Целые точки на кривых второго порядка.

[pronix]

Здраствуйте, вот заинтересовался таким вопросом, а существует ли общее решение для уравнений вида
$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$, где $x,y$ - искомые переменные, $a, b, c, d, e, f \in Z$ (здесь я обобщил известные переменные до кольца целых чисел). Где-то встречал разбор подобного рода квадратичной формы (в Боревиче, вроде). Если есть какие-либо идеи, либо соответствующая литература - прошу отписываться, буду благодарен.

[Alexey1]

Перепишите уравнение в виде $ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0$ и примените формулу корней квадратного уравнения $a'x^2+b'x+c'=0$ для $a'=a, \ b'=cy+d, \ c'=by^2+ey+f$ .

[paha]

Что такое "ощее решение", например, для уравнения $x^2+y^2=1$?

Почему там коэффициенты -- целые числа? Это принципиально?

[pronix]

Alexey1, а что мне это даст? Я просто выражу одну неизвестную через другую и всё. Вот, к примеру, я получил уравнение вида
$7x^2+5y^2+12xy-x+3y+1=0$. По вашему совету запишу эту форму в виде $7x^2+x(12y-1)+(5y^2+3y+1)=0$. После преобразования получим корни в следующем виде:
$x_1=\frac {1-12y+\sqrt{4y^2-108y-27}}{14}$
$x_2=\frac {1-12y-\sqrt{4y^2-108y-27}}{14}$.
Вам такое представление говорит о том, при каких $x, y \in Z$ сохраняется тождество? Мне - нет.
paha:
1) Для меня общее решение уравнения, которое вы привели (это окружность с центром в начале координат и радиусом 1...графически ) - это выразить искомые переменные через коэффициенты, используя радикалы и т.д. Вот, к примеру, здесь http://dxdy.ru/topic25035.html обсуждалось общее решение уравнения Пелля. Мне необходимо тоже, только уравнение у меня другое.
2) Да, принципиально. Я сейчас решаю одну задачу и дошёл до этапа, где нужно определить общее решения формы второй степени, где коэффициенты целые числа. Можно попробовать обобщить уравнение, "договорившись", что $a, b, c, d, e, f \in R$, потому что, как ни парадоксально, иногда общее решение легче частного.

[Алексей К.]

pronix в сообщении #350943 писал(а):

Alexey1, а что мне это даст? Я просто выражу одну неизвестную через другую и всё.

А никому не было известно, что Вы хотели получить, когда писали

pronix в сообщении #350910 писал(а):

а существует ли общее решение для уравнений вида ...

Вот Alexey1 как-то протрактовал Ваш вопрос, в наиболее близких терминах, и написал, что он думает. А я, например, просто не понял, о чём речь.

Теперь, после Вашей ссылки на задачу с уравнением Пелля, мне кажется, что Вы хотели заиметь параметризацию $[x(t),y(t)]$ кривой второго порядка. И упомянутое Вами загадочное тождество как-то проясняется: это, видимо,

$$ax(t)^2+by(t)^2+cx(t)y(t)+dx(t)+ey(t)+f{\Large\color{blue}{}\equiv{}}0$$

Если угадано верно, то: да, таковая существует. В виде рациональных функций второго порядка, например.
Но всё равно сомневаюсь, что понял правильно: не могу приклеить к этой задачке бантик из целых чисел.

[Коровьев]

pronix в сообщении #350910 писал(а):

Здраствуйте, вот заинтересовался таким вопросом, а существует ли общее решение для уравнений вида
$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$, где $x,y$ - искомые переменные, $a, b, c, d, e, f \in Z$ (здесь я обобщил известные переменные до кольца целых чисел). Где-то встречал разбор подобного рода квадратичной формы (в Боревиче, вроде). Если есть какие-либо идеи, либо соответствующая литература - прошу отписываться, буду благодарен.

Не, в Боревиче нет, там посерьёзней.
Данная задача относится к эллиптическим кривым. Она либо имеет бесконечное множество решений в рациональных числах, либо не имеет. Самое трудное - это найти одно любое решение. А затем можно применить метод секущих.
В кратце.
Пусть $x_0, y_0$ рациональное решение данного уравнения.
Подставим в исходное уравнение
$y=y_0+(x-x_0)t$
(Очевидно, что при $x=x_0$ имеем $y=y_0$)
Раскрыв скобки и упростив мы приходим к уравнению от $x$ в первой степени.
$x=f(x_0,y_0,t)$
$y=y_0+(f(x_0,y_0,t)-x_0)t$
Задавая $t $различные рациональные значения мы будем получать различные решения исходного уравнения. Причём, они исчерпывают все решения.
Для начала можно почитать здесь Ханспетер Крафт.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

[pronix]

Заранее хочу извиниться, за то, что "забросил" тему...были проблемы с монитором и не смог ничего ответить. Начну по порядку.
1)Алексей К., вы меня правильно поняли, и я нашёл выражения вида $x=x(t)$ и $y=y(t)$, где $x(t), y(t),$ - рациональные функции второго порядка. Только вот получить общее решение в целых числах, следуя такому принципу, я не могу и не представляю, можно ли это вообще сделать. Я вот на днях просмотрел труды по теории чисел Гаусса и нашёл там точно такую же проблему, которую я сформулировал выше (стр.265 или п.216). Метод решения, конечно, красивый, но далеко не универсальный, так как там всё сводится к разложению на простые множители свободного члена $f$, что неэффективно и трудоёмко при достаточно больших $f$.
2)Коровьев, да, в Боревиче, действительно, нет...просмотрел на днях . Спасибо за предложенный способ, тоже можно решить приведённое выше уравнение, но только в поле рациональных чисел. Сузить же корни только до кольца целых чисел не получается. Попробую задать более конкретный вопрос: можно ли, опираясь на коэффициенты уравнения $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$, сказать, имеет ли оно целые корни или нет, не используя перебор (как это делал Гаусс)?

[Алексей К.]

Понял я, может, и правильно, но коли речь о целых числах, то я здесь не советчик.
Прежде чем думать о целочисленности $x(t)=\dfrac{P(t)}{W(t)}$, $y(t)=\dfrac{Q(t)}{W(t)}$, я бы начал с предложения Alexey1. Выписал бы явно дискриминант $D(x)$ того квадратного уравнения, и попробовал бы сформулировать условия, при которых он является полным квадратом целого числа (при целых $x,a,b,\ldots$). На первый взгляд (пока не особо продуманный) --- это необходимое условие рациональности (а стало быть и целочисленности) корней.

[pronix]

Хорошо. Возьму, к примеру, уравнение вида
$6x^2+6xy+12x+7y-31=0$ (нужно найти целые $x,y$ причём $y$ должен быть $\geq 0$. Решая его относительно переменной $x$, найдём корни:
$x_1=\frac{-6+\sqrt{36y^2-24y+888} }{12}$
$x_2=\frac{-6-\sqrt{36y^2-24y+888} }{12}$.
Очевидно,что корни могут быть тогда целыми, когда будет цел радикал
$\sqrt{36y^2-24y+888} }$ (это необходимое условие, но недостаточное). (Добавлю, что $y\geq 0$...).Вопрос: при каких целых $y\geq 0$ данный корень принимает целые значения. Вот тут ступор. Т.е я могу сказать, при каких значения выполняется условие, но доказать, что ни при каких других значениях это условие не выполняется я не знаю как.
Можно также выразить $y через $x, а именно:
$y=-\frac{6x^2+12x-31}{6x+7}$. Сократив данную дробь, получим:
$y=-x-\frac{5x-31}{6x+7}$. При каких целых $x$ дробь $\frac{5x-31}{6x+7}$ принимает целые значения? И тут я также не могу однозначно ответить на вопрос. Может быть у вас есть какие-нибудь идеи??
P.S. Приведённое выше уравнение довольно легко решить (хотя бы методом Гаусса), получив единственное решение (1;1). Ну а что делать с таким уравнением $6x^2+6xy+12x+7y-31272=0$? Здесь перебор не подойдёт...как же его одолеть?

[terminator-II]

а вопрос по заголовку можно? а какой еще степени бывают квадратичные формы?

[pronix]

terminator-II, только второй . Квадратичная форма над полем U - это однородный многочлен второй степени с коэффициентами из поля U. Знал ведь, а написал некорректно. Спасибо, исправил



-- Пн сен 20, 2010 16:13:15 --

А как исправить название заголовка? В графе "Заголовок" меняю название, но изменений не происходит.

[AKM]

Так сойдёт? (я про заголовок)
Исправить Вы могли только в течение первого часа после опубликования.

[Хорхе]

Очень рекомендую книгу

Джон Конвей Квадратичные формы, данные нам в ощущениях

Там все довольно обстоятельно и очень внятно описано.

[мат-ламер]

К сожалению книгу Конвея в свободной закачке не нашёл. Но в принципе по уравнениям в целых числах в сети есть книги для школьников Гельфонда и Серпинского. Или Острик и Цфасман - Алгебраическая геометрия и теория чисел. Или Бугаенко - Уравнение Пелля. Конкретно поставленной задачи в общей форме нет. Но идеи, как решать такие задачи, изложены. Интересно самому разобраться.

[Хорхе]

Есть в свободной закачке, правда, на английском.