2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Цепные дроби ищу литературу
Сообщение02.01.2013, 21:07 
Заслуженный участник


08/04/08
8208
Хочу узнать, есть ли литература по цепным дробям, подробная в плане разложения квадратичных иррациональностей в цепные дроби. Точнее, хотелось бы увидеть описание континуант, теоремы о том, что период разложения квадратичной иррациональности симметричен, описание длины периода цепной дроби, инструменты для доказательства соотношений, подобных такому: $2p_n=q_{n+1}+q_{n-1}$ для иррациональностей вида $\sqrt{m}$, где $n=T-1, T$ - период (я сейчас не знаю толком, как это доказывать)
Я сам нашел Бухштаба, Хинчина и Сизого. Но в первых двух описанных вопросов нет, а 3-я книжка как-то странно выглядит.
Искать по форуму пробовал - не нашел.
Меня отослали читать Гаусса, а эту книгу читать сложно - там в содержании цепные дроби не упомянуты, указателя нет, придется просматривать все, а если он там еще на предыдущие результаты ссылается, то я ничего ниасилю (я там уже один раз пытался искать какую-то инфу о представлении чисел в виде суммы 3-х квадратов - прямо там силы мои иссякли) :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение02.01.2013, 21:44 
Заслуженный участник


09/01/06
799
Может, в лекциях Арнольда (http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... n_lang=rus) есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение02.01.2013, 21:47 
Заслуженный участник


25/02/11
1404
На странице английской вики есть, например, Continued Fractions, By A. M. Rockett, Peter Szüsz.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение02.01.2013, 21:59 


28/11/11
2872
Да, у Арнольда есть методичка "Цепные дроби":
http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf
и видео-лекции. Например:
http://www.youtube.com/watch?v=QTlTXhsfORU

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение02.01.2013, 22:06 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86
Раз Вы уже упомянули книгу Хинчина А.Я. (сам его недавно читал и книжка довольно неплохая, но некоторые "темные" стороны вопроса отсутствуют). Могу Вам посоветовать следующие книжки:
Дж. В. С. Касселс "Введение в теорию диофантовых приближений"
В. Шмидт "Диофантовы приближения"
А. Б. Шидловский "Диофантовы приближения и трансцендентные числа"

Например, мне больше понравилась книга В. Шмидта. Хотя это дело вкуса :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение04.01.2013, 18:36 
Заслуженный участник


08/04/08
8208
Я просмотрел всю литературу.
Vince Diesel в сообщении #666384 писал(а):
На странице английской вики есть, например, Continued Fractions, By A. M. Rockett, Peter Szüsz.
Спасибо, ее и буду, видимо, читать. Про период тут что-то точно есть.

longstreet в сообщении #666391 писал(а):
и видео-лекции. Например:
http://www.youtube.com/watch?v=QTlTXhsfORU
V.V. в сообщении #666382 писал(а):
Может, в лекциях Арнольда (http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... n_lang=rus) есть?
Может, но в видео нет содержания, указателя, да и трафика много ест :-( Вообще, надо иметь ввиду, хотя я боюсь он там тоже статистику рассматривает.

longstreet в сообщении #666391 писал(а):
Да, у Арнольда есть методичка "Цепные дроби":
http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lec ... 4-full.pdf
Смотрел, там нет описанных вопросов.

Whitaker в сообщении #666396 писал(а):
В. Шмидт "Диофантовы приближения"
Шмидт - книжка, видимо, хорошая, но того, что я ищу там, видимо, нет.

Whitaker в сообщении #666396 писал(а):
Дж. В. С. Касселс "Введение в теорию диофантовых приближений"
Похоже, аналогичный случай.

Whitaker в сообщении #666396 писал(а):
А. Б. Шидловский "Диофантовы приближения и трансцендентные числа"
В колхозе не нашел, к сожалению.

(Оффтоп)

как бы не пришлось все-таки Гаусса читать :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение04.01.2013, 18:42 
Аватара пользователя


12/01/11
1307
Москва
Sonic86
Если хотите могу книгу Шидловского скинуть Вам на мыло. Но думаю, что здесь вряд ли Вы найдете так как про цепные дроби здесь кажется 1 глава и рассматриваются довольно элементарные факты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение04.01.2013, 18:48 
Заслуженный участник


08/04/08
8208
Whitaker в сообщении #667195 писал(а):
Если хотите могу книгу Шидловского скинуть Вам на мыло. Но думаю, что здесь вряд ли Вы найдете так как про цепные дроби здесь кажется 1 глава и рассматриваются довольно элементарные факты.
Спасибо! Но боюсь, что там искомого нету, поэтому не надо. Это не совсем элементарные факты.

(Оффтоп)

На удивление, элементарные факты все равно лучше всего разобраны в никому не ведомом Бухштабе. Хотя муторно - обозначения чересчур подробные...

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение04.01.2013, 19:06 


05/09/11
364
Петербург
Посмотрите в книжке Ю. В. Нестеренко "Теория чисел". Про разложение квадратичных иррациональностей в цепные дроби там есть. Я сам прочитал там только главы про цепные дроби и уравнения Пелля, но в короткие сроки и, наверное поэтому, уже всё забыл (прошло четыре месяца).

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение04.01.2013, 23:25 
Заслуженный участник


27/06/08
2997
Волгоград
Может быть, в прилагаемой статье что-то полезное найдется.
А уж в списке литературы точно найдется.


Вложения:
Комментарий к файлу: статья Исмаиловой и Третьякова
2007_2_47.pdf [531.18 Кб]
Скачиваний: 169
 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение05.01.2013, 18:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8208
Sonic86 в сообщении #666355 писал(а):
хотелось бы увидеть описание континуант
Для начала хватает статьи из Википедии

Sonic86 в сообщении #666355 писал(а):
теоремы о том, что период разложения квадратичной иррациональности симметричен
Это неверно:
$$\frac{1+\sqrt{31}}{7}=[0,1,\overline{15,5,7,1,1,2}]$$
Соответственно, можно поставить вопрос: для какого класса квадратичных иррациональностей период их цепной дроби почти симметричен. Вот хороший пример:
$$\sqrt{31}=[5,\overline{1,1,3,5,3,1,1,10}]$$
Здесь симметричности "мешает" только последний элемент. То есть под симметричностью периода следует понимать симметричность подпоследовательности $a_1,...,a_{T-1}$ периода $[a_1,...,a_T]$.
Пока предполагаю, что для цепных дробей иррациональностей типа $\sqrt{m}$ это верно (хотя, видимо, не только для них).
А может это и вовсе заблуждение - просто случайное совпадение.

VAL в сообщении #667342 писал(а):
Может быть, в прилагаемой статье что-то полезное найдется.
А уж в списке литературы точно найдется.
Спасибо, посмотрю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение05.01.2013, 19:06 


05/09/11
364
Петербург
Sonic86 в сообщении #667617 писал(а):
Sonic86 в сообщении #666355 писал(а):
теоремы о том, что период разложения квадратичной иррациональности симметричен
Это неверно:
$$\frac{1+\sqrt{31}}{7}=[0,1,\overline{15,5,7,1,1,2}]$$
Соответственно, можно поставить вопрос: для какого класса квадратичных иррациональностей период их цепной дроби почти симметричен. Вот хороший пример:
$$\sqrt{31}=[5,\overline{1,1,3,5,3,1,1,10}]$$
Здесь симметричности "мешает" только последний элемент. То есть под симметричностью периода следует понимать симметричность подпоследовательности $a_1,...,a_{T-1}$ периода $[a_1,...,a_T]$.
Пока предполагаю, что для цепных дробей иррациональностей типа $\sqrt{m}$ это верно (хотя, видимо, не только для них).
А может это и вовсе заблуждение - просто случайное совпадение.

Ну, Вы бы посмотрели всё-таки книжку, которую я Вам посоветовал - там Ваше предположение доказывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение05.01.2013, 19:17 
Заслуженный участник


08/04/08
8208
Doil-byle в сообщении #667635 писал(а):
Ну, Вы бы посмотрели всё-таки книжку, которую я Вам посоветовал - там Ваше предположение доказывается.
Точно! Лемма 8.7. Я просто сначала не в ту книгу посмотрел. Спасибо!

Это же утверждение есть в книге Дэвенпорта Высшая арифметика (подсказал AV_77) и там же есть континуанты.

upd: Еще его же нашел в книге Хассе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение07.05.2013, 18:14 


06/02/12
15
Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир, 1970.

 Профиль  
                  
 
 Re: Цепные дроби ищу литературу
Сообщение04.06.2014, 12:30 
Аватара пользователя


04/06/14
580
Посоветуйте пожалуйста литературу по цепным дробям с приложениями к изучению алгебраических, трансцендентных, иррациональных чисел, желательно с задачами и ответами для самостоятельной практики, если такая существует. Ну или по отдельности может посоветуете что для беглого изучения цепных дробей для новичка в этом вопросе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group