2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение15.08.2010, 21:36 


21/06/06
1661
Вот так с ходу непонятно, существует ли такая кривая, в которую можно вписать квадрат, но никакой равносторонний треугольник уже нельзя.
Интересует просто результат. Кривую можно считать, сколько угодно раз дифференцируемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение16.08.2010, 14:44 
Экс-модератор


17/06/06
5004
 !  Sasha2, нууу ... Сколько можно уже ... :roll:
Научитесь давать темам нормальные названия, то есть отражающее содержимое темы, а не степень Вашего любопытства. :wink: Читатели и потенциальные помощники тратят лишние силы, лишнее время, чтобы поинтересоваться, по их теме это или не по их. Придумайте что-нибудь, пожалуйста. Предупреждение :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение16.08.2010, 14:45 
Заслуженный участник


08/04/08
8391
А в астроиду можно правильный треугольник вписать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 06:25 
Заслуженный участник


08/04/08
8391
Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:
$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 07:53 


19/05/10

3940
Россия
Sonic86 в сообщении #344710 писал(а):
Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:
$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$


Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов


Гипотеза:
Техника нахождения треугольника такая - крутим угол в 60 градусов, где вершина угла в вершине квадрата

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 09:06 
Заслуженный участник


08/04/08
8391
mihailm писал(а):
Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов

не понял! :shock: но ведь тогда треугольник не лежит внутри ломаной $P_1...P_8$? Или я что-то не понял?

-- Вт авг 17, 2010 10:07:22 --

забыл сказать: $a$ велико Over 9000

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.08.2010, 09:31 
Заслуженный участник


26/06/07
1784
shevah school, tel-aviv
Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение17.08.2010, 09:37 


19/05/10

3940
Россия
arqady в сообщении #344798 писал(а):
Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).


Так ломаную то можно построить, если f и g бесконечно дифференцируемы, вот если аналитические то как я понимаю нет

-- Вт авг 17, 2010 10:40:02 --

Sonic86 в сообщении #344794 писал(а):
mihailm писал(а):
Можно, например проведем из (1,1) два луча в нужную сторону симметрично y=x, так чтобы между ними был угол 60 градусов

не понял! :shock: но ведь тогда треугольник не лежит внутри ломаной $P_1...P_8$? Или я что-то не понял?

-- Вт авг 17, 2010 10:07:22 --

забыл сказать: $a$ велико Over 9000


Теперь я не понял, зачем треугольнику лежать внутри ломаной? его вершины должны лежать на ломаной, и все получается независимо от величины a

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 11:52 
Заслуженный участник


08/04/08
8391
arqady писал(а):
Sonic86, почему Вы берёте ломаную? Ведь автор задачи имеет в виду (если я правильно понял) кривую
$\{(f(t),g(t))\}$, где $f$ и $g$ - бесконечно дифференцируемы (это, если на плоскости...).

а вроде бы топикстартер сказал
Sasha2 писал(а):
Кривую можно считать, сколько угодно раз дифференцируемой.

"можно" ведь, не "нужно" говорит. Если нужна сколь угодно дифференцируемая кривая, то да - мой пример не подходит

mihailm писал(а):
Теперь я не понял, зачем треугольнику лежать внутри ломаной? его вершины должны лежать на ломаной, и все получается независимо от величины a

Наверное у меня глюки с пониманием терминологии. Я думал, что фраза
Sasha2 писал(а):
существует ли такая кривая, в которую можно вписать квадрат, но никакой равносторонний треугольник уже нельзя

подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$. Если это не так, то мой пример опять же не подходит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 12:01 


19/05/10

3940
Россия
Sonic86 в сообщении #344831 писал(а):
...
подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$...


Пусть автор уточнит, что он хотел
И про гладкость что нить скажет,

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 12:20 


21/07/10
555
mihailm в сообщении #344832 писал(а):
Sonic86 в сообщении #344831 писал(а):
...
подразумевает, что кривая замкнута, ограничивает некоторую область $D$ и треугольник лежит внутри $D$...


Пусть автор уточнит, что он хотел
И про гладкость что нить скажет,

И опять замечу, что гладкость кривой не совсем обеспечивается диф-ю компонент, желательно чтоб производные в ноль не обращались


А это уже неверно - кривая остается гладкой при ортогональных преобразованиях. При этом устроить ноль производной вращением - как два байта переслать.

-- Вт авг 17, 2010 13:21:27 --
Здесь был дубль сообщения, наверняка случайный. Удалено /AKM

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 13:00 


19/05/10

3940
Россия
alex1910 в сообщении #344837 писал(а):
А это уже неверно


что неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 13:39 


21/07/10
555
mihailm в сообщении #344851 писал(а):
alex1910 в сообщении #344837 писал(а):
А это уже неверно


что неверно?


Что имеет какое-то значение, обращаются производные в ноль или нет.
Так как обращение производной в ноль - свойство неинвариантное, негеометрическое - от выбора системы координат зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 15:16 


21/06/06
1661
Да вообщем то пример уважаемого Sonic86 все решает.
А диффренцируемость здесь была просто указана для того, чтобы никаких ограничений на кривую (ломанную) не налагалось.
Понятно, что скруглив углы из этого примера можно получить кривую дифференциреумой сколько угодно раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Кривая, в которую можно вписать квадрат, но не треугольник
Сообщение17.08.2010, 17:54 


14/02/06
278
Sonic86 в сообщении #344710 писал(а):
Нельзя вписать треугольник (а квадрат можно) в замкнутую ломаную:
$$P_1(a,0), P_2(1,1), P_3(0,a), P_4(-1,1), P_5(-a,0), P_6(-1,-1), P_7(0,-a), P_8(1,-1)$$


Если а велико, то из середины $P_1P_2$ восставим перпендикуляр до пересечения с $P_1P_8$ Это пересечение первая вершина, две другие на $P_1P_2$.

По-моему, квадрат вписывается в любую замкнутую кривую.
Действительно, http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1159298&uri=node3.html

Цитата:
Свои самые замечательные результаты Шнирельман опубликовал в течение двух лет - 1929 и 1930. Вот их формулировки.

Теорема 1 (о вписанном квадрате). В любую замкнутую кривую на плоскости можно вписать квадрат.

Точнее, можно найти 4 точки на кривой, служащие вершинами квадрата (если кривая ограничивает невыпуклую область, то квадрату разрешается вылезать из этой области). В работе Шнирельмана кривая предполагается достаточно гладкой. Когда цитируют теорему Шнирельмана, ее часто формулируют для произвольной непрерывной кривой. Авторам неизвестно, опубликовано ли где-нибудь доказательство для этого случая. В 1996 г. один из нас (В.В.Успенский) спросил знаменитого Пола Эрдеша, каков статус теоремы о вписанном квадрате в случае произвольной непрерывной кривой. Эрдеш ответил, что это открытая проблема.


 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group