Цепные дроби ищу литературу

[Sonic86]

Хочу узнать, есть ли литература по цепным дробям, подробная в плане разложения квадратичных иррациональностей в цепные дроби. Точнее, хотелось бы увидеть описание континуант, теоремы о том, что период разложения квадратичной иррациональности симметричен, описание длины периода цепной дроби, инструменты для доказательства соотношений, подобных такому: $2p_n=q_{n+1}+q_{n-1}$ для иррациональностей вида $\sqrt{m}$, где $n=T-1, T$ - период (я сейчас не знаю толком, как это доказывать)
Я сам нашел Бухштаба, Хинчина и Сизого. Но в первых двух описанных вопросов нет, а 3-я книжка как-то странно выглядит.
Искать по форуму пробовал - не нашел.
Меня отослали читать Гаусса, а эту книгу читать сложно - там в содержании цепные дроби не упомянуты, указателя нет, придется просматривать все, а если он там еще на предыдущие результаты ссылается, то я ничего ниасилю (я там уже один раз пытался искать какую-то инфу о представлении чисел в виде суммы 3-х квадратов - прямо там силы мои иссякли)

[V.V.]

Может, в лекциях Арнольда (http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... n_lang=rus) есть?

[Vince Diesel]

На странице английской вики есть, например, Continued Fractions, By A. M. Rockett, Peter Szüsz.

[longstreet]

Да, у Арнольда есть методичка "Цепные дроби":
http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf
и видео-лекции. Например:
http://www.youtube.com/watch?v=QTlTXhsfORU

[Whitaker]

Sonic86
Раз Вы уже упомянули книгу Хинчина А.Я. (сам его недавно читал и книжка довольно неплохая, но некоторые "темные" стороны вопроса отсутствуют). Могу Вам посоветовать следующие книжки:
Дж. В. С. Касселс "Введение в теорию диофантовых приближений"
В. Шмидт "Диофантовы приближения"
А. Б. Шидловский "Диофантовы приближения и трансцендентные числа"

Например, мне больше понравилась книга В. Шмидта. Хотя это дело вкуса

[Sonic86]

Я просмотрел всю литературу.

Vince Diesel в сообщении #666384 писал(а):

На странице английской вики есть, например, Continued Fractions, By A. M. Rockett, Peter Szüsz.

Спасибо, ее и буду, видимо, читать. Про период тут что-то точно есть.

longstreet в сообщении #666391 писал(а):

и видео-лекции. Например:
http://www.youtube.com/watch?v=QTlTXhsfORU

V.V. в сообщении #666382 писал(а):

Может, в лекциях Арнольда (http://www.mathnet.ru/php/person.phtml? ... n_lang=rus) есть?

Может, но в видео нет содержания, указателя, да и трафика много ест Вообще, надо иметь ввиду, хотя я боюсь он там тоже статистику рассматривает.

longstreet в сообщении #666391 писал(а):

Да, у Арнольда есть методичка "Цепные дроби":
http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lec ... 4-full.pdf

Смотрел, там нет описанных вопросов.

Whitaker в сообщении #666396 писал(а):

В. Шмидт "Диофантовы приближения"

Шмидт - книжка, видимо, хорошая, но того, что я ищу там, видимо, нет.

Whitaker в сообщении #666396 писал(а):

Дж. В. С. Касселс "Введение в теорию диофантовых приближений"

Похоже, аналогичный случай.

Whitaker в сообщении #666396 писал(а):

А. Б. Шидловский "Диофантовы приближения и трансцендентные числа"

В колхозе не нашел, к сожалению.

(Оффтоп)

как бы не пришлось все-таки Гаусса читать

[Whitaker]

Sonic86
Если хотите могу книгу Шидловского скинуть Вам на мыло. Но думаю, что здесь вряд ли Вы найдете так как про цепные дроби здесь кажется 1 глава и рассматриваются довольно элементарные факты.

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #667195 писал(а):

Если хотите могу книгу Шидловского скинуть Вам на мыло. Но думаю, что здесь вряд ли Вы найдете так как про цепные дроби здесь кажется 1 глава и рассматриваются довольно элементарные факты.

Спасибо! Но боюсь, что там искомого нету, поэтому не надо. Это не совсем элементарные факты.

(Оффтоп)

На удивление, элементарные факты все равно лучше всего разобраны в никому не ведомом Бухштабе. Хотя муторно - обозначения чересчур подробные...

[Doil-byle]

Посмотрите в книжке Ю. В. Нестеренко "Теория чисел". Про разложение квадратичных иррациональностей в цепные дроби там есть. Я сам прочитал там только главы про цепные дроби и уравнения Пелля, но в короткие сроки и, наверное поэтому, уже всё забыл (прошло четыре месяца).

[VAL]

Может быть, в прилагаемой статье что-то полезное найдется.
А уж в списке литературы точно найдется.

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #666355 писал(а):

хотелось бы увидеть описание континуант

Для начала хватает статьи из Википедии

Sonic86 в сообщении #666355 писал(а):

теоремы о том, что период разложения квадратичной иррациональности симметричен

Это неверно:

$$\frac{1+\sqrt{31}}{7}=[0,1,\overline{15,5,7,1,1,2}]$$

Соответственно, можно поставить вопрос: для какого класса квадратичных иррациональностей период их цепной дроби почти симметричен. Вот хороший пример:

$$\sqrt{31}=[5,\overline{1,1,3,5,3,1,1,10}]$$

Здесь симметричности "мешает" только последний элемент. То есть под симметричностью периода следует понимать симметричность подпоследовательности $a_1,...,a_{T-1}$ периода $[a_1,...,a_T]$.
Пока предполагаю, что для цепных дробей иррациональностей типа $\sqrt{m}$ это верно (хотя, видимо, не только для них).
А может это и вовсе заблуждение - просто случайное совпадение.

VAL в сообщении #667342 писал(а):

Может быть, в прилагаемой статье что-то полезное найдется.
А уж в списке литературы точно найдется.

Спасибо, посмотрю.

[Doil-byle]

Sonic86 в сообщении #667617 писал(а):

Sonic86 в сообщении #666355 писал(а):

теоремы о том, что период разложения квадратичной иррациональности симметричен

Это неверно:

$$\frac{1+\sqrt{31}}{7}=[0,1,\overline{15,5,7,1,1,2}]$$

Соответственно, можно поставить вопрос: для какого класса квадратичных иррациональностей период их цепной дроби почти симметричен. Вот хороший пример:

$$\sqrt{31}=[5,\overline{1,1,3,5,3,1,1,10}]$$

Здесь симметричности "мешает" только последний элемент. То есть под симметричностью периода следует понимать симметричность подпоследовательности $a_1,...,a_{T-1}$ периода $[a_1,...,a_T]$.
Пока предполагаю, что для цепных дробей иррациональностей типа $\sqrt{m}$ это верно (хотя, видимо, не только для них).
А может это и вовсе заблуждение - просто случайное совпадение.

Ну, Вы бы посмотрели всё-таки книжку, которую я Вам посоветовал - там Ваше предположение доказывается.

[Sonic86]

Doil-byle в сообщении #667635 писал(а):

Ну, Вы бы посмотрели всё-таки книжку, которую я Вам посоветовал - там Ваше предположение доказывается.

Точно! Лемма 8.7. Я просто сначала не в ту книгу посмотрел. Спасибо!

Это же утверждение есть в книге Дэвенпорта Высшая арифметика (подсказал AV_77) и там же есть континуанты.

upd: Еще его же нашел в книге Хассе.

[Uncle]

Ленг С. Введение в теорию диофантовых приближений. М.: Мир, 1970.

[maximk]

Посоветуйте пожалуйста литературу по цепным дробям с приложениями к изучению алгебраических, трансцендентных, иррациональных чисел, желательно с задачами и ответами для самостоятельной практики, если такая существует. Ну или по отдельности может посоветуете что для беглого изучения цепных дробей для новичка в этом вопросе.