2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение01.03.2014, 11:56 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
arqady в сообщении #738400 писал(а):
-- Ср июн 19, 2013 20:24:37 --
Следующее неравенство похоже на него, но уже верно.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant\frac{a+b+c}{3}$$


Доказательство следует из неравенства:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{8a^3-2b^3+3a^2c+5b^2a-b^2c+7c^2a-2c^2b}{18(a^2+b^2+c^2)}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение01.03.2014, 13:01 
Заслуженный участник


26/06/07
1726
shevah school, tel-aviv
Rak so dna в сообщении #831637 писал(а):

Доказательство следует из неравенства:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{8a^3-2b^3+3a^2c+5b^2a-b^2c+7c^2a-2c^2b}{18(a^2+b^2+c^2)}$$

Красиво :D , но неверно :-( : $a=2$, $b=0$ и $c=1.1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение01.03.2014, 13:35 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
Rak so dna в сообщении #831637 писал(а):

Красиво :D , но неверно :-( : $a=2$, $b=0$ и $c=1.1$.


Спс. нашел ошибку в доказательстве.
Интересно ваше мнение по поводу:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Его я пока не доказал

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение01.03.2014, 19:05 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
arqady в сообщении #738400 писал(а):
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant\frac{a+b+c}{3}$$


Для положительных $a$, $b$ и $c$ имеем:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{10a^3-b^3+3a^2b+8a^2c+3b^2a-2b^2c+8c^2a-2c^2b}{27(a^2+b^2+c^2)}$$

(Оффтоп)

Доказательство сводится к исследованию квадратного неравенства $Y(c)=Pc^2+Qc+R\geqslant 0$ где
$$P =11x^3+4x^2-8x+2\geqslant 0$$$$Q =2(1+2x^2)(1-4x^2)$$$$R =7x^5-6x^4+11x^3-x^2-3x+1\geqslant 0$$$$x=\frac{a}{b}\geqslant 0$$ отсюда сразу следует справедливость неравенства на $0\leqslant x\leqslant \frac{1}{2}$. Минимальное значение:
$$Y_{min} =\frac{13x^8-38x^7+9x^6+95x^5-125x^4+29x^3+30x^2-14x+1}{4P}\geqslant 0$$ для $x\geqslant \frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение02.03.2014, 00:36 
Заслуженный участник


26/06/07
1726
shevah school, tel-aviv
Rak so dna в сообщении #831659 писал(а):
Интересно ваше мнение по поводу:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Выглядит верным, но на олимпиаде такую штуку не поднять, не говоря даже о том, как это найти без компьютера.
Второе Ваше неравенство выглядит более человеческим, но его опять же надо как-то найти.
Всё равно, если отвлечься от олимпиад, Ваши неравенства выглядят впечатляюще!

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение02.03.2014, 09:28 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
arqady в сообщении #831861 писал(а):
Выглядит верным, но на олимпиаде такую штуку не поднять, не говоря даже о том, как это найти без компьютера.

Эту "штуку" я даже дома не поднял :cry: (нашел ее expmrs)

arqady в сообщении #831861 писал(а):
Второе Ваше неравенство выглядит более человеческим, но его опять же надо как-то найти.

Вы мне доказательство Вашего неравенства засчитываете? :roll: (в оффтопе).
На олимпиадность или красоту я не претендую, т.к. любое доказательство Ваших неравенств - уже подвиг (судя по тому что я нашел на этом форуме)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение02.03.2014, 10:13 
Заслуженный участник


26/06/07
1726
shevah school, tel-aviv
Rak so dna в сообщении #831883 писал(а):
Вы мне доказательство Вашего неравенства засчитываете? :roll:

Засчитываю! :D Только оно не моё. Его придумал Василе Кыртоаже.
Вот моё доказательство:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 20#p427220
извините за мой ужасный английский. :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение09.03.2016, 14:09 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
arqady в сообщении #738400 писал(а):
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}\geqslant\frac{a+b+c}{3}$$
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}+\frac{b^3}{2b^2+c^2}+\frac{c^3}{2c^2+a^2}-\frac{a+b+c}{3}=$$$\sum\limits_{cyc}\frac{bc(a-b)^2(4ab^2+5abc+7bc^2+a^2c+6c^3)}{33(2a^2+b^2)(2b^2+c^2)(2c^2+a^2)}+\sum\limits_{cyc}\frac{c(a^2-2b^2+2ab+2bc-3ca)^2(4ab+bc+3ca+2c^2)}{33(2a^2+b^2)(2b^2+c^2)(2c^2+a^2)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение28.02.2017, 10:47 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
Rak so dna в сообщении #831659 писал(а):
Интересно ваше мнение по поводу:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$

Доказательство:
$\frac{x^3}{2x^2+y^2}-\frac{9x^3-y^3-z^3+5x^2y-4y^2z+8xz^2+2xy^2+7x^2z+2xyz}{21(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+zx)}=$$
\frac{p_1(x,y,z)q_2(x,y,z)+p_2(x,y,z)q_1(x,y,z)}{(2x^2+y^2)[21(x^2+y^2+z^2)+6(xy+yz+zx)][q_1(x,y,z)+q_2(x,y,z)]}$
где:
$p_1(x,y,z)=\frac{z(2x^3-4zx^2+y^2x+3y^3-2zy^2)^2}{4(y^2+2x^2)}+
\frac{21z+116x}{12(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^6+$
$\frac{x(972z^2+2835xz+4016x^2)}{54(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^4+
\frac{x^3(14652z^2+50007xz+9056x^2)}{324(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^2+$
$\frac{x^5(15093z^2+15501xz+21887x^2)}{2187(y^2+2x^2)}$

$q_1(x,y,z)=\frac{1}{3(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^6+
\frac{9z^2+42xz+112x^2}{9(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^4+$
$\frac{x^2(3456z^2+9570xz+5975x^2)}{243(y^2+2x^2)}(y-\frac{5x}{3})^2+\frac{x^4(9315z^2+73656xz+2338x^2)}{2187(y^2+2x^2)}$

$p_2(x,y,z)=\frac{z(2x^3-4zx^2+y^2x+3y^3-2zy^2)^2}{4(y^2+2x^2)}+$
$\frac{\left(68x^6-(16y+112z)x^5+28y^2x^4+(20y^3+56zy^2)x^3-(35y^4+48zy^3)x^2+(14y^5+56zy^4)x-7y^6-24zy^5\right)^2}{64(y^2+2x^2)^2(7x(x-\frac{1}{2}y)^2+7(x-\frac{9}{14}y)^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{28}y^3)}+$
$\frac{(y-x)^2}{64(y^2+2x^2)^2\left(7x(x-\frac{1}{2}y)^2+7(x-\frac{9}{14}y)^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{28}y^3\right)}\cdot$
$[5\left(7x^5-15x^4y-\frac{51}{5}x^3y^2-\frac{109}{25}x^2y^3-\frac{291}{125}xy^4+\frac{14279}{3125}y^5\right)^2+$
$5\left(10x^5-24x^4y-\frac{42}{5}x^3y^2+\frac{134}{25}x^2y^3-\frac{1638}{125}xy^4+\frac{202}{25}y^5\right)^2+$
$7(x-\frac{3}{5}y)^{10}+\frac{6}{5}(x-\frac{3}{5}y)^8y^2+\frac{217}{25}(x-\frac{3}{5}y)^6y^4+$
$\frac{77802}{3125}(x-\frac{3}{5}y)^4y^6+\frac{50793022}{78125}(x-\frac{3}{5}y)^2y^8+\frac{89855428}{9765625}y^{10}]$

$q_2(x,y,z):=\frac{(y-x)^2}{(y^2+2x^2)^2\left(7x(x-\frac{1}{2}y)^2+7(x-\frac{9}{14}y)^2y+\frac{1}{4}xy^2+\frac{3}{28}y^3\right)}\cdot$
$[\frac{1}{80}(x-\frac{3}{5}y)^8y+\frac{241}{2000}(x-\frac{3}{5}y)^6y^3+\frac{95627}{62500}(x-\frac{3}{5}y)^4y^5+$
$\frac{2525267}{1250000}(x-\frac{3}{5}y)^2y^7+\frac{5793361}{3125000}y^9]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.03.2017, 08:53 


03/03/12
891
Rak so dna в сообщении #1195920 писал(а):
Rak so dna в сообщении #831659

писал(а):
Интересно ваше мнение по поводу:
$$\frac{a^3}{2a^2+b^2}\geqslant\frac{9a^3-b^3-c^3+5a^2b-4b^2c+8ac^2+2ab^2+7a^2c+2abc}{21(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca)}$$
Доказательство:

При неотрицательных переменных, если допустимо пользоваться Вольфрамом, сделав замену переменных (например: $a=k_1c$, $b=k_3k_1c$) и приведя к общему знаменателю, получим для исследования кубический многочлен с положительным свободным членом и неотрицательным старшим коэффициентом. Вычислив дискриминант по формуле Кардано или посмотрев на график в Вольфраме, видим, что многочлен имеет только один действительный корень (либо при трёх один будет кратным). Поскольку свободный член положителен, то этот корень (не кратный) может быть только отрицательным. Следовательно многочлен неотрицателен.
$$(3-4k_3+8k_3^2-3k_3^3-2k_3^4+k_3^5)k_1^3+(4k_3^4-2k_3^3+k_3^2+2k_3-8)k_1^2+(5-8k_3^2)k_1+(2+k_3^2)\ge0$$
Я дискриминант не вычисляла (слишком долго).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.03.2017, 09:05 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
TR63 в сообщении #1197582 писал(а):
Поскольку свободный член положителен, то этот корень (не кратный) может быть только отрицательным.
Это неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.03.2017, 09:17 


03/03/12
891
Почему? Я, ведь вывод сделала не из приведённой Вами цитаты, а из: при положительном дискриминанте может быть только один действительный корень (на графике видно, что действительный корень один; конечно, лучше вычислить дискриминант). Количество положительных корней в исследуемом многочлене чётно. Т. е. их нет (либо они кратны, если дискриминант равен нулю; если два отрицательных кратных корня, то третий положителен и свободный член будет отрицателен, но он положителен; противоречие).

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.03.2017, 09:38 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
TR63 в сообщении #1197586 писал(а):
При положительном дискриминанте может быть только один действительный корень.
Это при отрицательном дискриминанте, но не важно, т.к. сравнить дискриминант этого неравенства с нулем, по-моему, намного тяжелее, чем доказать само неравенство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.03.2017, 09:49 


03/03/12
891
Rak so dna в сообщении #1197588 писал(а):
Знак свободного коэффициента говорит лишь о знаке произведения всех корней (и действительных и комплексных).

Это мне известно. Повторяю, что в чистом виде я этим не пользуюсь. Только в связке с дискриминантом. Конечно, его найти тяжело, но вполне реально. Т. е. задача сведена к чисто технической (механической) проблеме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометрическое неравенство
Сообщение06.03.2017, 10:00 
Аватара пользователя


26/02/14
111
so dna
TR63 да, сейчас проверил. Всё верно! (Только дискриминант, конечно, отрицательный)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group