Доказательство теоремы Ферма для всех нечётных n

[gervladger]

Мною получено доказательство теоремы для всех нечётных показателей степени n. Доказательство можно посмотреть по адресу:

http://gervladger.narod2.ru/Teorema_Fer ... islo_2.rar

Ниже публикуется доказательство по правилам форума (оно тождествено содержащемуся в ссылке)


____________________
Теорема Ферма и число 2
Теорема:
Выражение X^n+Y^n=Z^n не имеет решений, если Z,X,Y суть целые числа, больше единицы, а n так же суть целое число, причём n>2.
Доказательство:
Сначала сделаем некоторые замечания. Первое. Доказательство будем вести для нечётных n. Второе. Любое целое число можно выразить через сумму (разность) двух любых целых чисел. Например: 5=1+4, 5=2+3, 5=100-95 и т.д.
Далее. Нечётные числа будем обозначать через «н», а чётные – через «ч». В уравнении Ферма могут быть следующие сочетания чисел:
Н+Ч=Н
Ч+Н=Н
Н+Н=Ч
Ч+Ч=Н
Т.е. в уравнении Ферма может существовать только 4 сочетания чисел, причём последнее – четвёртое – является частным случаем первых трёх. Поэтому в доказательстве мы его рассматривать не будем.
Пусть Y<X (может быть и наоборот, но от перемены мест слагаемых сумма не меняется).
Доказательство теоремы основано на том, что если уравнение Ферма и имеет решение в целых числах, то эти числа невозможно представить в сумме двух любых целых чисел, что естественно не может иметь места.
Первый случай. Пусть Y=a. Тогда X=a+k. Поскольку Y есть чётное, а X – нечётное, то a – чётное, а k – нечётное число. В этом случае мы можем так же записать: Z=b+k. Понятно, что b представляет собой чётное число, поскольку Z является нечётным.
Тогда получим:
(a+k)^n+a^n=(b+k)^n (1)
Раскроем скобки. Получим:
a^n+S_(n-1) a^(n-1) k+⋯+S_1 ak^(n-1)+k^n+a^n=b^n+S_(n-1) b^(n-1) k+⋯+S_1 bk^(n-1)+k^n
Перегруппировывая слагаемые и убирая k^n получим:
〖2a〗^n=b^n+S_(n-1) b^(n-1) k+⋯+S_1 bk^(n-1)-S_(n-1) a^(n-1) k-…-S_1 ak^(n-1) (2)
Здесь S_1…S_(n-1) – биноминальные коэффициенты (S_(n-1)=n!/m!(n-m)!). Если n является нечётным, то S_1 и S_(n-1) так же есть нечётные числа.
Выразим a и b следующим образом (поскольку они чётные): a=2^p∙A, b=2^q∙B, где A и B есть некоторые нечётные числа. Перепишем теперь выражение (2) в следующем виде:
2^(pn+1) A^n=2^qn B^n+S_(n-1) 2^(q(n-1)) B^(n-1) k-S_(n-1) 2^p(n-1) A^(n-1) k+⋯+S_1 2^q Bk^(n-1)-S_1 2^p Ak^(n-1)
Замечаем, что все слагаемые в правой части представляют собой чётные числа. Пусть теперь p<q. Тогда разделив правую и левую части на 2^(p+1) получим:
2^(p(n-1)) A^n=2^(qn-p-1) B^n+S_(n-1) 2^(q(n-1)-p-1) B^(n-1) k-S_(n-1) 2^(p(n-2)-1) A^(n-1) k+⋯+S_1 2^(q-p-1) Bk^(n-1)-S_1 2^(-1) Ak^(n-1) (3)
Мы видим, что последнее слагаемое в правой части представляет собой дробное число (нечётное число, делённое на два), тогда как все остальные слагаемые всё ещё целые числа. Таким образом, сумма слагаемых в правой части представляет собой дробь, тогда как в левой части имеем целое число. И мы приходим к противоречию. Для этого случая теорема доказана.
Пусть теперь p>q. Тогда разделив правую и левую части на 2^(q+1) получим:
2^(pn-q) A^n=2^(q(n-1)) B^n+S_(n-1) 2^(q(n-1)-1) B^(n-1) k-S_(n-1) 2^(p(n-1)-q-1) A^(n-1) k+⋯+S_1 2^(-1) Bk^(n-1)-S_1 2^(p-q-1) Ak^(n-1) (4)
Мы видим, что предпоследнее слагаемое в правой части представляет собой дробное число (нечётное число, делённое на два), тогда как все остальные слагаемые всё ещё целые числа. Таким образом, сумма слагаемых в правой части представляет собой дробь, тогда как в левой части имеем целое число. И мы приходим к противоречию. Для этого случая теорема доказана.
Сложнее обстоит дело, если p=q. Тогда мы не можем воспользоваться выше приведённой методикой. Для этого случая запишем вместо выражения (2) другое выражение:
(k_1-a_1 )^n+a^n=(k_1-b_1 )^n (5)
Здесь k_1 – есть некоторое нечётное число, а a_1 и b_1 – представляют собой чётные числа. Понятно, что k_1 ничем сверху не ограничено, т.е. может быть бесконечно велико. Значит и a_1 и b_1 так же могут быть бесконечно большими.
Понятно так же, что k_1-a_1=a+k и k_1-b_1=b+k. Отсюда a+a_1= k_1-k и
b+b_1= k_1-k. А это означает, что a+a_1=b+b_1. Теперь, поскольку все слагаемые здесь чётные, то мы можем их представить, как и прежде, в следующем виде:
a=2^p∙A, b=2^p∙B, a_1=2^(p_1 )∙A_1, b_1=2^(q_1 )∙B_1. Теперь, мы можем записать: 2^p∙A+2^(p_1 )∙A_1=2^p∙B+2^(q_1 )∙B_1.
Какие же соотношения между показателями степеней p_1 и q_1? Понятно, что
2^(p_1 )∙A_1=2^(q_1 )∙B_1+2^p∙B-2^p∙A.
Далее. 2^p∙B-2^p∙A=2^p∙(B-A)=2^p*2^r C=2^(p+r) C=2^h C. Отсюда: 2^(p_1 )∙A_1=2^(q_1 )∙B_1+2^p∙B-2^p∙A=2^(q_1 )∙B_1+2^h C. Значит, если q_1<h, то p_1=q_1 и q_1>h, то p_1=h. С другой стороны, мы вправе записать a_1=k_1-k-a=(k_1-k)-a и b_1=k_1-k-b=(k_1-k)-b. Представим k_1-k как k_1-k=2^l U. Тогда 2^(q_1 )∙B_1=2^l U-2^p∙B и 2^(p_1 )∙A_1=2^l U-2^p∙A. Но поскольку 〖k<k〗_1<∞, то мы всегда можем подобрать такое k_1, чтобы l=p. Теперь варьируя число U, будем добиваться того, чтобы q_1>h (понятно, что это достижимо всегда, практически, q_1 всегда можно сделать таким, каким нужно – это важное замечание!). Следовательно, p_1=h и q_1>p_1.
Раскроем скобки в выражении (5) и, производя соответствующие группировки, получим:
2^pn A-2^(p_1 n) A_1=-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n (6)
Тогда, если p_1>pn, то разделив правую и левую части выражения (6) на 2^(pn+1) получим в левой части сумму дроби и целого числа, т.е. дробь, тогда как в правой части все слагаемые будут суть целые числа. Если же p_1<pn, то варьируя число U, будем добиваться того, чтобы кроме того выполнялось дополнительное условие: q_1>pn. Тогда, разделив правую и левую части выражения (6) на 2^(p_1-1) получим дробь уже в правой части, тогда как в левой – целое число. Но дробь не может быть целым числом. Теорема для этого случая так же доказана.
Особый случай, когда p_1=pn. Перепишем выражение (5) в виде:
(k_1-a_1 )^n+(k_2-a_2 )^n=(k_1-b_1 )^n (7)
где k_2-a_2=a, и k_2 и a_2 являются чётными числами (понятно, что они могут быть сколь угодно большими).
Пусть k_2=2^g G, а a_2=2^(p_2 ) A_2. Тогда 2^(p_2 ) A_2=2^g G-2^p A. Выберем k_2 таким, чтобы g> p. Тогда p_2=p.
Раскроем скобки в выражении (7). Получим, производя соответствующие группировки:
2^pn A_2-2^(p_1 n) A_1=-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+S_(n-1) k_2^(n-1) 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 k_2 2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n==-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+S_(n-1) 2^(gn-1) G^n 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 2^g G2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n (8)
Отличие выражения (8) от выражения (6) состоит в следующем – т.к. p_1=pn, то изменяя A_2 (это изменение нас ничто не ограничивает!), добиваемся того, чтобы при делении левых и правых частей на 2^(pn+2 )(фактически деление S_(n-1) k_1^(n-1) A_1и A_2 на 4) получались в этих частях одинаковые дробные части (понятно, что эти дробные части будут либо 0,25, либо 0,75). Но 0,25+0,25=0,5 и 0,75+0,75=1,5, т.е. не целое число. Перегруппировывая выражение (8)
2^pn A_2-2^(p_1 n) A_1-S_(n-1) k_2^(n-1) 2^p A_2=-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_2^(n-1) 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 k_2 2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n==-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+S_(n-1) 2^(gn-1) G^n 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 2^g G2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n (9)
приходим к выводу, что в левой части имеется дробь, тогда как в правой – целое число. И мы приходим к противоречию. И в этом случае теорема доказана.
Второй случай. Теперь Y есть нечётное, а X – чётное. Этот случай доказывается способом, аналогичным, как и для первого случая.
Третий случай. Теперь Y есть нечётное, и X – нечётное.
Запишем формулу Ферма в следующем виде:
(k_1-a_1 )^n+(k_2-a_2 )^n=(k_3-b_3 )^n (9)
Варьируя различными способами числа и используя методику первых двух способов, приходим к аналогичному результату – невозможности существования решения формулы Ферма в целых числах.

[Toucan]

gervladger, по правилам данного раздела, до начала какого-то обсуждения Вы должны явно выписать доказательство ВТФ для случая $n=3$. Причём не где-то на своём сайте, а здесь на форуме.

А пока едем в карантин.

После того, как приведёте доказательство для $n=3$, напишите сообщение в тему Сообщение в карантине исправлено.

При этом не забывайте, что все формулы должны быть набраны в $\TeX$. Как это делается, написано тут: topic8355.html и topic183.html.

[gervladger]

НАЙДИТЕ ОШИБКУ

Сначала сделаем некоторые замечания. Первое. Доказательство будем вести для нечётных n. Второе. Любое целое число можно выразить через сумму (разность) двух любых целых чисел. Например: 5=1+4, 5=2+3, 5=100-95 и т.д.
Далее. Нечётные числа будем обозначать через «н», а чётные – через «ч». В уравнении Ферма могут быть следующие сочетания чисел:
Н+Ч=Н
Ч+Н=Н
Н+Н=Ч
Ч+Ч=Н
Т.е. в уравнении Ферма может существовать только 4 сочетания чисел, причём последнее – четвёртое – является частным случаем первых трёх. Поэтому в доказательстве мы его рассматривать не будем.
Пусть Y<X (может быть и наоборот, но от перемены мест слагаемых сумма не меняется).
Доказательство теоремы основано на том, что если уравнение Ферма и имеет решение в целых числах, то эти числа невозможно представить в сумме двух любых целых чисел, что естественно не может иметь места.
Первый случай. Пусть Y=a. Тогда X=a+k. Поскольку Y есть чётное, а X – нечётное, то a – чётное, а k – нечётное число. В этом случае мы можем так же записать: Z=b+k. Понятно, что b представляет собой чётное число, поскольку Z является нечётным.
Тогда получим:
(a+k)^n+a^n=(b+k)^n (1)
Раскроем скобки. Получим:
a^n+S_(n-1) a^(n-1) k+⋯+S_1 ak^(n-1)+k^n+a^n=b^n+S_(n-1) b^(n-1) k+⋯+S_1 bk^(n-1)+k^n
Перегруппировывая слагаемые и убирая k^n получим:
〖2a〗^n=b^n+S_(n-1) b^(n-1) k+⋯+S_1 bk^(n-1)-S_(n-1) a^(n-1) k-…-S_1 ak^(n-1) (2)
Здесь S_1…S_(n-1) – биноминальные коэффициенты (S_(n-1)=n!/m!(n-m)!). Если n является нечётным, то S_1 и S_(n-1) так же есть нечётные числа.
Выразим a и b следующим образом (поскольку они чётные): a=2^p∙A, b=2^q∙B, где A и B есть некоторые нечётные числа. Перепишем теперь выражение (2) в следующем виде:
2^(pn+1) A^n=2^qn B^n+S_(n-1) 2^(q(n-1)) B^(n-1) k-S_(n-1) 2^p(n-1) A^(n-1) k+⋯+S_1 2^q Bk^(n-1)-S_1 2^p Ak^(n-1)
Замечаем, что все слагаемые в правой части представляют собой чётные числа. Пусть теперь p<q. Тогда разделив правую и левую части на 2^(p+1) получим:
2^(p(n-1)) A^n=2^(qn-p-1) B^n+S_(n-1) 2^(q(n-1)-p-1) B^(n-1) k-S_(n-1) 2^(p(n-2)-1) A^(n-1) k+⋯+S_1 2^(q-p-1) Bk^(n-1)-S_1 2^(-1) Ak^(n-1) (3)
Мы видим, что последнее слагаемое в правой части представляет собой дробное число (нечётное число, делённое на два), тогда как все остальные слагаемые всё ещё целые числа. Таким образом, сумма слагаемых в правой части представляет собой дробь, тогда как в левой части имеем целое число. И мы приходим к противоречию. Для этого случая теорема доказана.
Пусть теперь p>q. Тогда разделив правую и левую части на 2^(q+1) получим:
2^(pn-q) A^n=2^(q(n-1)) B^n+S_(n-1) 2^(q(n-1)-1) B^(n-1) k-S_(n-1) 2^(p(n-1)-q-1) A^(n-1) k+⋯+S_1 2^(-1) Bk^(n-1)-S_1 2^(p-q-1) Ak^(n-1) (4)
Мы видим, что предпоследнее слагаемое в правой части представляет собой дробное число (нечётное число, делённое на два), тогда как все остальные слагаемые всё ещё целые числа. Таким образом, сумма слагаемых в правой части представляет собой дробь, тогда как в левой части имеем целое число. И мы приходим к противоречию. Для этого случая теорема доказана.
Сложнее обстоит дело, если p=q. Тогда мы не можем воспользоваться выше приведённой методикой. Для этого случая запишем вместо выражения (2) другое выражение:
(k_1-a_1 )^n+a^n=(k_1-b_1 )^n (5)
Здесь k_1 – есть некоторое нечётное число, а a_1 и b_1 – представляют собой чётные числа. Понятно, что k_1 ничем сверху не ограничено, т.е. может быть бесконечно велико. Значит и a_1 и b_1 так же могут быть бесконечно большими.
Понятно так же, что k_1-a_1=a+k и k_1-b_1=b+k. Отсюда a+a_1= k_1-k и
b+b_1= k_1-k. А это означает, что a+a_1=b+b_1. Теперь, поскольку все слагаемые здесь чётные, то мы можем их представить, как и прежде, в следующем виде:
a=2^p∙A, b=2^p∙B, a_1=2^(p_1 )∙A_1, b_1=2^(q_1 )∙B_1. Теперь, мы можем записать: 2^p∙A+2^(p_1 )∙A_1=2^p∙B+2^(q_1 )∙B_1.
Какие же соотношения между показателями степеней p_1 и q_1? Понятно, что
2^(p_1 )∙A_1=2^(q_1 )∙B_1+2^p∙B-2^p∙A.
Далее. 2^p∙B-2^p∙A=2^p∙(B-A)=2^p*2^r C=2^(p+r) C=2^h C. Отсюда: 2^(p_1 )∙A_1=2^(q_1 )∙B_1+2^p∙B-2^p∙A=2^(q_1 )∙B_1+2^h C. Значит, если q_1<h, то p_1=q_1 и q_1>h, то p_1=h. С другой стороны, мы вправе записать a_1=k_1-k-a=(k_1-k)-a и b_1=k_1-k-b=(k_1-k)-b. Представим k_1-k как k_1-k=2^l U. Тогда 2^(q_1 )∙B_1=2^l U-2^p∙B и 2^(p_1 )∙A_1=2^l U-2^p∙A. Но поскольку 〖k<k〗_1<∞, то мы всегда можем подобрать такое k_1, чтобы l=p. Теперь варьируя число U, будем добиваться того, чтобы q_1>h (понятно, что это достижимо всегда, практически, q_1 всегда можно сделать таким, каким нужно – это важное замечание!). Следовательно, p_1=h и q_1>p_1.
Раскроем скобки в выражении (5) и, производя соответствующие группировки, получим:
2^pn A-2^(p_1 n) A_1=-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n (6)
Тогда, если p_1>pn, то разделив правую и левую части выражения (6) на 2^(pn+1) получим в левой части сумму дроби и целого числа, т.е. дробь, тогда как в правой части все слагаемые будут суть целые числа. Если же p_1<pn, то варьируя число U, будем добиваться того, чтобы кроме того выполнялось дополнительное условие: q_1>pn. Тогда, разделив правую и левую части выражения (6) на 2^(p_1-1) получим дробь уже в правой части, тогда как в левой – целое число. Но дробь не может быть целым числом. Теорема для этого случая так же доказана.
Особый случай, когда p_1=pn. Перепишем выражение (5) в виде:
(k_1-a_1 )^n+(k_2-a_2 )^n=(k_1-b_1 )^n (7)
где k_2-a_2=a, и k_2 и a_2 являются чётными числами (понятно, что они могут быть сколь угодно большими).
Пусть k_2=2^g G, а a_2=2^(p_2 ) A_2. Тогда 2^(p_2 ) A_2=2^g G-2^p A. Выберем k_2 таким, чтобы g> p. Тогда p_2=p.
Раскроем скобки в выражении (7). Получим, производя соответствующие группировки:
2^pn A_2-2^(p_1 n) A_1=-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+S_(n-1) k_2^(n-1) 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 k_2 2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n==-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+S_(n-1) 2^(gn-1) G^n 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 2^g G2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n (8)
Отличие выражения (8) от выражения (6) состоит в следующем – т.к. p_1=pn, то изменяя A_2 (это изменение нас ничто не ограничивает!), добиваемся того, чтобы при делении левых и правых частей на 2^(pn+2 )(фактически деление S_(n-1) k_1^(n-1) A_1и A_2 на 4) получались в этих частях одинаковые дробные части (понятно, что эти дробные части будут либо 0,25, либо 0,75). Но 0,25+0,25=0,5 и 0,75+0,75=1,5, т.е. не целое число. Перегруппировывая выражение (8)
2^pn A_2-2^(p_1 n) A_1-S_(n-1) k_2^(n-1) 2^p A_2=-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_2^(n-1) 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 k_2 2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n==-S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(q_1 ) B_1+S_(n-1) k_1^(n-1) 2^(p_1 ) A_1+S_(n-1) 2^(gn-1) G^n 2^p A_2+⋯+S_1 k_1 2^(q_1 n-1) B_1^(n-1)-S_1 k_1 2^(p_1 n-1) A_1^(n-1)-S_1 2^g G2^(pn-1) A_2^(n-1)-2^(q_1 n) B_1^n (9)
приходим к выводу, что в левой части имеется дробь, тогда как в правой – целое число. И мы приходим к противоречию. И в этом случае теорема доказана.
Второй случай. Теперь Y есть нечётное, а X – чётное. Этот случай доказывается способом, аналогичным, как и для первого случая.
Третий случай. Теперь Y есть нечётное, и X – нечётное.
Запишем формулу Ферма в следующем виде:
(k_1-a_1 )^n+(k_2-a_2 )^n=(k_3-b_3 )^n (9)
Варьируя различными способами числа и используя методику первых двух способов, приходим к аналогичному результату – невозможности существования решения формулы Ферма в целых числах.

[serval]

(Оффтоп)

Думаю, скоро у вас появится достаточно времени для неторопливого освоения ТеХ.

[gervladger]

Нет, Тех не удобен в написании. А чтобы было легче его прочитать - посмотрите gervladger.narod2.ru

Jnrty:

Последние три сообщения перенесены из темы "Применение Бинома Ньютона для док-ва теоремы Ферма."
Автору объявлено строгое предупреждение за захват чужой темы, дублирование сообщения, находящегося в "Карантине", и неисполнение требований модератора.
Вам уже было предупреждение о возможности блокировки. В следующий раз точно будете заблокированы. Временно или насовсем.

P.S. \TeX удобен в написании, не случайно же им весь мир пользуется. Посмотрите темы http://dxdy.ru/topic8355.html и http://dxdy.ru/topic183.html. Вы обнаружите, что исправить Ваши сообщения не так трудно, как кажется.