2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Минимум для сборки
Сообщение06.10.2010, 16:55 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вот что-то придумалось. У нас есть 19 точек. Какова минимальная размерность пространства, в котором их все можно соединить отрезками только 4 различных длин? (Т. е. всего отрезков будет $n(n+1)/2$.)

Для любителей общих случаев $\left(19,\;4\right) \mapsto \left(n,\;k\right)$.

( :mrgreen: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение06.10.2010, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Не понял. А точки-то где?

Имеется в виду такое что ли: для какой минимальной размерности существуют 19 точек etc?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение06.10.2010, 20:27 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Ну да, имел ввиду это. В размерностях ниже точек уже с таким свойством не будет.

-- Ср окт 06, 2010 23:29:07 --

Решу для $k = 1$ (для примера). Тогда имеем симплекс и минимальная размерность (давайте обозначим её здесь $d$?) $d = n$. Если не напутал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение06.10.2010, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Как же не напутать: для $k=1$ $d=n-1$ ($d=0$ если разрешить точкам совпадать :mrgreen:).

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение06.10.2010, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Хм, да, интересно.
$d(n,1)=n-1$
$d(n,n-1)=1$ и дальше с ростом k не меняется.
Хочется сказать, что d=n-k, :lol: :lol: но это не так, потому что Ваши (19,4) я уже упихал в 7, а полагаю, что можно и в меньше (4, на крайняк 5).

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение08.10.2010, 17:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Больше ничего не придумалось ни у кого? :-) (Скажите мне, пожалуйста, хоть раз у меня получилась сто́ящая задача?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 13:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3049
Уфа
Если Вы знаете решение — то да. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Всё, я вложил в 4D.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 18:00 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Можете координаты написать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
(1,1,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,1)
(0,1,1,0)
(0,1,0,1)
(0,0,1,1)
(-1,1,0,0)
...
ну, дальше понятно.

-- Сб, 2010-10-09, 19:53 --

Короче говоря, конфигурация, реализующая максимальный kissing number.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 21:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
А как насчёт условий $\left(23,\;3\right)$? :-)

-- Вс окт 10, 2010 00:46:48 --

Вот знатная тема для серии последовательностей OEIS. :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 22:00 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
arseniiv
По-моему, более последовательно зайти с другой стороны: вместо нахождения минимальной размерности пространства $d$ по числу точек $n$ и числу различных длин $k$ можно искать максимальное $n$ при данных $d$ и $k$.
Тогда при $d=1$ $n(k)=k+1$.
При $d=2$ $n(k)\ge 2k+1$ (по-видимому, тут все-таки знак равенства, но точно утверждать не берусь), конфигурация - правильный многоугольник с нечетным числом вершин, длины - его стороны и диагонали.
При $d=3$ все уже не так гладко...

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
На то афтар и повёл речь о серии последовательностей - и такая, и такая... Со всех сторон надо зайти.
$n(k)$ при $d=2$ должно расти как-то быстрее, типа квадратично.

-- Сб, 2010-10-09, 23:26 --

Нет, сволочь оно такое, не должно!
Но и не $2k+1$, всё-таки побольше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение09.10.2010, 22:30 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
ИСН
ИСН в сообщении #360477 писал(а):
$n(k)$ при $d=2$ должно расти как-то быстрее
Да, Вы, наверное, правы. Меня немного смутил правильный пятиугольник, и я чересчур размечтался о правильных многоугольниках.
Кстати, икосаэдр предстает весьма интересной фигурой в свете этой задачи. У икосаэдра два типа диагоналей, но из равенства $2R=2a\sin\dfrac{2\pi}{5}$ ($R$ - радиус описанной окружности) выходит, что диагонали обоих типов равны по длине. Т.е. всего двумя длинами ($k=2$) в трехмерном пространстве ($d=3$) можно развернуть конфигурацию из 12 точек ($n=12$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Минимум для сборки
Сообщение12.10.2010, 23:14 
Заслуженный участник


04/05/09
4582
EtCetera в сообщении #360485 писал(а):
Кстати, икосаэдр предстает весьма интересной фигурой в свете этой задачи. У икосаэдра два типа диагоналей, но из равенства $2R=2a\sin\dfrac{2\pi}{5}$ ($R$ - радиус описанной окружности) выходит, что диагонали обоих типов равны по длине.
Мне кажется, Вы ошиблись. Один тип диагоналей - диаметр описанной сферы, другой короче.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group