2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 05:23 
Аватара пользователя
Пусть $I$ --- произвольное бесконечное множество. Тогда поля рациональных функций $\mathbb Q(t_\nu\mid\nu\in I)$ и $\mathbb Q(i)(t_\nu\mid\nu\in I)$ (где $t_\nu$ --- независимые переменные) имеют мощность $|I|$ (вроде бы) и не изоморфны (в одном уравнение $x^2+1=0$ имеет решение, а в другом --- нет). Для континуального примера можно взять $\mathbb R$ и $\mathbb C$. А ещё можно было просто поля разной характеристики взять. Почему самые простые ответы приходят в голову с опозданием? :)

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 16:16 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #275026 писал(а):
Для континуального примера можно взять $\mathbb R$ и $\mathbb C$. А ещё можно было просто поля разной характеристики взять. Почему самые простые ответы приходят в голову с опозданием? :)

Да, действительно! Что-то я ночью плохо соображал, сейчас утром тоже подумал про $\mathbb R$ и $\mathbb C$. Что касается полей конечной характеристики, то как их построить? Бесконечные в смысле.

А размерность может меняться при смене поля: $\mathbb C$ двхмерно над $\mathbb R$, но одномерно над собой. То есть если положить $A = \{0,1\}, F=\mathbb R$ и на $F$ рассмотреть две структуры поля - вещественную и комплексную - то получится как раз пример нужного вида. Правда, с конечным $A$.

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 19:44 
Аватара пользователя
Ираклий в сообщении #275118 писал(а):
Что касается полей конечной характеристики, то как их построить? Бесконечные в смысле.
Через присоединение неизвестных (то есть те же поля рациональных функций). Какие-нибудь естественные бесконечные поля положительной характеристики в голову не приходят. Замечание про разные характеристики я добавил больше для себя: сначала долго думал, как можно доказать неизоморфность полей.

Ираклий в сообщении #275118 писал(а):
А размерность может меняться при смене поля: $\mathbb C$ двхмерно над $\mathbb R$, но одномерно над собой. То есть если положить $A = \{0,1\}, F=\mathbb R$ и на $F$ рассмотреть две структуры поля - вещественную и комплексную - то получится как раз пример нужного вида. Правда, с конечным $A$.
Не получится. Если $A\ne\varnothing$ конечно, то $\dim_FF^A=|A|$ для любого поля $F$.

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 20:38 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #275163 писал(а):
Не получится. Если $A\ne\varnothing$ конечно, то $\dim_FF^A=|A|$ для любого поля $F$.

Я имел в виду, что $\dim_{\mathbb C}\mathbb C=1, \dim_{\mathbb R}\mathbb C=2$. Но это, действительно, не совсем то, о чем Вы говорили.

Вот, кстати, еще одно доказательство того, что $\dim_{\mathbb C} c_\infty=\mathfrak{c}$, которое предложил один мой друг. Рассмотрим множество последовательностей вида $(a, a^2, a^3, ...)$ для всех ненулевых $a \in\mathbb R$. Их континуум и они линейно независимы в силу отличия от нуля определителя Вандермонда. Вот и всё!

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 21:25 
Аватара пользователя
Мда, как всё просто. Этот же пример даёт $\dim_FF^{\mathbb N}\ge|F|$. Кстати, а верно ли, что при $|F|\ge\mathfrak c$ выполнено $|F^{\mathbb N}|=|F|$?

-- Пт 25.12.2009 22:15:50 --

Тьфу ты, ведь это доказывает, что $\dim_FF^A=|F|^{|A|}$ (для бесконечного $A$).

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 22:36 
Аватара пользователя
RIP в сообщении #275200 писал(а):
Кстати, а верно ли, что при $|F|\ge\mathfrak c$ выполнено $|F^{\mathbb N}|=|F|$?

Если принять GCH, то ответ следующий:
$$|F^{\mathbb N}|=\begin{cases}
|F|,&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)>|\mathbb N|$;}\\
|F|^+,&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)=|\mathbb N|$.}
\end{cases}$$

Без GCH можно доказать следующее:
(i) Если существует кардинал $\mu<|F|$, такой, что $\mu^{|\mathrm N|} \ge |F|$, то $|F^{\mathbb N}|=\mu^{|\mathrm N|}$.
(ii) В противном случае,
$$|F^{\mathbb N}|=\begin{cases}
|F|,&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)>|\mathbb N|$;}\\
|F|^{\mathrm{cf}(|F|)},&\text{если $\mathrm{cf}(|F|)=|\mathbb N|$. Хмм... Что-то меня стала смущать эта строчка. Она верна, но имеет вид $a=a$.}\\
&\text{Короче, в этом случае ничего толком доказать нельзя, видимо, так надо понимать.}
\end{cases}$$

Взято мною из книги Йеха "Set Theory". Все эти утверждения доказываются не очень сложно. Но понять их интуитивно довольно затруднительно..

-- Пт дек 25, 2009 23:41:15 --

RIP в сообщении #275200 писал(а):
Тьфу ты, ведь это доказывает, что $\dim_FF^A=|F|^{|A|}$ (для бесконечного $A$).

Гм.. Сорри, не понял, что "это"? Как доказывает? Туповат я :oops:

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение25.12.2009, 23:20 
Аватара пользователя
Если $|F^A|>|F|$, то мы уже знаем, что размерность равна $|F^A|$. А если $|F^A|=|F|$, то размерность $\ge|F|=|F^A|$.

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение26.12.2009, 00:20 
Аватара пользователя
Теперь понял. Получается, что мы полностью разобрались с предложенным Вами вопросом про размерность $F^A$! И опасения неразрешимости проблемы в ZFC не оправдались.

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение26.12.2009, 01:50 
Аватара пользователя
Ираклий в сообщении #274891 писал(а):
Рассматривается векторное пространство $c_{\infty}$ произвольных последовательностей комплексных чисел над полем $\mathbb C$. Почему его размерность континуум?

RIP уже дал довольно красивое решение.

Могу предложить ещё такое: существует континуальное семейство подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух элементов которого конечно. Ну и рассмотреть множество характеристических функций элементов этого семейства.

-- Сб дек 26, 2009 04:59:54 --

(Оффтоп)

Ираклий в сообщении #274967 писал(а):
Как следует из моей подписи и Теоремы Снейпа ( :) )

Простите, а что имеется в виду? Я если и писал что-то на эту тему, то, как всегда, всё забыл :oops:

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение26.12.2009, 02:20 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):
Простите, а что имеется в виду? Я если и писал что-то на эту тему, то, как всегда, всё забыл

Речь идет вот об этой теореме. Ссылку на нее мне дал RIP в своем первом посте в этой теме.
Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):
Ну и рассмотреть множество характеристических функций элементов этого семейства.

Такой набор последовательностей может оказаться линейно зависимым. Вот если все множества в семействе будут бесконечны, то да, все хорошо будет. Впрочем, понятно, что если такое семейство есть, но все конечные можно просто выбросить, оно все равно останется континуальным.
Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):
существует континуальное семейство подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух элементов которого конечно

Гмм... почему?

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение26.12.2009, 02:26 
Аватара пользователя
Ираклий в сообщении #275302 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #275292 писал(а):
существует континуальное семейство подмножеств натурального ряда, пересечение любых двух элементов которого конечно

Гмм... почему?
http://dxdy.ru/topic26899.html

 
 
 
 Re: Пространство последовательностей
Сообщение26.12.2009, 02:32 
Аватара пользователя
Ираклий в сообщении #275302 писал(а):
Такой набор последовательностей может оказаться линейно зависимым. Вот если все множества в семействе будут бесконечны, то да, все хорошо будет. Впрочем, понятно, что если такое семейство есть, но все конечные можно просто выбросить, оно все равно останется континуальным.

Согласен, конечные надо выкинуть.

 
 
 [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group