Про систему можно сказать следующее - сильноразреженная. Порядок системы - 100 000. Ясное дело, матрица не вырожденная.
Вопрос: матрица точная или приближенная?
Если приближенная, то мы не всегда можем гарантировать невырожденность, даже если посчитали det(A).
цитата из Тыртышников Матричный анализ и линейная алгебра стр 281Любая матрица с диагональным преобладанием, по строкам или по столбцам является обратимой.Можно доказать, что если определитель матрицы отличен от нуля, то при всех достаточно малых изменениях (в математике часто говорят — возмущениях) элементов матрицы определитель не станет нулем.
Если каждый элемент матрицы-возмущения F порядка n по модулю меньше 1/n, то det(А+ F) <> 0.Однако, по величине определителя трудно судить, насколько малы должны быть соответствующие возмущения.
Например, рассмотрим двухдиагональные матрицы порядка n (главн диаг 1, диаг над нлавной 2) с возмущением eps только одного элемента — в левом нижнем углу:
А(е) =
[1 2 ]
[ 1 2 ]
[ . . . ]
[ 1 2]
[e 1]
При e = 0 имеем det A(e) = 1.
В общем случае, применяя теорему Лапласа для разложения определителя по первому столбцу, находим det А(е) = 1 + e * (-1)^(n-1) * 2^(n-1).
При e = (—1)^n/2^(n-1) получаем det A(e) = 0.
Пусть, например, n = 100. Как видим, невырожденная матрица с определителем 1 превращается в вырожденную при весьма малом возмущении!
В Вашем случае n=10^5 нельзя гарантировать, что возмущение e=10^(-5) не сделает матрицу вырожденной.Диагональный элемент не меньше суммы остальных элементов в строке (в любой)
диагональное преобладание дает невырожденность
