2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 48  След.
 
 об уравнении Навье-Стокса
Сообщение10.01.2014, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Сегодня пошли круги о якобы решении задачи о НС математиком из Казахстана.
Можно было бы посмеяться, но я лично знаю автора, он очень серьезный математик.
http://www.enu.kz/ru/info/novosti-enu/24698/

В этой информации есть ссылка на публикацию,
Полная статья Мухтарбая Отелбаева опубликована в «Математическом журнале» (2013, т.13, № 4 (50)) http://www.math.kz/index.php/ru/513
но, естественно, сайт журнала перегружен и туда не добраться.
Если кому-нибудь удастся до статью достучаться, скачайте. плиз, и поместите в доступное место.

Абстракт
Отелбаев М. Существование сильного решения уравнения Навье-Стокса
[Скачать статью] [Реферат (скрыть)]

В работе дано решение шестой проблемы тысячелетия (The Millennium Prize Problems): доказаны существование и единственность сильного решения трехмерной задачи Навье-Стокса с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным.
Ключевые слова: шестая проблема тысячелетия, уравнение Навье-Стокса, сильное решение.

Результат опирается на предшествующие публикации автора
http://enu.kz/repository/repository2013 ... 851%29.pdf
http://enu.kz/repository/repository2013 ... 818%29.pdf
http://www.maikonline.com/maik/showArti ... V8&lang=ru

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение10.01.2014, 19:28 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
shwedka в сообщении #812440 писал(а):
Полная статья Мухтарбая Отелбаева опубликована в «Математическом журнале» (2013, т.13, № 4 (50)) http://www.math.kz/index.php/ru/513
но, естественно, сайт журнала перегружен и туда не добраться.
Если кому-нибудь удастся до статью достучаться, скачайте. плиз, и поместите в доступное место.

Скачал с этого сайта саму статью и выложил, пароль к файлу 123

При открытии ошибка could not parse

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение10.01.2014, 19:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Я тоже скачала, у меня срабатывает
http://rghost.ru/51546226
100 страниц.
Но уже не нравится:
поставлены условия периодичности давления.

В Клэйновской формулуровке такого нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение10.01.2014, 20:00 
Заслуженный участник


20/07/09
4026
МФТИ ФУПМ
http://rghost.ru/51546343

123

М-м-м, уже не нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение11.01.2014, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Пока плохо понимаю даже формулировку. Возможно, потому что в НС вообще не разбираюсь. Почему достаточно считать начальную скорость нулевой (формула (1.2))? Разве даже для малых начальных скоростей задача не решена? Или дело в ненулевом $f$ и это какой-то известный трюк?

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
в грубых словах, можно с помощью трюка, замены функции, перегонять начальные условия в силу (но не наоборот).
Про малые начальные скорости -- ситуация классическая такая. При малых начальных скоростях И НУЛЕВОЙ СИЛЕ существование решения доказано, но на конечном времени, тем меньшем, чем больше начальная скорость,
и продвинуться далеко шажками по времени не получается.
Вобще, у Тао есть большая популярная статья, объясняющая математические механизмы математической безнадежности трехмерной задачи по сравнению с относительно простой двумерной (решенной 55 лет назад Ладыженской).
Если самостоятельно не найдете- могу поискать ссылку.

UPD.
Я написала Тао об Отелбаеве. Пока что реакции нет, думаю, что есть языковые проблемы, но в Калифорнии русскоязычных математиков сотни, так что реакция вскоре будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, спасибо, я уже нашел и про силу понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 01:14 


10/02/11
6786
несколько подозриительно, что автор получает основной результат (как я понял) в виде следствия общей теоремы, которая не слишком учитывает специфику нелинейности Навье-Стокса

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #813083 писал(а):
Про малые начальные скорости -- ситуация классическая такая. При малых начальных скоростях И НУЛЕВОЙ СИЛЕ существование решения доказано, но на конечном времени, тем меньшем, чем больше начальная скорость,

т.е. результаты Като и Фуджиты аж 62 года прошли мимо вас...




shwedka в сообщении #812604 писал(а):
Но уже не нравится:
поставлены условия периодичности давления.

вам не нравится, что он ищет решение в менее широком классе функций, чем предложено в официальной постановке института Клэя?

shwedka в сообщении #813083 писал(а):
Я написала Тао об Отелбаеве. Пока что реакции нет,

Не огорчайтесь, раз ВЫ написали, то реакция несомненно последует :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 01:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Oleg Zubelevich в сообщении #813112 писал(а):
shwedka в сообщении #813083 писал(а):
Про малые начальные скорости -- ситуация классическая такая. При малых начальных скоростях И НУЛЕВОЙ СИЛЕ существование решения доказано, но на конечном времени, тем меньшем, чем больше начальная скорость,

т.е. результаты Като и Фуджиты аж 62 года прошли мимо вас... :mrgreen:

Признаюсь, произошла аберрация.
Действительно, глобальное по времени классическое решение существует для достаточно малых сил и начальных условий.
У Като-Фиджиты это доказано, правда, для задачи в ограниченной области с нулевым граничным условием, обещано дать доказательсво для всего пространства, даже статья названа Частью Первой, но Часть Вторая так и не появилась. Недосуг искать, где именно результат для задачи во всем пространстве с малыми данными установлен.

-- Сб янв 11, 2014 23:46:21 --

Oleg Zubelevich в сообщении #813112 писал(а):
shwedka в сообщении #812604
писал(а):
Но уже не нравится:
поставлены условия периодичности давления.
вам не нравится, что он ищет решение в менее широком классе функций, чем предложено в официальной постановке института Клэя?


Да, не нравится. Если даже и доказать, что blow-up не существует в узком классе,
то нет гарантии, что он не произойдет в более широком классе.
Ведь, как известно, в том, более широком классе, единственности сильного реения периодической задачи нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 01:52 


10/02/11
6786
shwedka в сообщении #813128 писал(а):
Да, не нравится. Если даже и доказать, что blow-up не существует в узком классе,
то нет гарантии, что он не произойдет в более широком классе.

это интересно, т.е. если решение, вдобавок к требованиям интитута Клэя, обладает хорошим дополнительным свойством, то это уже не решение. Мжская логика тут бессильна

shwedka в сообщении #813128 писал(а):
Ведь, как известно, в том, более широком классе, единственности сильного реения периодической задачи нет!

как известно, сильное решение (если оно есть) единственно в классе слабых решений Serrin

-- Вс янв 12, 2014 02:32:12 --

кстати, а как вы вообще представляете себе неперодическое давление при том, что градиент давления является периодической функцией, а само давление определено с точностью до адитивной функции времени? (просто в силу самого уравнения НС) :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 07:37 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Вот простой пример.
$u_t + p_x = 1$
$u(0) = 0$
Возможны два решения
$u=0, p=x$
$u=t, p =0$

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 08:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Oleg Zubelevich в сообщении #813135 писал(а):
кстати, а как вы вообще представляете себе неперодическое давление при том, что градиент давления является периодической функцией, а само давление определено с точностью до адитивной функции времени? (просто в силу самого уравнения НС) :wink:


РЕчь идет не о периодичности по времени, а по периодичности по пространственным координатам, условие 1.3 на стр 8 Отелбаева.

В НС входит градиент давления, а не само давление. Периодичность градиента, следующая из периодичности скоростей, не влечет периодичности давления.
Последнее - дополнительное условие, которого в постановке Клэя в официальной формулировке Ч.Феффермана нет.
http://www.claymath.org/sites/default/f ... stokes.pdf
p 1, 1.8
Итак, если давление, скажем, линейная функция времени, то оно непериодично, а его градиент периодичен.
Это неприятно, до так есть.

При отказе от условия периодичности давления, теряется однозначность сильного решения. Eсть простые примеры. Правда, естественно, такие примеры не дают конечный blow-up. И примеры не у полуволнового уравнения, как у sup,
а у полного НС.

В связи с этим обстоятельством, вроде бы, видно некоторое рассогласование вопросов B,D Феффермана. Точнее, они не являются логически дополнительными. Наличие конечноживущего непериодического по давлению решения дает положительный ответ на D, в то же время, не отрицает В.

С этой точки зрения, результат Отелбаева, вроде бы, формально на вопрос В отвечает, так что я погорячилась. НУжно проверять доказательство.

Я полистала статью Отелбаева,
Пока что я не нашла того места, где доказывается существование решения с периодическим давлением. Всюду в доказательстве стоит периодический градиент, от которого максимально рано избавляются. Однако, нужно смотреть внимательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 12:11 


10/02/11
6786
sup в сообщении #813197 писал(а):
Вот простой пример.
$u_t + p_x = 1$
$u(0) = 0$
Возможны два решения
$u=0, p=x$
$u=t, p =0$

э-хе-хе
Как Вы думаете, что означает симваол $\frac{\partial}{\partial x}$ в задаче с периодическими гран. условиями?

(Оффтоп)

Вы в постановке института Клэя значек $\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$ видели? Это называется трехмерный тор. Задача с периодическими гран. условиями это задача на торе.

Сейчас объясню на вашем же примере. Введем пространство основных функций $\mathcal{D}=\{\psi(x)\in C^\infty(\mathbb{R})\mid \psi(x+1)=\psi(x)\}$ (а Вы как думали? :D см. также формулу (10) в постановке института Клэя )
У вас $p=x$. Считаем обобобщенную производную $p_x$. Это понятно, что $-\int_0^1x\psi'(x)dx\ne \int_0^11\cdot\psi(x)dx,\quad \psi\in\mathcal{D}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 16:50 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Oleg Zubelevich
Спасибо за Ваши разъяснения. Но у меня есть пара вопросов.
1. Что такое сильное решение?
Я полагал, что это функция, которая обладает всеми нужными производными и при подстановке в уравнение получается тождество. Вы же, как я понял, считаете, что это функция, которая обладает всеми нужными производными и удовлетворяет некому интегральному тождеству.
При этом, в качестве пробных функций, Вы выбираете периодические. А ведь можно использовать и другое интегральное тождество.
Почему Ваше определение "правильное", а мое нет?
2. Я заглянул на сайт института и нашел там по поводу уравнения НС статью Феффермана. Периодичность там заказана только для $u$. Это в точности та ссылка
shwedka в сообщении #813223 писал(а):
Последнее - дополнительное условие, которого в постановке Клэя в официальной формулировке Ч.Феффермана нет.
http://www.claymath.org/sites/default/f ... stokes.pdf

Формула (10), о которой Вы говорили, это условия периодичности $u$. Соответственно вопрос. Можно ли получить ссылку на постановку с тором, о которой Вы говорили?

Поясню, я вовсе не считаю, что привел какой-то из ряда вон выходящий пример. И постановку Клэя я не рассматривал. Я всего лишь ответил на Ваш вопрос

Oleg Zubelevich в сообщении #813135 писал(а):
кстати, а как вы вообще представляете себе неперодическое давление при том, что градиент давления является периодической функцией, а само давление определено с точностью до адитивной функции времени? (просто в силу самого уравнения НС)

В примере приведено решение уравнения НС
$u = (u_1,u_2,u_3) =0$
$f = (f_1,f_2,f_3) =(1,0,0)$
$p = x$
При этом давление не периодично по $x$, а градиент - периодичен. В этом вопросе о постановке на торе или еще о чем-то вообще нет речи.

(Оффтоп)

Разумеется, все это "банальщина", но "каков вопрос, таков и ответ".

 Профиль  
                  
 
 Re: об уравнении Навье-Стокса
Сообщение12.01.2014, 17:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
НН Уральцева прокомментировала
последние события: не верю.

-- Вс янв 12, 2014 15:13:04 --

Тем, кто не хочет читать100-страничное сочинение Отелбаева,
предлагается почитать более короткое
Existence, uniqueness and smoothness of a solution for 3D Navier-Stokes equations with any smooth initial velocity
Arkadiy Tsionskiy, Mikhail Tsionskiy
Electron. J. Diff. Equ., Vol. 2013 (2013), No. 83, pp. 1-17.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 716 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 48  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group