2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Плотности числовых последовательностей (по Шнирельману)
Сообщение29.11.2006, 17:30 


07/01/06
173
Минск
Можно ли построить две последовательности $A$ и $B$ такие, что

$\begin{gathered}
  \rho \left( A \right) = 0, \hfill \\
  \rho \left( B \right) = 0, \hfill \\
  \rho \left( {A + A} \right) = 1, \hfill \\
  \rho \left( {A + B} \right) = 1, \hfill \\
  \rho \left( {B + B} \right) = 1. \hfill \\ 
\end{gathered} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотности последовательностей
Сообщение29.11.2006, 20:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
AndAll писал(а):
...


А плотность у Вас как определяется?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2006, 22:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Думаю речь идет о плотности последовательности в ракурсе исследований Шнирельмана и последующих по гипотезе Гольдбаха.
Тогда такие последовательности невозможны, т.к. если плотность $A+A$ равна единице - мы описываем весь натуральный ряд. Поскольку плотность любой арифметической прогрессии, начиная с единицы положительна, то наша последовательность идет реже любой арифметической, т.е. в ней встречаются пробелы, большие любой наперед заданной константы. Однако уже для $B+B$, где $B$ - арифметическая прогрессия с разностью $3$ весь натуральный ряд описать невозможно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Плотности последовательностей
Сообщение29.11.2006, 23:01 


07/01/06
173
Минск
Someone писал(а):
AndAll писал(а):
...


А плотность у Вас как определяется?


Именно по Шнирельману, как и предполагает Артамонов Ю.Н.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2006, 23:05 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Плотность можно опредеять по разному: как минимум и как предел (при n->oo) отношения количества элементов последовательности меньших n к n.
Если определять как предел, то плотность равная 1 не означает, что последовательность совпадает с натуральным рядом.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.11.2006, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
У Шнирельмана определяется как минимум.

 Профиль  
                  
 
 Небольшое уточнение
Сообщение30.11.2006, 11:24 


07/01/06
173
Минск
Наверное, моя ошибка в том, что я не дал определение той сумме, которое имел в виду.

Пусть $\left( {A \oplus B} \right)$ представляет собой всевозможные суммы, составленные из элементов последовательностей $A$ и $B$. Тогда, $A + B = \left( {A \oplus B} \right) \cup A \cup B$.

Как известно, плотность суммы последовательностей не равна, а больше суммы плотностей исходных последовательностей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2006, 11:29 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Если предполагать, что $A$ и $B$ содержат число 0, то $A\oplus B=A+B.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2006, 12:35 


07/01/06
173
Минск
maxal писал(а):
Если предполагать, что $A$ и $B$ содержат число 0, то $A\oplus B=A+B.$


Действительно так, но я этого не сказал и хорошо, что Вы сами это предположили.

Если, например, взять два отрезка прогрессий с разностями $2$ и $3$ от $1$ до $n$, то такая сумма даст $\sim n\left( {n + 5} \right)/6$ членов, что с ростом $n$ превышает $2n$ на величину, большую любой наперед заданной. Поэтому, из исходных прогрессий можно «повыдергивать» некоторое количество членов так, что плотность суммы останется равной единицы, а плотность исходных последовательностей устремиться к нулю.
Я имею в виду такую конструкцию.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2006, 13:56 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Посмотрите на такую конструкцию.

Разобъем множество натуральных чисел на два непересекающихся класса $\mathbb{A}$ и $\mathbb{B}$ так, чтобы в любой последовательности $\{1,2,\ldots,N\}$ было примерно поровну элементов из каждого класса (просто даже пусть $\mathbb{A}$ - четные числа, $\mathbb{B}$ - нечетные).

Будем представлять натуральные числа в двоичной записи, позиции нумеровать стандартным образом с конца.

Далее, в качестве последовательности $A$ возьмем такие числа, в двоичном представлении которых ненулевые разряды могут располагаться только на позициях с номерами из множества $\mathbb{A}$, а прочие всегда нули. Аналогичным образом, $B$ состоит из чисел, у которых ненулевые разряды могут быть только на позициях $\mathbb{B}$.

Ясно, что сумма таких последовательностей дает все натуральные числа. При этом плотности самих последовательностей $A$ и $B$ равны нулю.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2006, 15:27 


07/01/06
173
Минск
PAV писал(а):
... Ясно, что сумма таких последовательностей дает все натуральные числа. При этом плотности самих последовательностей $A$ и $B$ равны нулю.


Пока сомневаюсь, что "плотности самих последовательностей $A$ и $B$ равны нулю". Впрочем, надо подумать. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2006, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Похоже, что рассуждение PAV проходит, только вот не удовлетворяются условия задачи $\rho(A+A)=1$, $\rho(B+B)=1$, о которых я говорил.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group