Окружность и точки

[frankenstein]

На окружности случайно выбираются n точек. Найти вероятность того, что все они принадлежат некоторой полуокружности.
Мое решение свучит так:
Разделим окружность на две полуокружности.
при $n=2$ вероятность равна $1/1$
Так как какие бы две точки на окружности не взять мы можем подогнать под них полуокружность.
Но дальше затрудняюсь, как вывести формулу для n случайных точек?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
frankenstein, создавайте темы в разделе "Помогите решить". Если Вы не нашли кнопку "Создать тему" - поищите - она там есть.

[mihiv]

Можно свести эту задачу к задаче о размещении $n$ шаров по $2N$ ящикам, (считаем, что $N$ велико). Подсчитываем число благоприятных исходов, для получения окончательного результата переходим к пределу $N\to \infty $ .

[Cash]

Смотрите здесь:http://dxdy.ru/topic54607.html

[TOTAL]

frankenstein в сообщении #826768 писал(а):

На окружности случайно выбираются n точек. Найти вероятность того, что все они принадлежат некоторой полуокружности.

Начинать полуокружность может любая из $n$ точек. Остальные $n-1$ штука должны попасть в нужную половину. Поэтому $n/2^{n-1}.$

[AlexeySurgut]

Мне кажется все гораздо проще: $p=({\frac12})^n$ для $n>2$, и 1 для $n\leqslant2$. Т.е. совершенно неважно какая полуокружность, можно сначала раскидать точки, затем определить эту полуокружность, и рассчитать с какой вероятностью туда падали точки.
Ну, по крайней мере, при $n\to \infty$, $p\to({\frac12})^n$ то точно.

-- 17.02.2014, 16:05 --

просто как свести ответ к вероятности, что $\int\limits_{x_1}^{x_2}|x_1-x_2|dx\leqslant\pi$ для любых $x_1$ и $x_2$ я затрудняюсь ответить. Величина события в радианах, конечно.

[ИСН]

Вы во что верите? Если в вычислительный эксперимент - то проведите его. Хоть для $n=3$.

[AlexeySurgut]

ИСН в сообщении #827679 писал(а):

Вы во что верите? Если в вычислительный эксперимент - то проведите его. Хоть для $n=3$.

И как Вы предлагаете его провести?

[ИСН]

Написать программу, миллион раз кинуть три точки на окружность и проделать некоторые вычисления, например.

[AlexeySurgut]

заморочился, написал. Результат из миллиона экспериментов:
1 = 1000000
2 = 1000000
3 = 749923
4 = 584636
5 = 418571
6 = 279309
7 = 176684
8 = 107658
9 = 63523
10 = 36848
11 = 21139
12 = 11940
13 = 6737
14 = 3761
15 = 2084
16 = 1128
17 = 622
18 = 345
19 = 194
20 = 112
21 = 63
22 = 33
23 = 17
24 = 6
25 = 4
26 = 3
27 = 2
28 = 1
29 = 1
30 = 1

-- 17.02.2014, 21:27 --

принцип работы прост: количество событий на один эксперимент не ограничивал, лишь прекращал эксперимент при отрицательном событии. И запоминал в массиве количество удачных событий для каждого n. При n=3 очевидно $p=\frac34$. Остальные результаты - загадка.

[ИСН]

Ну-с, и как цифра для 3 соответствует Вашей формуле?

-- менее минуты назад --

В остальных, я подозреваю, у Вас как-нибудь неправильно сделана проверка. Да чёрт с ними, с остальными.

[AlexeySurgut]

Я и не отрицаю, что моя формула не верна. В проге все перепроверил, нормально все.
Но и на форуме, пока не вижу правильного решения.

[ИСН]

Запустите, пожалуйста, прогу ещё раз для $n=4$.

-- менее минуты назад --

(в смысле, ещё миллион)

[AlexeySurgut]

Еще раз все результаты другие миллион экспериментов
1 = 1000000
2 = 1000000
3 = 749959
4 = 584759
5 = 418374
6 = 279077
7 = 176604
8 = 108009
9 = 64159
10 = 37170
11 = 21139
12 = 11983
13 = 6606
14 = 3631
15 = 1974
16 = 1054
17 = 556
18 = 309
19 = 168
20 = 94
21 = 47
22 = 31
23 = 18
24 = 11
25 = 7
26 = 4
27 = 1

-- 17.02.2014, 21:50 --

здесь, мне кажется, не все так просто, ведь вероятность каждого события зависит от угла образованного, прошлыми событиями.

-- 17.02.2014, 21:54 --

Т.е. угла, образованного максимально стоящих друг от друга точек, чем он острее тем больше поля для маневров для следующего удачного события.

[Cash]

AlexeySurgut в сообщении #827800 писал(а):

Но и на форуме, пока не вижу правильного решения.

У Вас очень редкая форма избирательной слепоты