Функция,принимающая все действительные значения 2 раза

[_Ivana]

"Тогда" его вообще не будет. А "когда" будет - тогда непрерывен.

[MestnyBomzh]

Хорошо,но функция $f(x)=\frac{1}{x}-x$ то будет непрерывной??

[_Ivana]

Почему будет? Она уже непрерывна. И всегда была. Даже до Большого взрыва.

[MestnyBomzh]

хех,даже так,спасибо!)

[svv]

_Ivana в сообщении #796470 писал(а):

И всегда была. Даже до Большого взрыва.

И после. А в сам момент Большого взрыва она не определена, только это и спасает её непрерывность.

[den385]

Однако если задача сформулирована так:

Может ли непрерывная $(-\infty, +\infty)$ функция принимать каждое значение дважды?

То ответ нет, т.к. в этом случае $f(x) = \frac 1 x + x$ и ей подобные функции разрывны по определению.

Доказательство:

Пусть $\xi = f(a) = f(b)$, тогда без ограничения общности можно считать, что $f'(a) > 0, f'(b) < 0$. Обратный случай рассматривается также, в случае $f'(a) = 0$ или $f'(b) = 0$ сдвинемся вверх в $\delta$-окрестности соответствующей точки.

Тогда из непрерывности функции следует, что она ограничена на $[a, b]$ и имеет экстремум в точке $c, f(c) = \varphi$. Пусть $f(x) = \varphi$ 1 раз на $[a,b]$, иначе стянем $[a, b]$ в $\delta$-окрестность точки $c$.

Тогда есть вторая точка, где $f(x) = \varphi$ $\exists x = d | f(d) = \varphi, d \neq c$ по условию. Т.к. $d \notin [a,b]$ (иначе нарушается $f(x) = \varphi$ 1 раз на $[a,b]$), то без ограничения общности, пусть $d > b$. Т.к. $f'(a) > 0, f'(b) < 0$, то возьмём $e = b + \delta_1$ и f(e) < $\xi$.

В силу непрервыности f(x) на $[e, d], f(e) < \xi, f(d) = \varphi > \xi, \exists x_0 | f(x_0) = \xi $, получили что $\xi$ принимается 3 раза. Т.о. пришли к противоречию с тем, что каждое значение принимается дважды.

[ewert]

den385 в сообщении #1172198 писал(а):

тогда без ограничения общности можно считать, что $f'(a) > 0, f'(b) < 0$

Нельзя -- производных нет.

[den385]

ewert,

Да, нестрого. Тогда просто считать, что функция возрастает в точке a и убывает в точке b.

[Brukvalub]

den385 в сообщении #1172843 писал(а):

Тогда просто считать, что функция возрастает в точке a и убывает в точке b.

А почему у непрерывной функции обязательно будут точки возрастания и точки убывания?

[ewert]

den385 в сообщении #1172843 писал(а):

Тогда просто считать, что функция возрастает в точке a и убывает в точке b.

Этому можно придать смысл, но -- только в контексте. Скажем: с одной стороны от этой точки значения функции не выше прямой, с другой -- не ниже.

Попытайтесь доказать, исходя из этих соображений, что функция не может принимать одного и того же чётного количества значений.

Ваша идея доказательства для конкретно двойки -- кажется, правильная, но один провал всё же есть:

den385 в сообщении #1172198 писал(а):

иначе стянем $[a, b]$ в $\delta$-окрестность точки $c$.

Ну, стянем; ну и что?...

[den385]

Цитата:

Ну, стянем; ну и что?...

Если у нас "двугорбый верблюд", то будем стягивать пока не останется только один горб. Тогда значение в экстремуме будет приниматься на отрезке ровно 1 раз и можно будет искать ему пару за пределами отрезка.

Монотонность, действительно, не нужна.

Чётное - может, если чётное не фиксированное а любое.

[ewert]

den385 в сообщении #1173649 писал(а):

будем стягивать пока не останется только один горб.

Ну, стянем; ну и что?...

Понимаете, при "стягивании" (что бы под этим ни понималось) мы теряем информацию о том, что происходит за пределами этого промежутка. Так что это не аргумент -- даже независимо от его неосмысленности.

den385 в сообщении #1173649 писал(а):

Чётное - может, если чётное не фиксированное а любое.

Докажите.