Найти производящую функцию последовательности

[Nkey]

Помогите с заданием
Найти производящую функцию последовательности $a_n = 3^{n}\cos(2n)$

Начал делать... Дальше не знаю как
Производящая функция будет равна сумме ряда
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=1}3^{n} \cos{(2n)} x^{n}$

Поскольку $\cos{(2n)}=\frac {e^{2n}+e^{-2n}} 2 = \frac {e^{2n}} 2 + \frac {e^{-2n}} 2$, то

$f(x)={\sum^{\infty}_{n=1}3^{n} \frac {e^{2n}} 2 x^{n}}+\sum^{\infty}_{n=1}3^{n} \frac {e^{-2n}} 2 x^{n}⁡$

[zhoraster]

Тема перемещена из Помогите решить/разобраться (М) в Карантин по следующим причинам:
- формулы надо набирать в нотации $\TeX$. Как это делать, можно посмотреть в теме Краткий ФАК по тегу [math];
- не допускается выкладывать картинки, которые можно заменить текстом или формулами.

Исправьте все свои ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.

Также в качестве полезного чтения рекомендую Правила научного форума.

[Toucan]

Вернул.

[Someone]

Nkey в сообщении #575432 писал(а):

Производящая функция будет равна сумме ряда
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=1}3^{n} \cos{(2n)} x^{n}$

Точно от $n=1$, а не от $n=0$? Это просто просьба уточнить условие.

Nkey в сообщении #575432 писал(а):

Поскольку $\cos{(2n)}=\frac {e^{2n}+e^{-2n}} 2 = \frac {e^{2n}} 2 + \frac {e^{-2n}} 2$

Ну нет, это неправильно. Получше вспомните формулу Эйлера.

Nkey в сообщении #575432 писал(а):

Дальше не знаю как

А формулу суммы геометрической прогрессии знаете?

[Nkey]

Someone в сообщении #575502 писал(а):

Nkey в сообщении #575432 писал(а):

Производящая функция будет равна сумме ряда
$f(x)=\sum^{\infty}_{n=1}3^{n} \cos{(2n)} x^{n}$

Точно от $n=1$, а не от $n=0$? Это просто просьба уточнить условие.

$n=1$ геометрическая прогрессия ведь.. может и $n=0$.. по методичке смотрел просто

Someone в сообщении #575502 писал(а):

Nkey в сообщении #575432 писал(а):

Поскольку $\cos{(2n)}=\frac {e^{2n}+e^{-2n}} 2 = \frac {e^{2n}} 2 + \frac {e^{-2n}} 2$

Ну нет, это неправильно. Получше вспомните формулу Эйлера.

Ну она $\cos{(x)}=\frac {e^{ix}+e^{-ix}} 2$
Просто коэффициент у косинуса 2n... поэтому такой и беру заместо x

[Someone]

Nkey в сообщении #575514 писал(а):

Ну она $\cos{(x)}=\frac {e^{ix}+e^{-ix}} 2$
Просто коэффициент у косинуса 2n... поэтому такой и беру заместо x

А куда мнимая единица девается?

Nkey в сообщении #575514 писал(а):

$n=1$ геометрическая прогрессия ведь.. может и $n=0$.. по методичке смотрел просто

Да она и так, и эдак геометрическая прогрессия, только элементы нумеруются по-разному. Но если нумеруем с единицы, то у Вас $a_1,a_2,\ldots,q_n,\ldots$ начинается с $a_1=3\cos 2$, а если с нуля, то $a_0,a_1,a_2,\ldots,q_n,\ldots$ начинается с $a_0=1$. Производящие функции будут немного разными. Впрочем, на требуемые вычисления это практически не влияет.

Так в чём проблема-то?

[Nkey]

Someone в сообщении #575746 писал(а):

Так в чём проблема-то?

просто не получается разложить правильно косинус и вынести за скобки множители.. чтобы потом взять интеграл

Ну тогда поскольку $3^{n}\cos{(2n)}=\frac {e^{i\cdot2n}+e^{-i\cdot2n}} 2$

То $f(x)={\sum^\infty_{n=1}3^{n} \frac {e^{i\cdot2n}} {2} x^{n}}+{\sum^\infty_{n=1}3^{n} \frac {e^{-i\cdot2n}} {2} x^{n}}$..

А дальше подскажешь... ?

[ИСН]

Про сумму бесконечной геометрической прогрессии слышали когда-нибудь?

[Toucan]

Nkey в сообщении #576068 писал(а):

А дальше подскажешь... ?

Nkey, замечание за фамильярность. Читайте Правила форума:

Правила форума в http://dxdy.ru/post27356.html#p27356 писал(а):

1) Нарушением считается:
…
е) ..., фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...

[Someone]

Nkey в сообщении #576068 писал(а):

чтобы потом взять интеграл

А зачем???
Я Вам ясно написал: формула суммы геометрической прогрессии. После этого и подсказывать-то уже больше нечего.