посчитать вычет

[jastudent]

Подскажите, пожалуйста, как посчитать вычет такой функции (z-a)^(2N) cosz/(z-b)^(2N+1) в точке b.
a и b конечны и различны. степень 2N произвольная. В числителе произведение двух функций а ведь нужно получить все члены разложения порядка 2N в точке b. Как это сделать, мне неясно.
Вычисление соответтсвтенно производной 2N го порядка и взятие предела, кажется, тоже не проходит ибо нужно считать производную порядка 2N. Возможно есть еще какой-то способ? Буду рад любой информации.

[Konstantyn]

Согласно (основной) теореме, вычет $\underset{z=a}{res} f(z)$ равен коэффициенту $c_{-1}$ при $\frac{1}{z-a}$. В связи с этим, преобразуете Ваше выражение (так как $a \ne b$ ) к виду

$$(z-a)^{2N} \frac{cos(z)}{(z-b)^{2N+1} } = (1+\frac{b-a}{z-b})^{2N} \cdot (\frac{cos(z-b)}{z-b} cos b - \frac{sin(z-b)}{z-b} sin b). $$

Дальше раскладываете $sin$ и $cos$ в ряд Тейлора. Отсюда получите выражение для коэффициента при $\frac{1}{z-b}$.

[Toucan]

Тема перемещена (хотя и с некоторым опозданием) в Карантин.

Чтобы оттуда выбраться

1. Запишите формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$. Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.

2. Приведите свои попытки решения задачи.


После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.