2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение24.03.2011, 12:21 


24/03/11
198
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Не получается решить простую задачу Штурма-Лиувилля в заданной области $G$ с однородными граничными условиями вида:

\bigtriangleup $u = -\lambda $u
$u|_{\partial G} = 0,

где $\partial G$ - граница области. А область $G$ - трехмерный конус, у которого основание представляет собой часть сферической поверхности, центр кривизны которой совпадает с вершиной конуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение24.03.2011, 12:32 


10/02/11
6786
А эта задача и не обязана решаться явно. Базис из собственных функций в $L^2(G)$ существует, это из общей теории следует, а в виде явных формул...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.03.2011, 18:02 


24/03/11
198
Если расписать лапласиан в сферических координатах и применить метод разделения переменных, то получаются стандартные уравнения на полиномы Лежандра (от аргумента $\cos\theta$, где $\theta$ - сферическая координата), сферические функции Бесселя и экспоненты (кажется)...

Так вот проблема в следующем. Из теории следует, что для задачи Штурма-Лиувилля характерно однозначное соответствие между собственными числами и собственными функциями (т.е. одному лямбде соответствует единственная собственная функция).
Мы требуем, что на границе собственная функция должа быть равна нулю. Граница, состоящая из боковой поверхности конуса задается лишь одной сферической координатой, скажем, $\theta_0$. Т.о. полиномы Лежандра должны быть равны нулю при $\theta=\theta_0$. Но по основной теореме алгебры полином n-ой степени имеет ровно n корней. Т.о. не получается вышеупомянутой однозначности...
Если кто-нибудь попробует решить эту задачу и найти собственные значения и собственные функции, я буду очень признателен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение24.03.2011, 18:51 
Заслуженный участник


23/07/08
7195
Харьков
Работаем в сферических координатах; $0 \leqslant r \leqslant R$, $0 \leqslant \theta \leqslant \Theta$, $\varphi \in \mathbb R$.
Вот Ваши заветные функции: $\psi_{knm}(r, \theta, \varphi)=j_{\nu}(\chi r) P_{\nu}^{m}(\cos \theta) e^{i m\varphi}$. Смысл индексов $k$, $n$, $m$ описан ниже.
$P_{\nu}^m(z)$ -- это присоединенная функция (не полином, увы...) Лежандра; $\nu$ нецелое, $m$ целое.
Функция $j_{\nu}(z)$ -- это сферическая функция Бесселя, она выражается через обычные функции Бесселя так: $j_{\nu}(z)=\sqrt{\frac{\pi}{2z}}J_{\nu+1/2}(z)$.

Определяем значения констант $m$, $\nu$, $\chi $ следующим образом.
1) Выбираем $m$ -- целое число; тогда решение периодично, и достаточно рассматривать $\varphi \in [-\pi, +\pi]$.
2) Находим $\nu$ -- это $n$-й положительный вещественный корень уравнения $P_{\nu}^m(\cos \Theta)=0$.
3) Находим $\chi $ -- это $k$-й положительный вещественный корень уравнения $j_{\nu}(\chi R)=0$.
Таким образом, $\nu$ зависит от $n$ и $m$ (а также $\Theta$), $\chi $ зависит от $k$, $n$, $m$ (а также $R$ и $\Theta$).

Теперь Ваше $\lambda=\chi ^2$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.03.2011, 00:20 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
Добавлю (может, и невпопад, но вдруг чего пригодится, вдруг чего не так понято было). Совершенно верно: целочисленные значения собственных чисел, обеспечивавшиеся конкретно полиномами Лежандра -- это не более чем случайность, обусловленная конкретно идеальным для данной задачки Ш.-Л. промежутком от минус единички до единички. Ну а ежели хоть одну из единичек сбить -- естественно, и все числа и функции расползутся не особо так контролируемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение26.03.2011, 01:17 


24/03/11
198
svv в сообщении #427119 писал(а):
$\nu$ нецелое

Почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение26.03.2011, 03:53 
Заслуженный участник


23/07/08
7195
Харьков
А ewert же всё объяснил.

После разделения переменных и кое-каких преобразований получается уравнение Лежандра, в которое входит константа $\nu$. На этом этапе её целость ниоткуда не следует: уравнение Лежандра с удовольствием имеет решение при любом вещественном $\nu$.

Единственная причина брать целое $\nu$ -- это требование регулярности решения на всём отрезке $[-1, 1]$. Это важно в случае шара. Но в случае конуса этой причины нет, так как $x=-1$ не входит в область определения.

Зато у нас есть требование $P_{\nu}(x_0)=0$, где $x_0=\cos(\theta_0)$. Для подавляющего большинства $x_0$ это требование не выполняется ни при каком целом $\nu$.

Попробуйте с помощью какого-нибудь математического пакета плавно менять $\nu$ от $0$ до $10$ и смотрите, как график $P_{\nu}(x)$ будет при некоторых $\nu$ проходить через точку $x=0.4$, $y=0$. Это случится в первый раз, потом во второй, в третий... Те $\nu$, при которых это случилось -- корни уравнения $P_{\nu}(0.4)=0$, и в моей терминологии (см. моё предыдущее сообщение) они нумеруются индексом $n=1, 2, 3...$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение26.03.2011, 11:28 


24/03/11
198
Спасибо svv, спасибо ewert!

Мне только одна вещь осталась неочень понятной. Откуда следует, что $\lambda=\chi^2$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.03.2011, 14:13 


24/03/11
198
Всё, понял)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.04.2011, 22:55 


24/03/11
198
А кто-нибудь знает, как построить функцию Лежандра с нецелым индексом в Matlab?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение02.04.2011, 21:46 
Заслуженный участник


23/07/08
7195
Харьков
Как в Matlab -- не знаю. Если бы мне понадобилось это вычислять -- написал бы программу. Здесь поможет книга:
Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.
В этой книге вычисление всех специальных функций производится с помощью разложения по полиномам Чебышева (которые сами вычисляются элементарно и очень быстро с помощью рекуррентной формулы).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение02.04.2011, 22:40 
Заслуженный участник


11/05/08
31202
svv в сообщении #430558 писал(а):
В этой книге вычисление всех специальных функций производится с помощью разложения по полиномам Чебышева

Ну не буквально всех, наверное; однако же ориентированность этой книжки на именно чебышёвость (и, соотв., на максимальную вычислительную эффективность) -- не может не вызывать уважения. Соотв., и я её тоже всячески рекомендую.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение22.04.2011, 15:51 


24/03/11
198
Спасибо!)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача Штурма-Лиувилля
Сообщение04.04.2016, 12:29 
Модератор


19/10/15
1041
 i  Обсуждение задачи eugrita отделено.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group