Две связанные между собой задачки в Зориче

[Denis Russkih]

Продолжаю ковырять творение Зорича в свободное время. :)

(Оффтоп)

...Хотя чувствую, что такими темпами доберусь до собственно матанализа аккурат к своему 100-летнему юбилею. Похоже, мой мозг всё-таки не создан для математики. Страшно пробуксовывает, вязнет в ерундовых деталях. Никак не могу научиться отделять важное от второстепенного. Возможно, мне всё-таки стоит поискать себе другое хобби... Даже не знаю, из какого мазохизма я продолжаю штурмовать этот учебник. :) Танталовы муки: мне очень нравится математика, но я никак не могу отпить хоть немного из источника мудрости. Это ж надо, так увязнуть в решении задачек для второго параграфа! Что же будет дальше?..

Итак, перед нами задача номер 5, которая непосредственно связана с задачей номер 4.



Правильно ли я понимаю, что в варианте 5а требуется изобразить что-то вот такое (набросал по-быстрому):



При этом в самой нижней картинке прямоугольники $X \times Y$, по идее, могут соприкасаться любой из своих сторон — это не влияет на результат.

Я правильно всё понял, или дичь какую-то нарисовал? :) Терзают большие сомнения.

[Xaositect]

А где на Ваших двух нижних рисунках $X^2$?

[mihailm]

Дичь.
Диагонали только у квадратов бывают

[Urnwestek]

Цитата:

Продолжаю ковырять творение Зорича в свободное время. :)

Тем же делом страдаю. (: Однако товарищи по интересам говорят, что увязать в отедльных монографиях не больно осмысленное занятие.

Мне сдается, что раз декартова диагональ определялась лишь для квадрата какого-то множества, то в пункте 1 отрезки будут равны по длине. То есть результат это
а) Декартовое произведение — квадрат; диагональ — диагональ квадрата.
б) Декартовое произведение — плоскость; диагональ — прямая y=x
в) Декартовое произведение — тор; диагональ — то, во что превратиться окружность на торе после скручивающего гомоморфизма.

(Топологически картинка правильная, но метрически не совсем, на картинке "большая часть" линии находится на виду у зрителя, и "обкручивает" линия тор лишь в одном месте; по определению в Зориче, "обкручивать" она должна его (тор) равномерно).

[Xaositect]

Я, кстати, сомневаюсь в полезности этого упражнения. Зачем обязательно тор? Представляйте себе произведения и диагонали как хотите, главное, чтобы выводы, полученные с помощью этих интуитивных образов, подтверждались формально.

[Denis Russkih]

mihailm в сообщении #772084 писал(а):

Диагонали только у квадратов бывают

А разве "диагональ множества $X$" не является сокращённым обозначением для "диагональ декартова квадрата $X^2$ множества $X$"? Если нет, то что тогда вообще от меня требуется в задаче? Тупо констатировать, что квадратов там нет? :)

Xaositect в сообщении #772082 писал(а):

А где на Ваших двух нижних рисунках $X^2$?

Да я вообще не знаю, как это всё рисовать. :)

Я рассуждал так. Вот у нас есть множество точек некоего отрезка. Его можно в виде отрезка и изобразить. Теперь нужно изобразить диагональ этого множества. Изображаем её как диагональ квадрата со стороной, равной отрезку. Сам квадрат не рисуем, поскольку и так ясно, что он квадрат.

Теперь смотрим множество, являющееся произведением двух отрезков. Его можно представить как прямоугольник. Значит, изображаем параллелепипед, две грани которого равны этому прямоугольнику. Элемент множества, являющегося произведением двух отрезков, можно представить как точку на грани данного параллелепипеда. Если мы на каждой из двух граней возьмём по элементу, то получим своеобразные "координаты". Если мы будем брать только равные "координаты", то, фактически, этими "координатами" будет задан элемент множества, являющегося декартовым квадратом нашего произведения двух отрезков. Элементы с равными "координатами" выстраиваются на участке плоскости, который на рисунке закрашен оранжевым.

[mihailm]

Denis Russkih в сообщении #772096 писал(а):

mihailm в сообщении #772084 писал(а):

Диагонали только у квадратов бывают

А разве "диагональ множества $X$" не является сокращённым обозначением для "диагональ декартова квадрата $X^2$ множества $X$"? Если нет, то что тогда вообще от меня требуется в задаче? Тупо констатировать, что квадратов там нет? :)...

Нет, не является.
Можно констатировать, что квадратов нет, а можно построить эти квадраты и поискать у них диагональ))

[Denis Russkih]

mihailm в сообщении #772099 писал(а):

Можно констатировать, что квадратов нет, а можно построить эти квадраты и поискать у них диагональ))

Взаимоисключающие параграфы?

-- 07.10.2013, 20:35 --

Я вообще перестал понимать, что от меня требуется в задаче. Там что, хитрая подковырка такая? Предлагается нарисовать диагонали, которые в принципе не могут существовать? Очень смешно. :)

[arseniiv]

Ну, просто взять два одинаковых отрезка вместо любых.

-- Пн окт 07, 2013 23:45:47 --

Сформулировано оно, конечно, странно. Поддерживаю Xaositect.

[Denis Russkih]

arseniiv в сообщении #772106 писал(а):

Ну, просто взять два одинаковых отрезка вместо любых.

Я думал, что это читерство. :) Разве можно вот так запросто исключить из рассмотрения вариант с разными отрезками?

Denis Russkih в сообщении #772096 писал(а):

Да я вообще не знаю, как это всё рисовать. :)

Я рассуждал так. Вот у нас есть множество точек некоего отрезка. Его можно в виде отрезка и изобразить. Теперь нужно изобразить диагональ этого множества. Изображаем её как диагональ квадрата со стороной, равной отрезку. Сам квадрат не рисуем, поскольку и так ясно, что он квадрат.

Теперь смотрим множество, являющееся произведением двух отрезков. Его можно представить как прямоугольник. Значит, изображаем параллелепипед, две грани которого равны этому прямоугольнику. Элемент множества, являющегося произведением двух отрезков, можно представить как точку на грани данного параллелепипеда. Если мы на каждой из двух граней возьмём по элементу, то получим своеобразные "координаты". Если мы будем брать только равные "координаты", то, фактически, этими "координатами" будет задан элемент множества, являющегося декартовым квадратом нашего произведения двух отрезков. Элементы с равными "координатами" выстраиваются на участке плоскости, который на рисунке закрашен оранжевым.

Наверное, я высказался тут не очень внятно... Вот, набросал ещё одну небольшую картиночку, чтобы было понятнее, что я имею в виду:



Две больших чёрных точки являются своеобразными "координатами" для оранжевой точки, которая в свою очередь является элементом диагонали декартова квадрата множества $X \times Y$.

Xaositect в сообщении #772093 писал(а):

Представляйте себе произведения и диагонали как хотите, главное, чтобы выводы, полученные с помощью этих интуитивных образов, подтверждались формально.

Даже так? Ну хорошо. :) Просто я думал, что есть какие-то общие правила рисования таких штук.

-- 07.10.2013, 21:00 --

На картинке небольшая неточность. Подпись "Элемент множества $(X \times Y)^2$" следует читать как "Элемент множества, являющегося диагональю декартова квадрата $(X \times Y)^2$ множества $X \times Y$". :)

[arseniiv]

Denis Russkih в сообщении #772115 писал(а):

Я думал, что это читерство. :) Разве можно вот так запросто исключить из рассмотрения вариант с разными отрезками?

Конечно, даже для разных $A, B$ можно построить множество $\{(a, b) : a\in A \wedge b\in B \wedge a = b\} \subset A\times B$, но вот если честно взять две разные прямые на плоскости, такая «диагональ» будет или пуста, или содержать один элемент $(c,c)$, где $c$ — точка пересечения прямых. Что интересного в такой диагонали, не знаю.

Конечно, если $B \sim A$, можно рассматривать $A\times A \sim A\times B$, там диагональ будет «диагональная», но это же другое декартово произведение!

[Aritaborian]

Фигня в том, что в условии неточность. Сначала Зорич вводит определение диагонали декартова квадрата множества, и тут же просит найти диагонали разных множеств. Вот если последний абзац написать как

Цитата:

Проиллюстрируйте геометрически диагонали квадратов множеств, полученных в пунктах a), b), e) задачи 4

то выходит, что Denis Russkih со своими красивыми картинками всё правильно решает.

[Denis Russkih]

Aritaborian в сообщении #772130 писал(а):

Фигня в том, что в условии неточность. Сначала Зорич вводит определение диагонали декартова квадрата множества, и тут же просит найти диагонали разных множеств.

Ну точно!.. А я-то наивно полагал, что это одно и то же. :) Ну, якобы так говорят для краткости: "диагональ множества". А на самом деле имеют в виду "диагональ декартова квадрата множества". А что ещё мне оставалось думать, прочитав такое определение?..

Хотя после слов mihailm я уже начал подозревать, что был введён в заблуждение. Ну и Вы окончательно расставили галочки над "и". :)

Всё понятно. Выходит, я просто выполнил малость не то задание, которое требовалось. :)

Aritaborian в сообщении #772130 писал(а):

Вот если последний абзац написать как

Цитата:

Проиллюстрируйте геометрически диагонали квадратов множеств, полученных в пунктах a), b), e) задачи 4

то выходит, что Denis Russkih со своими красивыми картинками всё правильно решает.

То есть, я правильно нарисовал диагонали квадратов множеств?.. :) Класс. Очень здорово, если так! Хоть какое-то утешение. :)

[RomanKos]

Хм... пришел к интересному выводу, что геометрически диагональ квадратов множеств для двух прямых(которые перпендикулярны друг другу) совпадает с первой прямой

[Lia]

RomanKos
Замечание за некропостинг.