2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Вопросы по топологии и категориям
Сообщение02.08.2013, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
JMH в сообщении #751407 писал(а):
Понятно, я с этой позицией полностью согласен. Категорный подход резко упрощает некоторые концепции, мне частенько приходилось видеть в топологии или алгебре теоремы, с доказательствами на страницу - две, которые с категорной точки зрения выглядят, как тривиальные факты и непосредственно следуют из определения объектов и морфизмов.

Я с категориями толком не знаком, так что у меня всплывают образы когомологий и коцепей. А примеры на категории покажете? (Можно ссылкой на учебник.)

 i  Deggial: тема отделена от темы О пользе правильных определений
тривиальная цитата добавлена мной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что отражают в реальном мире иррациональные числа?
Сообщение02.08.2013, 22:24 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Известные мне, самые лучшие, в плане использования категорий, учебники - Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0 и "Лекции по функциональному анализу" Хелемского, обе книги доступны. К сожалению мне неизвестны подобные книги по топологии, хотя топология - очевидная область для применения категорий. Как правило, учебники по категориям сами содержат отличные примеры. Помимо классики Маклейна мне очень нравятся F.W. Lawvere, S.H. Schanuel, Conceptual Mathematics и Robert Goldblatt, Topoi, тоже доступны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что отражают в реальном мире иррациональные числа?
Сообщение03.08.2013, 16:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
JMH в сообщении #751422 писал(а):
К сожалению мне неизвестны подобные книги по топологии

В смысле, книги по топологии просто самые лучшие, или книги по топологии, лучшие в плане использования категорий?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что отражают в реальном мире иррациональные числа?
Сообщение03.08.2013, 19:17 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Munin в сообщении #751542 писал(а):
В смысле, книги по топологии просто самые лучшие, или книги по топологии, лучшие в плане использования категорий?
Последнее - теория категорий проявляет себя лучше всего, когда имеется большое количество интересных структур и морфизмов. В топологии таковых раздолье - пространства всех мастей, непрерывные, открытые, замкнутые, гладкие отображения, гомоморфизмы фундаментальных групп...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что отражают в реальном мире иррациональные числа?
Сообщение04.08.2013, 10:08 
Заслуженный участник


10/08/09
599
JMH в сообщении #751422 писал(а):
Robert Goldblatt, Topoi, тоже доступны.

Пробовал читать, долго плевался. Сравнимая по обьёму книга Джонстона "Теория топосов" содержит где-то раз в десять больше информации. При этом сложность там распределена равномерно — и определения сложно понять, и теоремы.

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение04.08.2013, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А топосы - это вообще что и про что?

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение04.08.2013, 13:00 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Это куда-то ещё дальше за теорию категорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение04.08.2013, 14:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Aritaborian
Если вы не против, я послушаю ответ JMH и migmit.

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение04.08.2013, 14:24 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Munin, прошу прощения.

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение05.08.2013, 05:05 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Топосы - довольно часто встречающийся тип категорий, удовлетворяющих нескольким простым аксиомам и имеющий "логическую" структуру, позволяющую определить истинностные значения и логические операции в терминах теории категорий. Топосами являются множества, динамические системы, определённые типы графов и прочее; судя по тому, что топосы были придуманы в рамках теории пучков, о которой я ничего не знаю, они находят применение и там. Вобщем - типичный подход теории категорий: определить структуру, изучить её категорные свойства, а потом применять к любым математическим сущностям, удовлетворяющим определению.

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение05.08.2013, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Понятно. Думаю, пока матлогика меня мало заботит, топосы тоже неактуальны. Пучки мне бы хотелось почитать, но в надежде на дифгеометрическую ценность.

-- 05.08.2013 16:34:42 --

А совершенно случайно, не знаете ли, с какого бока к алгебрам Хопфа подступаться?

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение05.08.2013, 19:52 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Munin в сообщении #751714 писал(а):
А топосы - это вообще что и про что?

Топос — это естественное обобщение топологического пространства. Достаточно хорошее топологическое пространство восстанавливается по категории пучков на нем; можно сформулировать естественные аксиомы, которым удовлетворяет категория пучков и назвать то, что получится, топосом. Для этого даже не обязательно иметь топологическое пространство, а достаточно категории с топологией Гротендика на ней.

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение05.08.2013, 20:37 
Аватара пользователя


25/02/10
687
Munin в сообщении #752231 писал(а):
А совершенно случайно, не знаете ли, с какого бока к алгебрам Хопфа подступаться?

Увы, "не копенгаген" :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: О пользе правильных определений
Сообщение05.08.2013, 20:55 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Munin в сообщении #752231 писал(а):
А совершенно случайно, не знаете ли, с какого бока к алгебрам Хопфа подступаться?

А с какой целью? Есть чудесные книжки Abe "Hopf Algebras" и Sweedler "Hopf Algebras". Ну и во многих книгах по алгебраическим группам про них что-нибудь есть, поскольку представляющий объект алгебраической группы является алгеброй Хопфа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по топологии и категориям
Сообщение05.08.2013, 22:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
apriv в сообщении #752296 писал(а):
Топос — это естественное обобщение топологического пространства. Достаточно хорошее топологическое пространство восстанавливается по категории пучков на нем; можно сформулировать естественные аксиомы, которым удовлетворяет категория пучков и назвать то, что получится, топосом. Для этого даже не обязательно иметь топологическое пространство, а достаточно категории с топологией Гротендика на ней.

А получающиеся "обобщенные топологические пространства" имеют интересную и содержательную дифгеометрию / алгебраическую топологию на них? Для начала, чего-нибудь похожее на многообразия?

apriv в сообщении #752313 писал(а):
А с какой целью?

С целью понять их полезность и применение в квантовой теории поля.

apriv в сообщении #752313 писал(а):
Есть чудесные книжки Abe "Hopf Algebras" и Sweedler "Hopf Algebras".

Спасибо!

apriv в сообщении #752313 писал(а):
Ну и во многих книгах по алгебраическим группам

Назовите парочку, а то, видимо, я только с просто группами знаком (и Ли немножко). Собственно, меня интересует ещё даже не алгебры Хопфа, а что нужно знать предварительно, preconditions, и по чему их изучить (или хотя бы обозреть).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group