Ряды.Неопределенность предела.Демидович 2639.

[fill240]

Здравствуйте.
Имею на руках задачу 2639.Необходимо исследовать ряд $\sum\limits _{n=2} ^\infty \dfrac {n^{\ln n}} {\ln^n n}$,от 2 до бесконечности,на сходимость.

Что я сделал:
Применил признак Даламбера,за An член принял весь ряд.
Получил lnk,получил неопределенность.
$\lim\limits_{n\to \infty} ((n+1)^{\ln(n+1)}/(\ln(n+1))^{n+1})/(n^{\ln n}/(\ln n)^n)$

Не могу вспомнить как их раскрывать.На ум приходят только один вариант
1)Т.к степенная функция у меня растет быстрее чем обычная,то(после преобразования) $(\ln(n+1))^{n+1}$ уйдет в знаменатель и будет расти быстрее числителя->весь предел будет =0.

Так же решал это все через Раабе.Свел все к пределу $=\infty.$

Вопрос:Насколько оптимально тут так рассуждать?(забыл пределы уже)
Совсем не оптимальный вариант:все же мучатся и раскрывать неопределенности через 3ех этажные дроби.
Хотелось бы более строго вычислить предел
Заранее благодарю за просветление

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

fill240
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Формулы поправил и вернул.
Наводите мышью на формулы и смотрите их код.

[provincialka]

Эксперимент (график) показал, что общий член убывает быстрее экспоненты. Следовательно, ряд можно сравнить с геометрическим. Только используйте не Даламбера, а радикальный признак Коши. Как раз некоторые степени пропадут.

[ИСН]

Этого всего не нужно. Смотрите, ну какая тут асимптотика? Как ведёт себя функция на бесконечности? Непонятно как? - ну ладно, а посмотрите на её логарифм, что тогда?

-- менее минуты назад --

Вот да, быстрее экспоненты. А как это увидеть? А логарифм...

[bot]

Если радикал прологарифмировать, а потом пролопиталить, то всё чисто механически и обнаружится.

[provincialka]

А что лопиталить? Предел из Коши? Там неопределенности нет (ну, то есть есть, но только в числителе).

[bot]

Стоп один $\ln$ потерял. Тогда ещё проще. Из логарифмирования сразу всё видать.

[fill240]

Простите,не напомните как?...

[provincialka]

Если не знаете, как, делайте как я. Радикальный признак Коши.

[fill240]

Сделал через него.преподователь требует раскрыть неопределенность числителя.мол нельзя inf^0

-- 23.01.2014, 16:32 --

Знаменатель я свел к экспонента,числитель не знаю как

[provincialka]

fill240 в сообщении #818254 писал(а):

Знаменатель я свел к экспонента

Напишите-ка, как считали. Чему равен $\sqrt[n]{|a_n|}$?

[fill240]

N^0/ln=1/lnn=0

[provincialka]

Это что? Пишите формулы правильно. Не пишите предельное значение! Ладно, начну сама. $\sqrt[n]{|a_n|}=\dfrac{n^\frac{\ln n}{n}}{\ln n}$. Со знаменателем все ясно. Работайте с числителем.

[fill240]

Спасибо , я в аудитории в данный момент

-- 23.01.2014, 17:11 --

Вот он и задает вопрос про числитель.там у меня в степени 0,по его словам это неверно