2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Приводим ли многочлен
Сообщение12.12.2013, 23:55 


12/12/13
7
Выяснить, приводим ли в $\mathbb{Q}[x]$ многочлен $x^{105} - 9$.
Есть подозрение, что многочлен вида $x^{105}-c$ приводим в $\mathbb{Q}[x]$ тогда и только тогда, когда $c$ есть третья, пятая или седьмая степень некоторого числа. Но как это показать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 00:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Как вариант, можно рассмотреть корни этого многочлена в $\mathbb{C}$. Если многочлен приводим, то корни делителя - это подмножество корней многочлена, значит, надо рассмотреть подмножества, симметрические многочлены от которых будут иметь рациональные значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 01:11 


12/12/13
7
Про симметрические многочлены мне мало что известно, да и в лекциях не рассказывалось о них.
В листке с задачами непосредственно перед этой задачей просят доказать, что неприводимость в $\mathbb{Q}[x]$ равносильна неприводимости в $\mathbb{Z}[x]$. Можно ли как-то это тут использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 03:02 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Уж и не знаю, как подсказать, чтоб не решить. Знаете теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 11:22 


12/12/13
7
Если рациональное число - корень, то числитель его есть делитель свободного члена, а знаменатель - делитель старшего коэффициента? Что мне это дает? Рац. корней нет, но ведь их отсутствие не гарантирует неприводимости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 12:06 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
И правда. Забыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 12:39 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
$x^{105}-9=P(x)Q(x)$- коэффициенты целые.$\deg P=n<n+l=\deg Q$, $l\neq 0$
$\mod 3$
$x^{105}=\tilde{P}(x)\tilde{Q}(x)$
Значит
$P(x)=x^n+3P_1(x)$ $\deg P_1<n$ - коэффициенты целые.
$Q(x)=x^{(n+l)}+3Q_1(x)$ $\deg Q_1<n+l$ - коэффициенты целые.
$x^{105}+3x^n Q_1(x)+3x^{(n+l)}P_1(x)+9P_1(x)Q_1(x)=x^{105}-9$
$x^n Q_1(x)+x^{(n+l)}P_1(x)=-3P_1(x)Q_1(x)-3$
Коэффициент про $x^n$: $Q_1(0)$ делиться на 3. Значит $Q(0)$ делиться на 9. Значит 9 делиться на 27.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 14:52 


12/12/13
7
А откуда получается 27? :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 16:58 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
knwnw в сообщении #800002 писал(а):
Есть подозрение, что многочлен вида $x^{105}-c$ приводим в $\mathbb{Q}[x]$ тогда и только тогда, когда $c$ есть третья, пятая или седьмая степень некоторого числа.
Правильное подозрение. Попробуйте доказать следующее утверждение: если $\theta \in \mathbb{R}$ и $n=\min{\{k:\theta^k \in \mathbb{Q}\}}$, то многочлен $x^n-c$, где $c=\theta^n$, неприводим над $\mathbb{Q}$. Доказательство совсем элементарное.

Вообще, вопрос о неприводимости двучлена $x^n-a$ над произвольным полем основательно разобран у Ленга в "Алгебре".

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 17:36 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
knwnw в сообщении #800274 писал(а):
А откуда получается 27? :|

$Q(0)$ делиться на 9, $P(0)$ делиться на 3

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение13.12.2013, 20:13 
Заслуженный участник


08/01/12
915
knwnw в сообщении #800002 писал(а):
Есть подозрение, что многочлен вида $x^{105}-c$ приводим в $\mathbb{Q}[x]$ тогда и только тогда, когда $c$ есть третья, пятая или седьмая степень некоторого числа. Но как это показать?

Многоугольник Ньютона нарисуйте, что ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 12:40 


12/12/13
7
Извиняюсь, что долго не отвечал.

nnosipov в сообщении #800313 писал(а):
Утверждение: если $\theta \in \mathbb{R}$ и $n=\min{\{k:\theta^k \in \mathbb{Q}\}}$, то многочлен $x^n-c$, где $c=\theta^n$, неприводим над $\mathbb{Q}$.

$x^n-\theta^n=(x-\theta)(x^{n-1}+x^{n-2}\theta+...+x\theta^{n-2}+\theta^{n-1})$ над $\mathbb{R}$.
При $n=1,2,3$ очевидно.
При $n>3$ многочлен во второй скобке над $\mathbb{R}$ разлагается в произведение многочленов первой и второй степени. Всевозможные произведения многочленов справа будут давать либо многочлен со свободным членом $\theta^q$, $q<n$, либо исходный многочлен. Значит, $x^n-\theta^n$ неприводим над $\mathbb{Q}$.
Верно?

Null в сообщении #800333 писал(а):
$Q(0)$ делиться на 9, $P(0)$ делиться на 3

Спасибо, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 12:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
knwnw в сообщении #801352 писал(а):
Верно?
Да, верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 12:46 


29/05/12
239
knwnw в сообщении #800002 писал(а):
Выяснить, приводим ли в $\mathbb{Q}[x]$ многочлен $x^{105} - 9$.
Есть подозрение, что многочлен вида $x^{105}-c$ приводим в $\mathbb{Q}[x]$ тогда и только тогда, когда $c$ есть третья, пятая или седьмая степень некоторого числа. Но как это показать?


т.е.

$105=5\cdot 7\cdot 3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Приводим ли многочлен
Сообщение15.12.2013, 12:52 


03/08/12
458
А как доказать именно это утверждение:
многочлен вида $x^{105}-c$ приводим в $\mathbb{Q}[x]$ тогда и только тогда, когда $c$ есть третья, пятая или седьмая степень некоторого числа

-- 15.12.2013, 14:01 --

Null в сообщении #800205 писал(а):
$P(x)=x^n+3P_1(x)$ $deg P_1<n$ - коэффициенты целые.
$Q(x)=x^{(n+l)}+3Q_1(x)$ $deg Q_1<n+l$ - коэффициенты целые.
А откуда это? Т.е. почему $P(x)=x^n+3P_1(x) ?$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group