Задача о точках, движущихся друг к другу

[lunya]

Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника. Они начинают одновременно двигаться с одинаковой по модулю скоростью, причем первая точка всегда держит курс на вторую, вторая на третью, а третья на первую. Как доказать, что они встретятся, и точкой встречи будет центр первоначального треугольника.

Подскажите, каким, вообще говоря, способом решать такую задачу?

[ИСН]

Перейти в систему координат, связанную с.

[lunya]

ИСН в сообщении #654560 писал(а):

Перейти в систему координат, связанную с.

Вращающуюся?

[ИСН]

Или так, да.

[nikvic]

lunya в сообщении #654558 писал(а):

Подскажите, каким, вообще говоря, способом решать такую задачу?

Рассмотреть проекции скоростей на направление к центру.

[_Ivana]

Эта задачка уже раз 15 всплывала на форуме, но мне до сих пор тяжело уложить в голове, что точки на логарифмических спиралях встретятся, сделав бесконечное количество оборотов, да еще и в той точке, через которую ни одна из них не проходит Постоянство скорости по модулю тут играет злую шутку свою роль.

[saygogoplz]

_Ivana в сообщении #654745 писал(а):

Постоянство скорости по модулю тут играет злую шутку свою роль.

+1

[lunya]

nikvic в сообщении #654577 писал(а):

Рассмотреть проекции скоростей на направление к центру.

_Ivana в сообщении #654745 писал(а):

Постоянство скорости по модулю тут играет злую шутку свою роль.

Рассмотрев проекции скоростей к центру, конечно можно догадаться, что исходя из симметрии, точки будут двигаться к центру (а касательные составляющие здесь большую роль играть не будут). Из симметрии, можно интуитивно предположить, что точки всегда будут в вершинах равностороннего треугольника. Поэтому, так как скорость по модулю постоянна, то центробежная и касательная состовляющая тоже будут всегда постоянны. Но, так как радиус описанной около треугольника окружности неуклонно уменьшается, то угловая скорость неуклонно растет, и в некотором пределе достигает бесконечности. А конкретно... Скорость уменьшения радиуса этой окружности - постоянна и равна центробежной составляющей скорости. Таким образом, радиус уменьшается линейно, а касательная составляющая скорости постоянна. Так, что можно написать уравнение перехода из обычной системы координат во вращающуюся с такой угловой скоростью, которая за определенный промежуток времени (легко вычисляемый) возрастет до бесконечности обратно пропорционально уменьшению радиуса (чтоб сохранить постоянство касательной составляющей). Перейдя в эту новую систему, остануться только центробежные составляющие, и в ней будет абсолютно очевидно, что точки просто летят в общий центр по прямым линиям.

Однако, если подойти к ответу со всей строгостью, мне кажется нужно каким-то образом АНАЛИТИЧЕСКИ доказать, что система при таком движении будет оставаться симметричной. Как аналитически доказать, что треугольник при таком движении действительно останется равносторонним? Интуитивно это, конечно, очевидно на 99.999999% ... Или я требую слишком много?

[ewert]

lunya в сообщении #654970 писал(а):

Однако, если подойти к ответу со всей строгостью, мне кажется нужно каким-то образом АНАЛИТИЧЕСКИ доказать, что система при таком движении будет оставаться симметричной. Как аналитически доказать, что треугольник при таком движении действительно останется равносторонним?

Не надо никак доказывать. Задача формально сводится к некоторой системе дифференциальных уравнений с симметричными начальными условиями, решение которой единственно. И раз уж построенная симметричная функция этой системе удовлетворяет -- значит, это и есть решение.

[lunya]

ewert в сообщении #654985 писал(а):

Задача формально сводится к некоторой системе дифференциальных уравнений с симметричными начальными условиями, решение которой единственно.

Буду благодарна, если подскажете, на основе каких размышлений можно свести условия задачи к некоторому конкретному диф. уравнению (и в какой форме лучше, параметрической или какой-то другой?). А то, что она как-то решается мы и сами знаем

[ewert]

lunya в сообщении #655031 писал(а):

на основе каких размышлений можно свести условия задачи к некоторому конкретному диф. уравнению

Вы же и начали выписывать это дифуравнение:

lunya в сообщении #654970 писал(а):

Скорость уменьшения радиуса этой окружности - постоянна и равна центробежной составляющей скорости. Таким образом, радиус уменьшается линейно, а касательная составляющая скорости постоянна. Т

Только не довели дело до конца. Формально же мы имеем дело с системой из шести дифференциальных уравнений первого порядка:

$\begin{cases}\vec r_1\,'(t)=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}; \\ \vec r_2\,'(t)=\frac{\vec r_3-\vec r_2}{|\vec r_3-\vec r_2|}; \\ \vec r_3\,'(t)=\frac{\vec r_1-\vec r_3}{|\vec r_1-\vec r_3|}\end{cases}$

и начальными условиями: все три точки -- в вершинах правильного треугольника. Задача полностью симметрична относительно циклических перестановок, поэтому и решение (в силу его единственности) будет также симметричным, а это и означает, что точки так и будут оставаться в вершинах правильного треугольника. А тогда в силу симметрии задача сводится к дифференциальному уравнению для только одной точки (одному векторному, т.е. паре скалярных). Как его решать -- вопрос уже технический; разумнее всего, конечно, перейти к полярным координатам, что Вы эдак робко и попытались сделать.

[eugrita]

1)можно ли считать эту задачу задачей теор.механики на кинематику?
или на оптимальное управление? По моему это называется задачей на групповое преследование - есть диссертация на эту тему.

2)А я бы рассмотрел еще и похожую постановку, понятную военным.
Дан летательный аппарат (материальная точка), летящий со скоростью $v$.
По нему выпустили $n$ ракет $n>1$ летящих со скоростью $v_1>v$ из 2 разных точек. Какая будет оптимальная траектория аппарата? Критерий - избежать или мах оттянуть столкновение.
Можно и при $n=1$ - но реш тривиально.

[zer0]

Наблюдатель, который сидит в центре вращающегося треугольника видит, что все точки движутся к нему с постоянной и одинаковой скоростью.

[lunya]

zer0 в сообщении #730903 писал(а):

Наблюдатель, который сидит в центре вращающегося треугольника видит, что все точки движутся к нему с постоянной и одинаковой скоростью.

Интутивно прыгнуть во вращающуюся систему легко, а аналитически сложновато.

ewert в сообщении #655047 писал(а):

$\begin{cases}\vec r_1\,'(t)=\frac{\vec r_2-\vec r_1}{|\vec r_2-\vec r_1|}; \\ \vec r_2\,'(t)=\frac{\vec r_3-\vec r_2}{|\vec r_3-\vec r_2|}; \\ \vec r_3\,'(t)=\frac{\vec r_1-\vec r_3}{|\vec r_1-\vec r_3|}\end{cases}$

Не получается выразить одну ф. через остальные ф. Получается змея поедающая свой хвост.

Интересно, как математически доказать сохранение симметрии системы во времени, или что все точки встретятся вместе в один момент времени, исходя из нач. условий. Интуитивно все понятно.

[ewert]

lunya в сообщении #968615 писал(а):

Не получается выразить одну ф. через остальные ф.

(Оффтоп)

Надо же, и трёх лет не прошло...

Не надо ничего выражать. Эта система была приведена не для того, чтобы её решать, а лишь для обоснования симметричности. Переходите к полярным координатам. Т.е. просто запишите вот это

lunya в сообщении #654970 писал(а):

так как скорость по модулю постоянна, то центробежная и касательная состовляющая тоже будут всегда постоянны

с помощью формул.

lunya в сообщении #968615 писал(а):

как математически доказать сохранение симметрии системы во времени,

Если $\vec r_1(t)$ -- решение для первой точки, $\vec r_2(t)$ -- оно же, но повёрнутое на 120 градусов и $\vec r_3(t)$ -- повёрнутое ещё раз, то эта тройка функций удовлетворяет условию задачи и, значит, и будет решением. Но гораздо лучше, конечно, доказывать симметричность решения словом "очевидно".