] (2.6,-2) circle (.1);
\fill[blue] (-2.6,-2) circle (.1);
\end{scope}
\end{tikzpicture}



Теперь включайте трение

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13166
с Территории
Red_Herring в сообщении #1000863 писал(а):
Если $|M|<M_0$, то есть две критические точки и верхняя очевидно максимум а нижняя минимум (кинетические энергии равны, сравниваем потенциальные)
Если $|M|>M_0$, то есть четыре критические точки причем верхняя все еще максимум, нижняя тоже максимум, а боковые -- минимумы.

Ну то есть классическая картинка: устойчивое решение расщепилось на два устойчивых и (посередине) одно неустойчивое. Всё как положено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 16:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1472
ИСН в сообщении #1000871 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1000863 писал(а):
Если $|M|<M_0$, то есть две критические точки и верхняя очевидно максимум а нижняя минимум (кинетические энергии равны, сравниваем потенциальные)
Если $|M|>M_0$, то есть четыре критические точки причем верхняя все еще максимум, нижняя тоже максимум, а боковые -- минимумы.

Ну то есть классическая картинка: устойчивое решение расщепилось на два устойчивых и (посередине) одно неустойчивое. Всё как положено.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... +-pi+to+pi :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 16:55 


06/12/14
510
Надо составить ур-ия движения с трением. Теперь энергия системы не будет сохраняться, правильно? Будет сохраняться лишь одна компонента момента импульса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение06.04.2015, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7242
Hogtown
unistudent в сообщении #1000899 писал(а):
Надо составить ур-ия движения с трением. Теперь энергия системы не будет сохраняться, правильно? Будет сохраняться лишь одна компонента момента импульса.

Используйте Лагрангиан $L$ для ур-ний движения и из сохраняющейся компоненты момента выразите $\dot{\phi}$ и подставьте в ур-е; тогда полугится одномерное у-е 2го порядка; сведите к системе 1-го и рисуйте фазовый портрет

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 00:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
1472
Oleg Zubelevich в сообщении #1000805 писал(а):
В этом и состоит "странность" аттрактора.

Что-то вроде этого: http://www.k-labs.ru/_tst/testode.html ? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Классическая задача на бифуркации.
Сообщение07.04.2015, 14:29 


06/12/14
510
Ур-е лагранжа
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot\psi}-\frac{\partial L}{\partial \psi}=F$$
где
$$L=\frac{1}{2}\left[m(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)\dot \psi^2 +(J+mb^2\sin^2\psi)\dot\varphi^2- 2mga(1+\cos\psi)\right],$$
$$F=-\gamma \dot\psi\sqrt{a^2\sin^2\psi+b^2\cos^2\psi}.$$
Подставляем $L$, $F$ в ур-е Лагранжа и делаем затем замену $\dot\varphi=M/(J+mb^2\sin^2\psi)$. Получаем ур-е движения
$$m\ddot \psi-\left[\left(\frac{M^2b^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}-a^2 \varepsilon^2\dot \psi^2\right)\cos\psi + ga\right]\frac{m\sin\psi}{(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)}+\frac{\gamma \dot\psi}{\sqrt{a^2\sin^2\psi+b^2\cos^2\psi}}=0$$

Это ур-е можно записать в виде
$$\dot \psi=p,$$
$$\dot p
=\left[\left(\frac{M^2b^2}{(J+mb^2\sin^2\psi)^2}-a^2 \varepsilon^2p^2\right)\cos\psi + ga\right]\frac{\sin\psi}{(a^2 \sin^2\psi+ b^2\cos^2\psi)}-\frac{\gamma p}{m\sqrt{a^2\sin^2\psi+b^2\cos^2\psi}}.$$

-- 07.04.2015, 14:53 --

Чтобы получить фазовую траекторию, полученную систему надо решать численно, задавая численные значения всех входящих параметров. Это целое дело. Странный атрактор получается именно для случая с трением? Кстати, моё ур-е отличается от ур-я Geen(а). Совпадение лишь для случая $a=b$, и то, с точностью до знака перед $ga$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 75 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group