Пространства,размерность,базис

[MestnyBomzh]

Найдите базис и размерность пространств $L_1,L_2,V=L_1\bigcap L_2$ и $W=L_1+L_2$, где $L_1= \left\langle a_1=[-1,-1,4,0],a_2=[0,-3,7,-4],a_3=[-2,1,1,4],a_4=[-1,5,-10,8] \right\rangle$
$L_2=\left\langle b_1=[-3,0,5,-4],b_2=[-1,-4,11,-4],b_3=[-5,4,-1,-4],b_4=[-1,8,-17,4] \right\rangle$

Вопрос такой: как найти пересечение этих пространств? Вроде как, одиннаковых векторов нет..Оно будет пусто?

[SpBTimes]

Ну размерность-то найти не проблема, знаете, как выразить $\dim(L_1) + \dim(L_2)$ через пересечение и сумму?

[MestnyBomzh]

размерность суммы плюс размерность пересечения?
Просто я не очень понимаю что в данном случае означает пересечение пространств. Как оно вообще выглядит? Если в теории множеств все понятно, то тут ведь должна быть какая-то аналогия

[ИСН]

Так же и выглядит. Аналогия полная. Только надо понимать, что является множеством. Множество базисных векторов? Не-е-е-ет!

[MestnyBomzh]

Пространство, порожденное базисом? Только, видимо, это будет уже какой-то их общий базис... Его то нам и нужно найти

[arseniiv]

(Формуляр.)

MestnyBomzh, угловые скобки лучше так: \langle \rangle. Смотрите, что получится из последней формулы:

$$L_2=\left\langle b_1=[-3,0,5,-4],b_2=[-1,-4,11,-4],b_3=[-5,4,-1,-4],b_4=[-1,8,-17,4]\right\rangle.$$

-- Чт фев 06, 2014 01:37:29 --

MestnyBomzh в сообщении #823203 писал(а):

Только, видимо, это будет уже какой-то другой базис

Возможно, что у него есть и базис, в который войдут хоть какие-то векторы базисов тех двух. Но точно не смотрел.

[MestnyBomzh]

arseniiv,

(Оффтоп)

Спасибо, исправил!

Да, и видимо, какие-то могут не войти, а как находить уже этот новый базис?

[mihailm]

MestnyBomzh, начинайте потихоньку решать.
"Найдите базис и размерность пространств $L_1,L_2$"
Независимые ли у вас системы под знаком линейной оболочки, если нет, повыкидывайте из них лишнее

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #823189 писал(а):

Вопрос такой: как найти пересечение этих пространств?

а Вы найдите базис в пространстве $\mathcal{O}(L_1)$ векторов, ортогональных (относительно обычного скалярного произведения) всем векторам из $L_1$. и докажите, что

$$\mathcal{O}(L_1)+\mathcal{O}(L_2)=\mathcal{O}(L_1\cap L_2)$$

(это банальность). Тогда Вы найдете базис $\mathcal{O}(L_1\cap L_2)$, а потом уж и $L_1\cap L_2$.

[MestnyBomzh]

Так, ну у $L_1$ размерность равна двум (составил матрицу из векторов, нашел ранг), а у $L_2$ размерность тоже равна двум. Поэтому можно выкинуть по два вектора из каждого пространства (любые ли??).

[Joker_vD]

Нет, любые нельзя. Выберите в получившейся ступенчатой матрице ведущие элементы — номера столбцов с ними соответствуют номерам исходных векторов.

[MestnyBomzh]

patzer2097 в сообщении #823213 писал(а):

векторов, ортогональных (относительно обычного скалярного произведения) всем векторам из $L_1$

если я правильно понимаю, нужно найти базис пространства векторов, перпендикулярных векторам из $L_1$ ? Мы тему углы между прямыми, плоскостями и тд в пространстве еще не затрагивали, поэтому, я думаю, что здесь ждут какого-то другого решения...

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #823216 писал(а):

Мы тему углы между прямыми, плоскостями и тд в пространстве еще не затрагивали

какие углы?
я имел в виду вот что. задайте $L_1$ и $L_2$ в виде ядер каких-то линейных отображений $\phi_1$ и $\phi_2$, тогда ядро $(\phi_1,\phi_2)$ будет ядром для $L_1\cap L_2$

[mihailm]

MestnyBomzh в сообщении #823216 писал(а):

patzer2097 в сообщении #823213 писал(а):

векторов, ортогональных (относительно обычного скалярного произведения) всем векторам из $L_1$

если я правильно понимаю, нужно найти базис пространства векторов, перпендикулярных векторам из $L_1$ ? Мы тему углы между прямыми, плоскостями и тд в пространстве еще не затрагивали, поэтому, я думаю, что здесь ждут какого-то другого решения...

Это фундаментальная система решений некоторой системы, найдите ее

[Joker_vD]

patzer2097
Ну вы прям совсем — ортогональность, ядра отображений... Надо просто задать подпространства $L_1$, $L_2$ как решения СЛАУ — после чего объединить эти две СЛАУ в одну большую и найти базис подпространства ее решений.