2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Упростить выражение номер 1.041 из Сканави
Сообщение08.04.2011, 17:06 


08/04/11
14
Прорешиваю примеры из сборника для поступающих во ВТУЗы Сканави и натолкнулся на "крепкий орешек". В сборнике он идет под номером 1.041. Согласно сборнику, ответ должен быть равен минус четырем (-4). Но такой ответ получить не удается.

Кто-то может решить?

Вот сам пример:
$t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} + \sqrt{t+4} + \frac{4}{\sqrt{t+4}}

$



(Оффтоп)

Две возможные причины неудачи:
1) Скорей всего, причина затруднений, кроется в неправильной интерпретации первой трехэтажной дроби.
2)Может в книге опечатка? Меня смущает переменная t, которая стоит в самом начале примера. В отсканенной книге, после t стоит какой-то невнятный символ - это может оказаться дефектом сканирования, который не позволяет правильно интерпретировать данный пример.

Может у кого-то в печатном виде есть Сканави? Посмотрите, пожалуйста, что там за символ после t.



По правилам, необходимо "обязательно [...] продемонстрировать свои содержательные попытки решения".

Демонстрирую:


(Оффтоп)

Две дроби справа складываются без проблем:


$\sqrt{t+4} + \frac{4}{\sqrt{t+4}} = \frac{(t+4)+4}{\sqrt{t+4}} = \frac{t+8}{\sqrt{t+4}}



$





А вот с первой дробью возникают проблемы


$t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}}

$


Это трехэтажная дробь, поэтому ее можно интерпретировать двояко.

1)$t(1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}):({2-\sqrt{t+4}}) = t(1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}})\frac{1}{2-\sqrt{t+4}} = t\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}(2-\sqrt{t+4})}

$


2) $t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} =  $t\cfrac{\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2):\frac{\sqrt{t+4}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2)\frac{2-\sqrt{t+4}}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(2+\sqrt{t+4})(2-\sqrt{t+4})}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(4 -(t-4)}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(8 -t)}{\sqrt{t+4}} 


$

Но, затруднение вызывает то, что ни в одном из этих случаев, у меня не получается в ответе получить минус четыре.


В электронном виде сборник Сканави, из которого взят этот пример, можно скачать здесь (12 мб) (открывать с помощью этой проги, сам пример номер 1.041 находится на 11 странице, а ответ на него можно посмотреть на 262 странице):
http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=335103

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2011, 17:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
В условии всё правильно. У меня получилось -4 сложением дробей, приведением к общему знаменателю, сокращением прямо в лоб. Вероятно есть более изящное решение.
В Ваших попытках первый вариант верный. Второй — нет, ибо Вы начинаете "интерпретацию" там, где она неприменима. Ибо трёхэтажная дробь получена из дроби у которой интерпретация единственна.
Складывайте то, что у Вас получилось и сокращайте понемногу.
Но подумайте и над более интересным решением.

Ещё раз про интерпретацию. Если дробь $\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}$ появилась неизвестно откуда, то мы можем воспринять её как $\dfrac{a}{\,\,\dfrac{b}{c}\,\,}$ или как $\dfrac{\,\,\dfrac{a}{b}\,\,}{c}$.
Но если она на наших глазах возникла из формулы $\dfrac{a+0}{\dfrac{b}{c}}$, то возможна только первая интерпретация. А вообще подобных конструкций лучше избегать, пользуясь двоеточием.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2011, 17:20 


08/04/11
14
А какая интерпретация трехэтажной дроби правильная - вторая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Упростить выражение номер 1.041 из Сканави
Сообщение08.04.2011, 17:22 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
Согласно сборнику, ответ должен быть равен минус четырем (-4). Но такой ответ получить не удается.
У меня получился.

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
Это трехэтажная дробь, поэтому ее можно интерпретировать двояко.
Как ни интерпретируй, одно и то же получается.

Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
2) $t\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} =  $t\cfrac{\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2):\frac{\sqrt{t+4}}{2-\sqrt{t+4}} = $t(\sqrt{t+4}+2)\frac{2-\sqrt{t+4}}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(2+\sqrt{t+4})(2-\sqrt{t+4})}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(4 -(t-4)}{\sqrt{t+4}} = \frac{t(8 -t)}{\sqrt{t+4}}
$
Интересный у Вас получился переход после второго знака =.

-- Пт апр 08, 2011 09:24:16 --

А вообще, надо избавлятся от корня в знаменателе в первой дроби. Домножением на соответствующую сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: Упростить выражение номер 1.041 из Сканави
Сообщение08.04.2011, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Aero111 в сообщении #432494 писал(а):
Кто-то может решить?

Ответ $-4$ верен. К общему знаменателю приводить не пробовали?
Aero111 в сообщении #432494 писал(а):

(Оффтоп)

1) Скорей всего, причина затруднений, кроется в неправильной интерпретации первой трехэтажной дроби.
2)Может в книге опечатка? Меня смущает переменная t, которая стоит в самом начале примера.


Здесь соверешенно нет трёхэтажных дробей. В первой дроби числитель $t\left(1+\frac{2}{\sqrt{t+4}}\right)$, знаменатель $2-\sqrt{t+4}$. Множитель $t$ присутствует, опечатки нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2011, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14494
Ну вот придумал изящное решение. Обозначим $a=\sqrt{t+4}$. Тогда $t=a^2-4$ и наше выражение запишется так:

$(a^2-4)\cdot\dfrac{1+\dfrac2a}{2-a}+a+\dfrac4a=-(a+2)\cdot(1+\dfrac2a)+a+\dfrac4a=-a-2-2-\dfrac4a+a+\dfrac4a=?$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение08.04.2011, 18:08 


08/04/11
14
Спасибо за помощь. Благодаря вашим подсказкам, удалось найти два варианта решения.

Первый "в лоб", и второй - более изящный, умножением числителя и знаменателя вот этой дроби:

$

t\cfrac{\sqrt{t+4}+2}{\sqrt{t+4}(2-\sqrt{t+4})}

$


на это выражение:


$

2 + \sqrt{t+4}

$


И gris добавил еще одно изящное решение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group