2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение05.12.2013, 01:36 


05/09/12
2265
"Тогда" его вообще не будет. А "когда" будет - тогда непрерывен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение05.12.2013, 01:49 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
Хорошо,но функция $f(x)=\frac{1}{x}-x$ то будет непрерывной??

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение05.12.2013, 01:53 


05/09/12
2265
Почему будет? Она уже непрерывна. И всегда была. Даже до Большого взрыва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение05.12.2013, 02:02 
Аватара пользователя


17/10/13
643
Деревня
хех,даже так,спасибо!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение05.12.2013, 02:15 
Заслуженный участник


23/07/08
6331
Харьков
_Ivana в сообщении #796470 писал(а):
И всегда была. Даже до Большого взрыва.
И после. А в сам момент Большого взрыва она не определена, только это и спасает её непрерывность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение27.11.2016, 17:03 
Аватара пользователя


26/11/16
6
Однако если задача сформулирована так:

Может ли непрерывная $(-\infty, +\infty)$ функция принимать каждое значение дважды?

То ответ нет, т.к. в этом случае $f(x) = \frac 1 x + x$ и ей подобные функции разрывны по определению.

Доказательство:

Пусть $\xi = f(a) = f(b)$, тогда без ограничения общности можно считать, что $f'(a) > 0, f'(b) < 0$. Обратный случай рассматривается также, в случае $f'(a) = 0$ или $f'(b) = 0$ сдвинемся вверх в $\delta$-окрестности соответствующей точки.

Тогда из непрерывности функции следует, что она ограничена на $[a, b]$ и имеет экстремум в точке $c, f(c) = \varphi$. Пусть $f(x) = \varphi$ 1 раз на $[a,b]$, иначе стянем $[a, b]$ в $\delta$-окрестность точки $c$.

Тогда есть вторая точка, где $f(x) = \varphi$ $\exists x = d | f(d) = \varphi, d \neq c$ по условию. Т.к. $d \notin [a,b]$ (иначе нарушается $f(x) = \varphi$ 1 раз на $[a,b]$), то без ограничения общности, пусть $d > b$. Т.к. $f'(a) > 0, f'(b) < 0$, то возьмём $e = b + \delta_1$ и f(e) < $\xi$.

В силу непрервыности f(x) на $[e, d], f(e) < \xi, f(d) = \varphi > \xi,  \exists x_0 | f(x_0) = \xi $, получили что $\xi$ принимается 3 раза. Т.о. пришли к противоречию с тем, что каждое значение принимается дважды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение29.11.2016, 11:47 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
den385 в сообщении #1172198 писал(а):
тогда без ограничения общности можно считать, что $f'(a) > 0, f'(b) < 0$

Нельзя -- производных нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение29.11.2016, 21:11 
Аватара пользователя


26/11/16
6
ewert,

Да, нестрого. Тогда просто считать, что функция возрастает в точке a и убывает в точке b.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение29.11.2016, 21:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12474
Москва
den385 в сообщении #1172843 писал(а):
Тогда просто считать, что функция возрастает в точке a и убывает в точке b.

А почему у непрерывной функции обязательно будут точки возрастания и точки убывания? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение29.11.2016, 21:39 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
den385 в сообщении #1172843 писал(а):
Тогда просто считать, что функция возрастает в точке a и убывает в точке b.

Этому можно придать смысл, но -- только в контексте. Скажем: с одной стороны от этой точки значения функции не выше прямой, с другой -- не ниже.

Попытайтесь доказать, исходя из этих соображений, что функция не может принимать одного и того же чётного количества значений.

Ваша идея доказательства для конкретно двойки -- кажется, правильная, но один провал всё же есть:

den385 в сообщении #1172198 писал(а):
иначе стянем $[a, b]$ в $\delta$-окрестность точки $c$.

Ну, стянем; ну и что?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение02.12.2016, 18:03 
Аватара пользователя


26/11/16
6
Цитата:
Ну, стянем; ну и что?...


Если у нас "двугорбый верблюд", то будем стягивать пока не останется только один горб. Тогда значение в экстремуме будет приниматься на отрезке ровно 1 раз и можно будет искать ему пару за пределами отрезка.

Монотонность, действительно, не нужна.

Чётное - может, если чётное не фиксированное а любое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функция,принимающая все действительные значения 2 раза
Сообщение03.12.2016, 20:08 
Заслуженный участник


11/05/08
30563
den385 в сообщении #1173649 писал(а):
будем стягивать пока не останется только один горб.

Ну, стянем; ну и что?...

Понимаете, при "стягивании" (что бы под этим ни понималось) мы теряем информацию о том, что происходит за пределами этого промежутка. Так что это не аргумент -- даже независимо от его неосмысленности.

den385 в сообщении #1173649 писал(а):
Чётное - может, если чётное не фиксированное а любое.

Докажите.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group