2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение24.08.2013, 17:25 


24/08/13
1
Объясните пожалуйста,что такое группы Ли и алгебры Ли и их применимость в квантовой физике.Слышал об объяснении электрослабой теории с помощью групп Ли и об исключительно простой теории всего при помощи E8.Заранее очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение24.08.2013, 19:05 


10/02/11
6786
1) Группа Ли $G$ это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением $G\times G\to G$ . Например группой Ли является $GL(n)$.
2) Рассмотрим $T_eG$ -- касательное пространство к группе $G$ в единице. Пусть $v\in T_eG$ -- какой -нибудь вектор. Через $F_a:G\to G$ обозначим следующую операцию $F_a(f)=af.$ Она называется левым сдвигом.
Вектору $v$ можно поставить в соответствие векторное поле на $G$, делается это следующим образом: $v(x)=dF_x(e)\circ v$.
3) Пусть теперь $u,v\in T_eG$. Этим векторам поставим в соответствие векторные поля $u(x),v(x)$ указанным выше способом, и по определению положим $[u,v]:=[u(x),v(x)](e)$. Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство $T_eG$ превращается в алгебру Ли. Это алгебра Ли группы $G$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение24.08.2013, 19:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Замечательная книга
Рубаков В. А. Классические калибровочные поля.
содержит подробные и полные объяснения на эту тему. Кроме $E_8,$ которая ничем особым не выделена среди других групп Великого Объединения (GUT).

О Великом Объединении (после Рубакова) читать
Окунь Л. Б. Физика элементарных частиц.
глава 6.

-- 24.08.2013 20:43:41 --

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich
Что смешно, вы в очередной раз не справились составить учебный текст: используете невведённые и очевидно не знакомые читателю обозначения и понятия. Конечно, крутость продемонстрировать - это вы продемонстрировали. Но толку нуль (или около нуля).

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение24.08.2013, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа

(Оффтоп)

Хотел бы в данном случае поддержать объяснение Oleg Zubelevich. Множество студентов, которые не знают алгебры/группы Ли, но знают основы теорий групп, алгебр, линейной алгебры и дифф. геометрии, очевидно, не пусто (например, всему этому меня учили в вузе, а вот группам/алгебрам Ли не учили). Осталось только пояснить операцию "круглешок", и объяснение будет вполне себе годным (для указанного множества студентов). Истинный же уровень знаний и даже специализация ТС нам неизвестна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение24.08.2013, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

worm2 в сообщении #757405 писал(а):
Множество студентов, которые не знают алгебры/группы Ли, но знают основы теорий групп, алгебр, линейной алгебры и дифф. геометрии, очевидно, не пусто

Я судил не по этому, а по упоминанию квантовой физики и "исключительно простой теории всего" (которая не исключительно простая, разумеется, это группа $E_8$ исключительная простая группа Ли).

Да, вы правы, это множество не пусто. Но множество студентов с физическим background-ом, которым интересны алгебры/группы Ли в такой формулировке, также непусто, имеет большую мощность. А они, обычно, не знают дифф. геометрию, внешние формы, касательные пространства, и соответствующие обозначения. И уж тем более, смешно объяснять, что такое алгебра Ли, в формулировке "Можно показать, что будучи снабженным такой операцией пространство превращается в алгебру Ли." Ведь аксиомы алгебры Ли не введены.

Есть ещё случай, когда спрашивающий - просто читатель журналистских заметок (чего-то все начали $E_8$ вспоминать, может быть, очередной вброс в вентилятор произошёл). Тут, конечно, даже написанного у Рубакова будет недостаточно: нужно хотя бы знать алгебру матриц, да и об элементарных частицах кое-что. Ну, тут я думаю, что Рубаков - это абсолютный минимум, ниже которого опускаться в объяснениях нельзя, иначе неизбежны радикальные потери информации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение25.08.2013, 08:27 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 ! 
Munin в сообщении #757376 писал(а):
Oleg Zubelevich
Что смешно, вы в очередной раз не справились составить учебный текст: используете невведённые и очевидно не знакомые читателю обозначения и понятия. Конечно, крутость продемонстрировать - это вы продемонстрировали. Но толку нуль (или около нуля).
Munin, предупреждение за переход на личности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение25.08.2013, 18:52 


25/08/05
645
Україна
Oleg Zubelevich в сообщении #757366 писал(а):
1) Группа Ли $G$ это гладкое многообразие, точки которого можно перемножать и операция умножения удовлетворяет аксиомам группы. Кроме того операция умножения является гладким отображением $G\times G\to G$


Почему бы не дать определение алгебры Ли не привлекая групп Ли, зачем все усложнять? Векторы в трехмерном пространстве образуют алгебру Ли если ввести операцию умножения - векторное произведение. Дальше ета конструкция обобщается на пространство любой размерности. Вот и все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебры Ли и группы Ли
Сообщение25.08.2013, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Всё-таки из жалости к читателю процитирую:
    Цитата:
    ЛИ АЛГЕБРА, л и е в а   а л г е б р а — унитарный $k$-модуль $L$ над коммутативным кольцом $k$ с единицей, к-рый снабжен билинейным отображением $(x,y)\mapsto[x,y]$ прямого произведения $L{\times}L$ в $L,$ обладающим следующими двумя свойствами:
    1) $[x,x]=0$ (откуда вытекает антикоммутативность $[x,y]=-[y,x]$);
    2) $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (т о ж д е с т в о   Я к о б и).
    Таким образом, Ли а. является алгеброй над $k$ (не обязательно ассоциативной); обычным образом определяются понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма алгебр Ли.

    (Математическая Энциклопедия, ст. "Ли алгебра", А. И. Кострикин, В. Л. Попов)

Однако, есть отдельная статья "Ли алгебра аналитической группы (алгебра Ли группы Ли)", в которой описаны особые отношения, которые бывают между алгеброй Ли и группой Ли.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group