ошибки в учебнике Голдстейна

[Oleg Zubelevich]

То насколько важное место занимает монография Арнольда "Матетематические методы классической механики" начинаешь понимать только познакомившись с другими учебниками, лежащими вне математической традиции изложения этого предмета. Особенно много глупостей пишут про гамильтонову механику и вариационные принципы.



Приведу две выдержки из учебника Голдстейна "Классическая механика"



То, что это определение канонического преобразования не эквивалентно стандартному -- полбеды, дальше самое смешное:



а это уже прямое вранье: Преобразование $P=2p,\quad Q=q$ является каноническим в смысле введенного определения, но величину $J_1$ не сохраняет.


Во введении к главе про канонические замены координат Голдстейн пишет:

т.е. он утверждает, что всегда можно ввести такую систему канонических координат, что гамильтониан будет зависеть лишь от обобщенных импульсов. И так совешено великое открытие: все гамильтоновы системы являются вполне интегрируемыми. Очевидно автор даже не слышал про такое физическое явление как динамический хаос.
Про переменные Действие-угол дочитать не смог -- съехал под стол

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #532494 писал(а):

То, что это определение канонического преобразования не эквивалентно стандартному

А объясните для невнимательных тупиц типа меня - в чём разница?

[Oleg Zubelevich]

Munin
Стандартное определение такое. Каноническим преобразованием называется преобразование, которое сохраняет 2-форму: $dp_i\wedge dq^i=dP_i\wedge dQ^i$, а "вид уравнений Гамильтона" сохраняют не только канонические преобразования. Пример приведен выше.

[Munin]

Хорошо, а без форм, которые к этому моменту ни у Голдстейна, ни у ЛЛ не введены, что должно сохраняться?

-- 29.01.2012 10:29:50 --

Сунулся в "Энциклопедию мат. физики". Правильно я понял, что отличие в дополнительном условии, что преобразование должно сохранять нормировку функции Гамильтона? Так разве оно существенно для физики?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #532544 писал(а):

Хорошо, а без форм, которые к этому моменту ни у Голдстейна, ни у ЛЛ не введены, что должно сохраняться?

можно условия равенства форм писать в лоб через определители, а слово "форма" не произносить.
Можно рассматривать канонические преобразования в терминах производящих функций, а гамильтонов формализм строить как науку об уравнении Гамильтона-Якоби и его характерисчтиках. Последнее делают в курсах урчп. Однако полностью понять гамильтонов формализм без дифференциальных форм нельзя имхо

Munin в сообщении #532544 писал(а):

Сунулся в "Энциклопедию мат. физики". Правильно я понял, что отличие в дополнительном условии, что преобразование должно сохранять нормировку функции Гамильтона? Так разве оно существенно для физики?

Если дадите определение нормировки функции Гамильтона -- отвечу. Существенность для физики состоит в том, что гамильтонов формализм позволяет эффективно решать физические задачи, это инструмент. А такого прямого физического смысла, чтобы физика системы с гамильтонианом $H$ отличалась от физики системы с гамильтонианом $13H$ -- нет, конечно.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #532563 писал(а):

можно условия равенства форм писать в лоб через определители, а слово "форма" не произносить.

Окей, напишите, пожалуйста. Это облегчит другим возможным участникам обсуждение в теме. Мне, например :-)

Oleg Zubelevich в сообщении #532563 писал(а):

Однако полностью понять гамильтонов формализм без дифференциальных форм нельзя имхо

Ну, наверное. Но в физике достаточно зачастую умения рисовать и читать фазовые портреты, и произносить умные слова типа "теорема Лиувилля".

Лично мне больше интересно понять геометрическое квантование. Поможете?

Oleg Zubelevich в сообщении #532563 писал(а):

Не знаю, что такое нормировка функции Гамильтона.

Это когда из функций, отличающихся только масштабным преобразованием значений, выбрана одна. Смысл такой нормировки - в том, чтобы функция Гамильтона реальной физической системы измерялась в реальных же эргах или джоулях, и несла смысл энергии. Но для абстрактного рассмотрения системы делать её не обязательно.

Oleg Zubelevich в сообщении #532563 писал(а):

Существенность для физики состоит в том, что гамильтонов формализм позволяет эффективно решать физические задачи, это инструмент.

Задачи бывают разные, одни ближе к практике, другие - к теории. Когда мы хотим рассчитать, сколько энергии выделится при столкновении метеорита с Землёй, мы заинтересованы в конкретных эргах, но для этого нам не нужен гамильтонов формализм. А когда мы хотим выяснить, регулярное движение у этой каменюки было в Солнечной системе, или хаотическое, нам гамильтонов формализм нужен, но вот конкретные эрги - уже не очень.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #532583 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #532563 писал(а):
можно условия равенства форм писать в лоб через определители, а слово "форма" не произносить.

Окей, напишите, пожалуйста. Это облегчит другим возможным участникам обсуждение в теме. Мне, например

$dP_i\wedge dQ^i=\Big(\frac{\partial P_i}{\partial q^s}dq^s+\frac{\partial P_i}{\partial p_j}dp_j\Big)\wedge \Big(\frac{\partial Q^i}{\partial q^s}dq^s+\frac{\partial Q^i}{\partial p_j}dp_j\Big)$
скобки надо раскрыть, члены при $dp_n\wedge dq^n$ (cуммирования нет) приравнять 1, остальные к 0. Например $\frac{\partial P_i}{\partial q^s}\frac{\partial Q^i}{\partial q^k}-\frac{\partial P_i}{\partial q^k}\frac{\partial Q^i}{\partial q^s}=0$ и т.д.

Munin в сообщении #532583 писал(а):

Лично мне больше интересно понять геометрическое квантование. Поможете?

а я не знаю что это такое

Munin в сообщении #532583 писал(а):

Это когда из функций, отличающихся только масштабным преобразованием значений, выбрана одна. Смысл такой нормировки - в том, чтобы функция Гамильтона реальной физической системы измерялась в реальных же эргах или джоулях, и несла смысл энергии. Но для абстрактного рассмотрения системы делать её не обязательно.

вид уравнений Гамильтона сохраняеся при преобразованиях с таким свойством $p_idq^i-H(p,q,t)dt=const(P_idQ^i-K(P,Q,T)dT+dS(P,Q,T))$ и наверное это иесть самый общий вид преобразований, который уравнения Гамильтона переводят в уравнения Гамильтона.

Munin в сообщении #532583 писал(а):

Задачи бывают разные, одни ближе к практике, другие - к теории. Когда мы хотим рассчитать, сколько энергии выделится при столкновении метеорита с Землёй, мы заинтересованы в конкретных эргах, но для этого нам не нужен гамильтонов формализм. А когда мы хотим выяснить, регулярное движение у этой каменюки было в Солнечной системе, или хаотическое, нам гамильтонов формализм нужен, но вот конкретные эрги - уже не очень.

да, согласен

[Munin]

Как я понял, эти величины у Голдстейна названы скобками Лагранжа (относительно новых переменных $Q$ и $P$)... Но дальше Голдстейн для них доказывает как раз указанные вами соотношения (8.41c). Там где-то в выводе ошибка?

[Oleg Zubelevich]

ошибка происходит когда он говорит, что так определенные "канонические" преобразования описываются с помощью производящих функций. После этонго он уже имеет дело со стандартными каноническими преобразованиями, а не с теми, которые определял в начале.
Кстати, у него там говорится, что может существовать только 4 вида производящих функций, в действительности их $2^n$, где $n$ -- числло степеней свободы системы [Арнольд Мат. методы...]

[Munin]

Ясно, спасибо. То есть, ошибка у него всё-таки достаточно локализованная, так?

[Oleg Zubelevich]

Есть ошибки, есть оценки ошибок. Последнее -- штука субъективная. Думаю, что если дальше буду читать эту книжку еще чего-нубудь найду.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #532767 писал(а):

Последнее -- штука субъективная.

Окей.

[anatoliy_kiev]

Cidor в сообщении #532523 писал(а):

Oleg Zubelevich

Oleg Zubelevich в сообщении #532494 писал(а):

Про переменные Действие-угол дочитать не смог -- съехал под стол

Не ушибся?

это точно....

По сути: книга Арнольда отличная, и то, что "контрпример" вы оттуда списали (сноска на стр. 212 третьего издания)

Цитата:

В некоторых учебниках свойство сохранять канонический вид уравнений Гамильтона принято за определение канонических преобразований. В действительности это определение не эквивалентно общепринятому и приведенному выше. Например, не каноническое в нашем смысле преобразование Р = 2р, Q = q сохраняет гамильтонов вид уравнений движения.

тоже замечательно. Только вот "в некоторых учебниках" -- это Арнольд приврал. Это принято в очень многих учебниках. Более того, такое определение принято в небезызвестной книге Уиттекера, первое издание которой вышло задолго (1904 г.) до рождения Арнольда, а поскольку изложение у Уиттекера скрупулезно историческое, то почти наверняка такое определение принято и у тех, кто впервые над ним работал. Поэтому неудивительно, что таким определением пользуется и Голдстейн, и Ландау и Лифшиц, и еще три воза с хвостиком учебников. Так что Америку вы не открыли. Продолжаете наблюдение дальше.

[Oleg Zubelevich]

В этом абзаце автор утверждает, что замкнутую кривую на плоскости можно задать графиком функции (в моем издании это стр 313)

Читаем дальше. Имеют место формулы (они есть у Голдстейна)

$$ J_i=\oint p_idq_i\quad (*)$$

(тут как будто не хватает $2\pi$)
и

$$p_i=\frac{\partial W_i}{\partial q_i} \quad (**)$$

Однако, Голдстейн не понимает, что формула (*) написана в инвариантных глобальных терминах, а формула (**) содержит производящую функцию -- объект локальный и не инвариантный.
Из этого непонимания Голдстейн рождает очаровательный гибрид:



По сути, эта формула бессмысленна, и проблема не в том, что куда-то потерялась $dq_i$. Этот интеграл тождественно равен нулю, если, вообще подинтегральное выражение определено и является непрерывной функцией всюду где нужно.

[Oleg Zubelevich]

стр 341 глава о малых колебаниях:


без дополнительного предположения об изолированности минимума это неверно: любое положение равновесия материальной точки на гладком горизонтальном столе неустойчиво.


Контрпример к этому утверждению Голдстейна:

был построен Пенлеве и цитируется в работе Паламодова Об устойчивости равновесия в потенциальном поле Функц. анализ и его прил., 1977, том 11, выпуск 4, страницы 42–55