2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о точках, движущихся друг к другу
Сообщение05.12.2012, 16:34 
Аватара пользователя


27/09/12
39
Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника. Они начинают одновременно двигаться с одинаковой по модулю скоростью, причем первая точка всегда держит курс на вторую, вторая на третью, а третья на первую. Как доказать, что они встретятся, и точкой встречи будет центр первоначального треугольника.

Подскажите, каким, вообще говоря, способом решать такую задачу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение05.12.2012, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13105
с Территории
Перейти в систему координат, связанную с.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение05.12.2012, 16:55 
Аватара пользователя


27/09/12
39
ИСН в сообщении #654560 писал(а):
Перейти в систему координат, связанную с.


Вращающуюся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение05.12.2012, 17:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13105
с Территории
Или так, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение05.12.2012, 17:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
lunya в сообщении #654558 писал(а):
Подскажите, каким, вообще говоря, способом решать такую задачу?

Рассмотреть проекции скоростей на направление к центру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение05.12.2012, 22:08 


05/09/12
2279
Эта задачка уже раз 15 всплывала на форуме, но мне до сих пор тяжело уложить в голове, что точки на логарифмических спиралях встретятся, сделав бесконечное количество оборотов, да еще и в той точке, через которую ни одна из них не проходит :-) Постоянство скорости по модулю тут играет злую шутку свою роль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение06.12.2012, 01:43 


26/09/12
81
_Ivana в сообщении #654745 писал(а):
Постоянство скорости по модулю тут играет злую шутку свою роль.

+1

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение06.12.2012, 14:11 
Аватара пользователя


27/09/12
39
nikvic в сообщении #654577 писал(а):
Рассмотреть проекции скоростей на направление к центру.

_Ivana в сообщении #654745 писал(а):
Постоянство скорости по модулю тут играет злую шутку свою роль.

Рассмотрев проекции скоростей к центру, конечно можно догадаться, что исходя из симметрии, точки будут двигаться к центру (а касательные составляющие здесь большую роль играть не будут). Из симметрии, можно интуитивно предположить, что точки всегда будут в вершинах равностороннего треугольника. Поэтому, так как скорость по модулю постоянна, то центробежная и касательная состовляющая тоже будут всегда постоянны. Но, так как радиус описанной около треугольника окружности неуклонно уменьшается, то угловая скорость неуклонно растет, и в некотором пределе достигает бесконечности. А конкретно... Скорость уменьшения радиуса этой окружности - постоянна и равна центробежной составляющей скорости. Таким образом, радиус уменьшается линейно, а касательная составляющая скорости постоянна. Так, что можно написать уравнение перехода из обычной системы координат во вращающуюся с такой угловой скоростью, которая за определенный промежуток времени (легко вычисляемый) возрастет до бесконечности обратно пропорционально уменьшению радиуса (чтоб сохранить постоянство касательной составляющей). Перейдя в эту новую систему, остануться только центробежные составляющие, и в ней будет абсолютно очевидно, что точки просто летят в общий центр по прямым линиям.

Однако, если подойти к ответу со всей строгостью, мне кажется нужно каким-то образом АНАЛИТИЧЕСКИ доказать, что система при таком движении будет оставаться симметричной. Как аналитически доказать, что треугольник при таком движении действительно останется равносторонним? Интуитивно это, конечно, очевидно на 99.999999% :wink:... Или я требую слишком много? :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение06.12.2012, 14:33 
Заслуженный участник


11/05/08
30616
lunya в сообщении #654970 писал(а):
Однако, если подойти к ответу со всей строгостью, мне кажется нужно каким-то образом АНАЛИТИЧЕСКИ доказать, что система при таком движении будет оставаться симметричной. Как аналитически доказать, что треугольник при таком движении действительно останется равносторонним?

Не надо никак доказывать. Задача формально сводится к некоторой системе дифференциальных уравнений с симметричными начальными условиями, решение которой единственно. И раз уж построенная симметричная функция этой системе удовлетворяет -- значит, это и есть решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение06.12.2012, 16:19 
Аватара пользователя


27/09/12
39
ewert в сообщении #654985 писал(а):
Задача формально сводится к некоторой системе дифференциальных уравнений с симметричными начальными условиями, решение которой единственно.

Буду благодарна, если подскажете, на основе каких размышлений можно свести условия задачи к некоторому конкретному диф. уравнению (и в какой форме лучше, параметрической или какой-то другой?). А то, что она как-то решается мы и сами знаем :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о трех точках.
Сообщение06.12.2012, 16:52 
Заслуженный участник


11/05/08
30616
lunya в сообщении #655031 писал(а):
на основе каких размышлений можно свести условия задачи к некоторому конкретному диф. уравнению

Вы же и начали выписывать это дифуравнение:

lunya в сообщении #654970 писал(а):
Скорость уменьшения радиуса этой окружности - постоянна и равна центробежной составляющей скорости. Таким образом, радиус уменьшается линейно, а касательная составляющая скорости постоянна. Т

Только не довели дело до конца. Формально же мы имеем дело с системой из шести дифференциальных уравнений первого порядка:

$\begin{cases}\vec r_1\,'(t)=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}; \\ \vec r_2\,'(t)=\frac{\vec r_3-\vec r_2}{|\vec r_3-\vec r_2|}; \\ \vec r_3\,'(t)=\frac{\vec r_1-\vec r_3}{|\vec r_1-\vec r_3|}\end{cases}$

и начальными условиями: все три точки -- в вершинах правильного треугольника. Задача полностью симметрична относительно циклических перестановок, поэтому и решение (в силу его единственности) будет также симметричным, а это и означает, что точки так и будут оставаться в вершинах правильного треугольника. А тогда в силу симметрии задача сводится к дифференциальному уравнению для только одной точки (одному векторному, т.е. паре скалярных). Как его решать -- вопрос уже технический; разумнее всего, конечно, перейти к полярным координатам, что Вы эдак робко и попытались сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о точках, движущихся друг к другу
Сообщение16.05.2013, 19:38 


15/04/10
776
г.Москва
1)можно ли считать эту задачу задачей теор.механики на кинематику?
или на оптимальное управление? По моему это называется задачей на групповое преследование - есть диссертация на эту тему.

2)А я бы рассмотрел еще и похожую постановку, понятную военным.
Дан летательный аппарат (материальная точка), летящий со скоростью $v$.
По нему выпустили $n$ ракет $n>1$ летящих со скоростью $v_1>v$ из 2 разных точек. Какая будет оптимальная траектория аппарата? Критерий - избежать или мах оттянуть столкновение.
Можно и при $n=1$ - но реш тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о точках, движущихся друг к другу
Сообщение31.05.2013, 19:15 


04/06/12
279
Наблюдатель, который сидит в центре вращающегося треугольника видит, что все точки движутся к нему с постоянной и одинаковой скоростью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о точках, движущихся друг к другу
Сообщение26.01.2015, 15:10 
Аватара пользователя


27/09/12
39
zer0 в сообщении #730903 писал(а):
Наблюдатель, который сидит в центре вращающегося треугольника видит, что все точки движутся к нему с постоянной и одинаковой скоростью.


Интутивно прыгнуть во вращающуюся систему легко, а аналитически сложновато.

ewert в сообщении #655047 писал(а):

$\begin{cases}\vec r_1\,'(t)=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}; \\ \vec r_2\,'(t)=\frac{\vec r_3-\vec r_2}{|\vec r_3-\vec r_2|}; \\ \vec r_3\,'(t)=\frac{\vec r_1-\vec r_3}{|\vec r_1-\vec r_3|}\end{cases}$



Не получается выразить одну ф. через остальные ф. Получается змея поедающая свой хвост.

Интересно, как математически доказать сохранение симметрии системы во времени, или что все точки встретятся вместе в один момент времени, исходя из нач. условий. Интуитивно все понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о точках, движущихся друг к другу
Сообщение27.01.2015, 14:20 
Заслуженный участник


11/05/08
30616
lunya в сообщении #968615 писал(а):
Не получается выразить одну ф. через остальные ф.

(Оффтоп)

Надо же, и трёх лет не прошло...

Не надо ничего выражать. Эта система была приведена не для того, чтобы её решать, а лишь для обоснования симметричности. Переходите к полярным координатам. Т.е. просто запишите вот это

lunya в сообщении #654970 писал(а):
так как скорость по модулю постоянна, то центробежная и касательная состовляющая тоже будут всегда постоянны

с помощью формул.

lunya в сообщении #968615 писал(а):
как математически доказать сохранение симметрии системы во времени,

Если $\vec r_1(t)$ -- решение для первой точки, $\vec r_2(t)$ -- оно же, но повёрнутое на 120 градусов и $\vec r_3(t)$ -- повёрнутое ещё раз, то эта тройка функций удовлетворяет условию задачи и, значит, и будет решением. Но гораздо лучше, конечно, доказывать симметричность решения словом "очевидно".

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group