2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение30.12.2012, 21:32 


03/02/12

530
Новочеркасск
Я так понял, что я должен отреагировать на предупреждение уважаемого AKM, раз он отредактировал и дополнил свое первоначальное сообщение?
Так вот - я принял к сведению...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение30.12.2012, 21:54 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612

(alexo2)

alexo2 в сообщении #665521 писал(а):
я должен отреагировать ..., раз он отредактировал и дополнил...
Вы неправильно поняли. Я написал самодостаточную претензию, а потом, убедившись, что картошка ещё не сварилась, добавил для Вас детали произведённой оплошности --- конкретную синтаксическую ошибку. Если бы картошка сварилась, то, наверное, не отредактировал бы и не добавил бы.

Вы же, похоже, до сих пор не ознакомились с Аксиоматикой форума. Ваше последнее сообщение малость не дотягивает до нарушения аксиомы и) из группы аксиом 1), в нестрогих интерпретациях цитируемой иногда как "обсуждение действий модератора в тематической разделе".


-- 30 дек 2012, 22:57 --

:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение30.12.2012, 22:18 


03/02/12

530
Новочеркасск

(Оффтоп)

Понял... Картошка варится.

:-)

 Профиль  
                  
 
 Осенило!
Сообщение29.01.2013, 19:46 


03/02/12

530
Новочеркасск
Напомню, пытаемся доказать, что
(1)$x^3-(x-1)^3=y^5-(y-1)^5$
не имеет решений в натуральных числах кроме тривиальных.
В (1) левая часть представляет собой число вида:
(2)$1+6T_3$, где $T_3$ - треугольное число.
Правая часть:
(3)$1+10T_5$, где $T_5$ - треугольное число.
Чтобы выполнялось (1), необходимо, чтобы выполнялось:
(4)$6T_3=10T_5$ или $3T_3=5T_5$
Отсюда, используя свойство треугольных чисел, перейдем к квадратам:
(5)$3a^2+2=5b^2$
С другой стороны, умножив обе части (1) на $8$ для левой из них получим:
(6)$(2x)^3-(2(x-1))^3$ При этом, разность двух кубов, разность оснований которых равна 2 составляет сумму двух последовательных треугольных чисел и двойки.
Используем ещё одно свойство треугольных чисел - сумма последовательных равна квадрату. Причем квадрат этот будет ровно тот же самый, что и в (5), то есть, равен $a^2$. Тогда, для правой части, применяя обычное умножение и добавление для квадрата, можем записать:
(7)$6a^2-1=5b^2$.
Решая совместно (5) и (7) приходим к
(8)$2a^2=a^2+1$ имеющему единственное решение в натуральных числах:
(9)$a=1$...
Уважаемый nnosipov, видимо, это и есть то что Вы называете "удачное стечение обстоятельств"?
Все равно, как мне кажется, красиво получилось...

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение29.01.2013, 20:48 


03/02/12

530
Новочеркасск
Прошу прощения - опять ошибка в арифметике :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение10.05.2013, 21:45 


03/02/12

530
Новочеркасск
Опять интересный "побочный" результат - хоть что-то, на первый взгляд неочевидное, удалось доказать элементарным способом.
А именно, - то что одновременное выполнение:
$x^3 = y^3 - (y-1)^3$
и
$x^5 = z^5 - (z-1)^5$

в натуральных числах невозможно.
Это доказывается решением системы тождественных уравнений, соответственно:

$4x^3 = 3a^2+1$
$4x^5 = 5b^2-1$
:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение10.05.2013, 21:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
alexo2, докажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: "Причудливая" кривая
Сообщение10.05.2013, 22:03 


29/09/06
4552
alexo2 в сообщении #722108 писал(а):
Это доказывается решением системы тождественных уравнений,
Заодно было бы интересно узнать, что есть "тождественное уравнение", и чем оно отличается от просто тождества. Про систему оных тогда, наверное, сами догадаемся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group