Нужна независимая экспертиза в правильности решения задачи

[ser]

На форуме физфака МГУ http://forum.dubinushka.ru/index.php?s= ... topic=4122 у меня возникли разногласия по основополагающему принципу, на котором строится квантовая механика, т.е. по принципу наименьшего действия (ПНД), который Планк использовал для обоснования своих квантов действия на заре КМ, а позже Фейнман для новой интерпретации квантовой механики. Я провел несколько вычислительных экспериментов на математической модели простейшей системы, а конкретно рассмотрел движение снаряда в поле тяжести Земли (для проверки релятивистской формы ПНД) и движение заряженного снаряда в электростатическом поле заряда той же величины и обратного знака (вид поля будет тот же) для проверки классической формы ПНД во второй редакции ПНД, т.е. редакции Гамильтона-Остроградского (первую редакцию использовали Эйлер и Лагранж) и у меня получились результаты, которые опровергают этот принцип. Но два моих оппонента seggah и Max Sukharev заявили, что они независимо друг от друга тоже провели такие же вычислительные эксперименты (правда сами уравнения описывающие движения снаряда в поле тяжести Земли один списал у другого, т.к. сам наверное не смог смоделировать движение снаряда) и у них получились данные, которые противоречат моим, т.е. подтверждают справедливость ПНД. Правда, быстрее всего Max Sukharev вообще ничего не проверял, а просто поддержал того, кто был против меня. Такой вывод можно сделать после реплики одного из моих оппонентов (Munin) в адрес другого моего оппонента (Owen) “Странно слышать это от человека, который защищает ПНД, в адрес челвоека, который защищает ПНД.”, т.е. большинству моих оппонентов на этом форуме важно было не разобраться в моем сообщение, которое им очень не понравилось, а просто закопать меня во что бы то ни стало. В связи с этим возникла тупиковая ситуация и я решил обратиться за помощью для проведения так сказать независимой экспертизы. По этому я прошу всех, кто может мне в этом помочь проверить полученные мною результаты.

Коротко напомню этот принцип, согласно которому утверждается, что при свободном движение любого тела в каком то поле (гравитационном или электростатическом), т.е. если на него не будут действовать больше никакие силы, то величина, называемая действием, будет иметь минимальное значение по сравнению с действием полученным при движение по любому другому пути, когда тело будет двигаться по какой то направляющей (можно сказать имеется уравнение удерживающей связи) или на тело будут действовать еще какие то силы (кроме сил притяжения создаваемых этим полем). При этом сравниваемые движения должны начинаться и кончаться в одних и тех же точках и время движения от начальной точки до конечной должно быть одно и тоже. Действие вычисляется, как интеграл по времени движения от лагранжиана $ L = T - U $, т.е. разности кинетической и потенциальной энергии движущегося тела. Кинетическая энергия вычисляется как $ T = \frac {m_1 V^2} {2} $, где $m_1$ это масса тела, а $V$ его скорость. А вот потенциальную энергию вычисляют по разному, хотя по одной и той же формуле, например, для гравитационного поля $U =\gamma m_1 m_2 {( \frac {1} {R_0} - \frac {1} {R})}$, а для электростатического поля $U = K_q q_1 q_2 {( \frac {1} {R_0} - \frac {1} {R})}$, где $R$- это расстояние от снаряда до центра притяжения (центра Земли или второго неподвижного заряда), но численные значения действия будут разные если взять разные $R_0$. И я на всякий случай подсчитал действие не только, когда за нулевой уровень потенциальной энергии принята поверхность сферы, центр которой совпадает с центром второго тела (центра притяжения), а радиус $R_0$ принят произвольно (действие будет Sser), но и по формуле, когда за нулевой уровень потенциальной энергии принято расстояние до сферы, когда $R_0$ равно бесконечности (действие будет Sseg).

Начнем с классической формы. Для этого посмотрите на левый рисунок (двойного рисунка), где показаны различные траектории движения (сразу извиняюсь за выбор начала координат, что диктуется особенностями примененной для решения уравнений программы), а в таблице я привел полученные при этом значения действия, из которых следует, что на свободном пути действие не будет ни только минимальным, но и максимальным. При этом я рассмотрел движение не в гравитационном поле, а поле сил Кулона от взаимодействия двух разноименно заряженных зарядов $q_1=q_2$ =0,0005 к только для того, чтобы расстояния и время движения были более привычны для восприятия. Неподвижный заряд располагается в точке с координатами $X_2$ =0, $Y_2=-R_0$ =-10 м, а первый заряд с массой $m_1$ =1 кг ($m_2$ тоже можно принять равной 1 кг) вылетает из точки А с координатами $X_1_n$ =-50 м, $Y_1_n$ =0 м и движется в точку В с координатами $X_1_k$ =18 м, $Y_1_k$ =-0,01 м ($Y_1_k$ принято не равным нулю только вследствие особенностей программы Hrono1). Свободное движение это коричневая кривая, а не свободное, т.е. по направляющим, а конкретно по прямой (сиреневая линия) и дугам окружности с разными радиусами и соответствующими им координатами центра окружности $X_4_0$ (всегда равно -16 м) и $Y_4_0$ (красные кривые). Данные о начальных скоростях движения $VX$, $VY$ (м/с), времени движения $t$ (с) и полученном при этом действии S (Дж*с) я также даю в виде таблицы. При этом для вычисления Sser принято $R_0$=10 м.



№____траектория_____VX_____VY______t______Sser_______Sseg_____R40_____Y40
1_____свободное______10_____- 6____4,89____213,4_____1313____------____------
2_____прямая________9,15_____0_____4,89___- 72,2_____1028____------____------
3____дуга окружн_____0,42___20,95___4,89____307,4_____1407____34,01___-0,68
4____дуга окружн_____3,66___18,27___4,89____131,8_____1232____34,67___- 6,81
5____дуга окружн_____9,99___4,99____4,89___- 142,6____957,7____76,03___- 68,01
6____дуга окружн_____5,17__- 12,92___4,89____261,4_____1362____36,62___13,60
7____дуга окружн_____3,25__- 16,27___4,89____329,5_____1429____34,67____6,79

Более того на правом рисунке (двойного рисунка) я привожу несколько примеров свободного движения из точки А в точку В такого же заряда, но движущегося в мультиполе, т.е. в суммарном поле от действия двух неподвижных зарядов и одного не свободного движения по дуге окружности (красная кривая). Как видно из рисунка, при движение из одной точки в другую в мультиполях возможно несколько свободных (истинных) движений, что противоречит ПНД и делает не возможным провести сравнение величин действия при свободном и не свободном движение, т.к. не понятно с каким свободным движением сравнивать не свободные. Можно было бы привести еще рисунок, где в таком же поле я получил две свободные траектории, когда и время движения одно и то же и начальная скорость одна и та же, т.е. выполнены требования ПНД как в первой редакции, так и во второй, и кому это интересно могут посмотреть это в моей статье «О принципах кратчайшего времени и наименьшего действия». А для тех у кого есть затруднения с моделированием движения снаряда могут привести некоторые уравнения для описания этого движения в декартовой системе координат, где основными являются уравнения для определения ускорений $wX$ и $wY$ по осям $X$ и $Y$ при воздействие на тело сил $FX$ и $FY$, которые вычисляются как проекции на оси $X$ и $Y$ суммарной силы притяжения $F_q$ (в электростатическом поле) или $F_m$ (в гравитационном поле). Для решения системы дифференциальных уравнений я применял один из методов численного решения дифференциальных уравнений, а конкретно метод Рунге-Кутта по четырем коэффициентам. Если движение будет осуществляться по направляющим, то при вычисление сил $FX$ и $FY$ надо будет учесть еще реакцию со стороны напрвляющей, но в приведенных ниже уравнениях для простоты не учтены силы упругости при деформации направляющей и силы жидкостного трения возникающие в материале направляющей при ее деформации, которые позволяют сгладить процесс численного решения уравнений, т.е. погасить колебания возникающие при не очень точном задании начальных условий или большом шаге решения, но Вы их всегда можно туда добавить при необходимости.

При этом действие S будет вычисляться, как сумма элементарных действий на каждом шаге решения $S = S + (T - U) h$, где $h$ шаг решения в секундах. В рассмотренных задачах принято: радиус Земли 6378 км, масса Земли $m_2$=5976\cdot10^{21} кг, гравитационная постоянная $\gamma$ =66,7\cdot10^{-12}, масса снаряда $m_1$=1 кг, а коэффициент в формуле Кулона $K_q$ = 9\cdot10^9\text{нм}^2/\text{к}^2}. Если кто то надумает повторить эти эксперименты на программе Hrono1, то могу сообщить, что шаг решения был 0,01 с, жесткость направляющей $C_1$=1000 н/м, а коэффициент жидкостного трения в материале направляющей был $K_j_1$ =10 н*с/м (если жесткость напрвляющей будет меньше, то отклонение при движение от направляющей будет больше). При этом не забудьте при движение по дуге поставить две галочки у надписи “дуга”. Ниже привожу кусок кода программы с двумя дифференциальными уравнениями описывающими движение снаряда, чтобы не подумали, что в программе есть какие то фокусы с зайцами в рукавах.

R = SQR(X^2 + (Y + R0ser)^2)
Fq = - Kq * q1 * q2 / R^2  
Fm = gamma * m1 * m2 / R^2
alfa = ABS(ARCTAN((Y +R0ser) / X))
FX = - (Fm + Fq) * COS(alfa): IF X < 0 THEN FX = -FX
FY = - (Fm + Fq) * SIN(alfa):  IF Y+R0ser < 0 THEN FY = -FY
wX = FX / m1
wY = FY / m1

Для проверки ПНД в релятивистской форме, когда на свободном (истинном) пути будет не только действие минимально, но и суммарное замедление времени от действия скоростного фактора и гравитационного тоже будет минимально (или ускорение времени максимально), я рассматриваю задачу Фейнмана, который утверждает, что если в течение 1 часа в поле тяготения Земли ракета (неуправляемая) или просто снаряд будет лететь по свободному пути, то замедление времени будет минимальным по сравнению с любым не свободным путем, т.е. когда у нас будет управляемая ракета, которая будет по какой то программе изменять свою скорость полета и высоту, что равносильно движению по какой то направляющей, когда у нас будет уравнение удерживающей связи. Я немного усложнил задачу Фейнмана и посчитал 2-а варианта для 1-часа и для 2-часов (схема полета дана на одиночном рисунке). На рисунке изображены траектории полета из точки А в точку В при свободном движение (верхние кривые) и при не свободном движение, где в качестве примера я взял движение по одной и той же дуге окружности и для 1 часа и для 2 часов полета, нижняя кривая (дуга).


Если координаты центра Земли будут $X_2$ =0 и $Y_2= -R_з_е_м_л_и$ = -6378 км, то при времени движения 1 час (точнее 3645 сек) из точки А с координатами $X_n$ = -6378 км и $Y_n$ = -6378 км в точку В с координатами $X_k$ = 6165 км и $Y_k$ = -8000 км при свободном движение (по эллипсу) и при начальной скорости ракеты (снаряда) $VX1=$ -1460 м/с и $VY1=$ 8000 м/с у меня получилось действие Sser= 56,8*10^9 Дж*с при $R_0_s_e_r= R_{\text{земли}}$ (S1seg=284,6) и ускорение времени $ tt = ttR + ttV $= 3,55-9,86= - 6,32 *10^-7 с, а при не свободном движение (по дуге окружности) и при начальной скорости $VX1=$ -1214 м/с и $VY1=$ -6589 м/с у меня действие получилось S1ser= 35,1*10^9 Дж*с (S1seg=262,9), а ускорение времени $tt$=2,6-6,51= - 3,91 *10^-7 с. При этом радиус дуги окружности был $R_4_0=$6333 км и координаты центра окружности $X_4_0=$ -150 км и $Y_4_0=$ -7525 км. А если взять время движения 2 часа (точнее 7220 сек) из точки А с координатами $X_n=$ -6378 км и $Y_n=$ -6378 км в точку В с координатами $X_k=$ 6215 км и $Y_k=$ -8000 км то при свободном движение (по эллипсу) у меня получился обратный результат, но наверное можно подобрать траекторию, когда и в этом случае ПНД в релятивистской форме будет нарушаться. Впрочем, это уже не имеет никакого значения, т.к. если ПНД нарушается в первом примере при времени движения 1 час, что соответствует задаче Фейнмана, то это уже не принцип. Данные по этим экспериментам я также представляю в виде таблицы, где ttR убыстрение времени от уменьшения гравитации согласно общей теории относительности и ttV замедление времени от действия скорости согласно преобразованиям Лоренца, которые я вычислял по ниженриведенным формулам, где $V_s_v=$ 2.998 * 10 ^ 8 м/с.

ttR=ttR+h*gamma*m2*(1/Rземли-1/R)/Vsv^2
ttV=ttV+h*(1-1/SQR(1-V^2/Vsv^2))

Если кто то надумает повторить и эти эксперименты на программе Hrono1, то могу сообщить, что шаг решения был при свободном движение 1 с, а при вынужденном 0,5 с, жесткость направляющей $C_1=$10 н/м, а коэффициент жидкостного трения в материале направляющей был $K_j_1=$0,1 н*с/м. При этом, как и в первом случае, не забудьте при движение по дуге поставить две галочки у надписи “дуга”.



№__траектория______VX_____VY_____t_____Sser___Sseg____ttR_____ttV_____tt
1_свободное_1час__- 1460___8000__3645___56,8___284,6___3,55___- 9,86__- 6,32
2_дуга_окр__1час__- 1214__- 6589__3645___35,1___262,9___2,60___- 6,51__- 3,91
3_свободное_2час__- 3820___8170__7220___- 76,4__374,8___20,58__- 12,08__8,5
4_дуга окр__2час___-1070__- 4961__7220___- 28,8__425,0___6,61___- 3,74___2,85

Таким образом, полученные экспериментальные данные, полностью опровергают наличие в Природе ПНД, как в классической форме, так и в релятивистской, но меня сейчас интересует не это, а то насколько я грамотно провел вычислительные эксперименты на математических моделях систем. По этому у меня будет большая просьба ко всем, кого заинтересовали полученные мною данные, выполнить эти вычислительные эксперименты самостоятельно и сообщить мне о полученных результатах. Если кого то заинтересуют подробности, то можете скачать мои статьи и программы с моей домашней страницы или ее зеркала.


С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[ser]

В моем сообщение topic46832-60.html я дал развернутый ответ Joker_vD, который настоятельно рекомендовал всем, кому что-то не понятно в современной физике изучать принцип наименьшего действия. Если кратко, то я сообщил, что такого принципа в Природе нет. И за это получил от модератора Jnrty вот это
//Предупреждение за злостный offtopic и попытку захвата темы.
У Вас есть своя подходящая тема, там и выступайте: "Нужна независимая экспертиза в правильности решения задачи".//

По этому, вынужден довести до сведения модератора Jnrty, что, во-первых, в моей теме не обсуждается сам принцип наименьшего действия, а обсуждается математическое решение конкретной задачи с применением этого принципа, а во-вторых, экспертиза решения задачи была закончена четыре года назад (с ее результатами можно ознакомиться здесь http://wasp.phys.msu.ru/forum/index.php?showtopic=8434 ).

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[EvilPhysicist]

ser, вы тегом math не пробовали пользоваться?

ser в сообщении #20684 писал(а):

Я провел несколько вычислительных экспериментов на математической модели простейшей системы, а конкретно рассмотрел движение снаряда в поле тяжести Земли (для проверки релятивистской формы ПНД) и движение заряженного снаряда в электростатическом поле заряда той же величины и обратного знака (вид поля будет тот же) для проверки классической формы ПНД во второй редакции ПНД, т.е. редакции Гамильтона-Остроградского (первую редакцию использовали Эйлер и Лагранж) и у меня получились результаты, которые опровергают этот принцип

Смелое заявление.
Откройте Ландау и Лифшица 1 том, там дан довольно-таки подробный вывод уравнений Лагранжа и показывается, что из них следуют законы Ньютона. Сомневаетесь в приницпе наименьшего действия - сомневаетесь в законах Ньютона.
Но это значения особо не имеет, так как и первое и второе экспериментально подтверждены.

[myhand]

EvilPhysicist в сообщении #468754 писал(а):

Смелое заявление.

Нет. Просто глупое.

Спорить с (несложной, кстати) доказанной математической теоремой, приводя безграмотные численные расчеты - совершенно неуместно. Автору топика во-первых следует хорошенько познакомиться с классической механикой вообще. Начав с курса общей физики и затем, как уже предлагали, ЛЛ-I ("Механика").

Во-вторых, конкретно с принципом наименьшего действия, в т.ч. по ЛЛ-I. Как ни странно, это вовсе не эта глупость:

ser в сообщении #20684 писал(а):

принцип, согласно которому утверждается, что при свободном движение любого тела в каком то поле (гравитационном или электростатическом), т.е. если на него не будут действовать больше никакие силы, то величина, называемая действием, будет иметь минимальное значение по сравнению с действием полученным при движение по любому другому пути, когда тело будет двигаться по какой то направляющей (можно сказать имеется уравнение удерживающей связи) или на тело будут действовать еще какие то силы (кроме сил притяжения создаваемых этим полем).

Вы воюете вовсе не с ПНД, а с пробелами в своем образовании. Заодно и с вариационным исчислением сперва познакомиться не лишнее (Эльсгольц, "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление").

В-третьих, чтобы полученые "экспериментальные данные" не выглядели совсем смешно - Вам следует познакомиться с численными методами. Напр., Калиткин "Численные методы". Хорошо также специально исследовать вопрос - какие методы интегрирования подходят для ОДУ, встречающихся в механике (т.н. "симплектические интеграторы"). Любой толковый школьник, интересующийся моделированием механики (в играх) - знает про метод численного интегрирования Верле. Неприлично не знать вся это дяде, "опровергающему ПНД". Тем более, что многие симплектические интеграторы основаны на прямой дискретизации ПНД (т.н. вариационные интеграторы).

ser в сообщении #20684 писал(а):

Если кто то надумает повторить и эти эксперименты на программе Hrono1

Никто не подумает повторять чушь на безвестном инструменте, вместо кучи стандартных: Matlab/Octave, Mathematica/Maxima и т.п. Научитесь пользоваться чем-то из этого списка.

[Утундрий]

myhand
Интересно, спасибо. А то я до сей поры в развитии своём не дале рунгекутов продвигался.

P.S. Интересно, а поцчему в педивикии токмо изрядно скособоченный метод Верле приведен? Вроде как там цельное семейство (однопараметрическое), причём минимум энергии достигается не на приведенном варианте, а на симметричном, который через корень из двух...

[VladimirKalitvianski]

Цитата:

Откройте Ландау и Лифшица 1 том, там дан довольно-таки подробный вывод уравнений Лагранжа и показывается, что из них следуют законы Ньютона. Сомневаетесь в приницпе наименьшего действия - сомневаетесь в законах Ньютона.

Об эквивалентности:

Физическая постановка задачи включает в себя не только уравнения, но и начальные данные, которых в принципе наименьшего действия нет. И наоборот, ПНД опирается на данные из неизвестного будущего. Подумайте, разве физическая частица знает, где она окажется потом, если сейчас она здесь? Законы Ньютона более фундаментальны; они говорят как движется физическая частица. Напишите уравнения в дифференциалах. Положение и скорость в ближайшем будущем определяется силой и настоящими координатами и скоростями частицы. И нет никакой информации из будущего.

[EvilPhysicist]

VladimirKalitvianski в сообщении #476806 писал(а):

Физическая постановка задачи включает в себя не только уравнения, но и начальные данные, которых в принципе наименьшего действия нет

Которые для принципа наменьшего действия и не нужны.

VladimirKalitvianski в сообщении #476806 писал(а):

наоборот, ПНД опирается на данные из неизвестного будущего

Нет, не опирается.

VladimirKalitvianski в сообщении #476806 писал(а):

Подумайте, разве физическая частица знает, где она окажется потом, если сейчас она здесь?

Ну это вообще-то очень глубокий вопрос для ответа на которры йнадо дать четкое определдение сознания и всего такого. Так что тут он бессмысленен.

VladimirKalitvianski в сообщении #476806 писал(а):

Законы Ньютона более фундаментальны

Тогда почему же они являются следствием ПНД, а не наоборот?

VladimirKalitvianski в сообщении #476806 писал(а):

они говорят как движется физическая частица

Ну следуя вашей логике, а откуда частица знает про законы Ньютона?

VladimirKalitvianski в сообщении #476806 писал(а):

Положение и скорость в ближайшем будущем определяется силой и настоящими координатами и скоростями частицы. И нет никакой информации из будущего.

Дак и в ПНД нет.

[VladimirKalitvianski]

Цитата:

Нет, не опирается.

"Известность" положения частицы в $t_2$ есть исходное условие ПНД. Оно никуда не девается после получения уравнений. Постановка задачи в ПНД есть поиск траектории межу двумя известными точками, а не просто вывод дифференциальных уравнений. И этот поиск включает в себя как уравнения, так и известные данные для искомой траектории. Так что уравнения Ньютона с начальными данными не эквивалентны уравнениям с "граничными" данными ПНД.

Забавно видеть людей, выводящих уравнения из ПНД и не использующих данных из $t_2$ , а использующих только начальные данные, как у Ньютона, но претендующих более на глубокое понимание физики.

[EvilPhysicist]

VladimirKalitvianski в сообщении #476821 писал(а):

"Известность" положения частицы в t_2 есть исходное условие ПНД

да ну?!
Вот брём действие $ S=\int L(q, \dot q, t) dt $, требуем его экстримальность $ \delta S = \cfrac{dL}{d \dot q} \delta q + \int \cfrac{dL}{dq} - \cfrac{d}{dt} \cfrac{dL}{d \dot q} \delta q dt=0 $. С первым челном мы ничего сделать не можем, по этолму требуем равенства нулю второго члена и получаем уравнения Лагранжа $ \cfrac{dL}{dq} = \cfrac{d}{dt} \cfrac{dL}{ d \dot q} $, которые и являются математической формулировкий ПНД. Ну и где я тут использовал положение частицы?

VladimirKalitvianski в сообщении #476821 писал(а):

Постановка задачи в ПНД есть поиск траектории межу двумя известными точками, а не просто вывод дифференциальных уравнений

Поиск условий, которым удовлетворяет траектория, по которой пойдёт частица.

[VladimirKalitvianski]

Цитата:

Вот брём действие $ S=\int L(q, \dot q, t) dt $, требуем его экстримальность $ \delta S = \cfrac{dL}{d \dot q} \delta q + \int \cfrac{dL}{dq} - \cfrac{d}{dt} \cfrac{dL}{d \dot q} \delta q dt=0 $. С первым членом мы ничего сделать не можем, поэтому требуем равенства нулю второго члена и получаем уравнения Лагранжа $ \cfrac{dL}{dq} = \cfrac{d}{dt} \cfrac{dL}{ d \dot q} $, которые и являются математической формулировкий ПНД. Ну и где я тут использовал положение частицы?

Вы - нигде, поэтому Ваше действие не минимально и вообще не известно в силу произвольности $\delta q$, а Ландау-Лифшиц в первом члене полагает $\delta q$ равными нулю по причине их заданности. У всех интеграл действия определенный, а у Вас - нет. Ха-ха! Но мне надоело с Вами пререкаться.

[EvilPhysicist]

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

поэтому Ваше действие не минимально

Да ну? Докажите.

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

Ландау-Лифшиц в первом члене полагает $\delta q$ равными нулю по причине их заданности.

Если вам не нравится их заданость, скажем, что это бесконечно малые функции и тогда $ \delta q \to 0, \delta S \to 0 $ и остаётся $ \int \cfrac{dL}{dq} - \cfra{d}{dt} \cfrac{dL}{d \dot q} dt \ delta q =0 $, откуда снова следует, что $ \cfrac{dL}{dq} = \cfrac{d}{dt} \cfrac{dL}{d \dot q} $.

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

У всех интеграл действия определенный, а у Вас - нет. Ха-ха!

Ну, может это потому, что я его брал не определенным.

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

Но мне надоело с Вами пререкаться.

Врят ли это можно назвать приреканиями, по причине того, что вы не сделали ни одного обоснованного заявления. Да и вообще все ваши сообщения общи достаточно, чтобы скрыть вашу потенциальную неграмотность.

[Joker_vD]

Вообще, есть два разных принципа наименьшего действия. Один из них, не самый общеупотребительный, это принцип Мопертюи-Эйлера-Якоби, я его формулировал тут: post460076.html#p460076 . Там положение частицы в момент $t_2$ нигде не используется, поскольку сам момент $t_2$ не рассматривается. Ладно.
Есть второй принцип, принцип Гамильтона, который формулируется хотя бы в первом томе ЛЛ. Но там, опять же, ни $q(t_2)$, ни $\dot q(t_2)$ нигде не фиксируются.

Вся разница между двумя этими принципами — принцип Мопертюи позволяет узнать истинную траекторию тела между двумя точками пространства, принцип Гамильтона — истинную траекторию тела между двумя моментами времени.

[VladimirKalitvianski]

EvilPhysicist в сообщении #476837 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

поэтому Ваше действие не минимально

Да ну? Докажите.

Вариации координат $\delta q$ не бесконечно-малые, а произвольные, как всем известно.

Если в $t_2$ координата известна (а ее известность есть условие поиска определенной траектории), то ее вариация по определению в этот момент времени равна нулю. Также и в начальний момент времени $t_1$. Потому-то в определенном интеграле первый член, с которым Вы ничего не можете сделать, равен нулю, а не произволен, как у Вас с Вашим неопределенным интегралом.

-- 21.08.2011, 19:33 --

Joker_vD в сообщении #476844 писал(а):

Вообще, есть два разных принципа наименьшего действия. Один из них, не самый общеупотребительный, это принцип Мопертюи-Эйлера-Якоби, я его формулировал тут: post460076.html#p460076 . Там положение частицы в момент $t_2$ нигде не используется, поскольку сам момент $t_2$ не рассматривается. Ладно.
Есть второй принцип, принцип Гамильтона, который формулируется хотя бы в первом томе ЛЛ. Но там, опять же, ни $q(t_2)$, ни $\dot q(t_2)$ нигде не фиксируются.

Если координаты в начальный и конечный момент времени не фиксируются, то, дорогие мои, вариации координат тогда не зануляются, так что вы остаетесь с первым неопределенным членом и не можете достигнуть никакого экстремума. А значит, и уравнений вы никаких получить не можете. Ну и дела!

Кстати, в начальный и конечный моменты времени задаются только координаты, а скорости - нет.

[EvilPhysicist]

VladimirKalitvianski
Не вижу доказательства того, что

VladimirKalitvianski в сообщении #476832 писал(а):

Ваше действие не минимально

Равно как и объяснения того, почему уравнения Ньютона более общи, хотя они выводятся из ПНД. Извольте объясниться по этим двум вопросам.

VladimirKalitvianski в сообщении #476845 писал(а):

Вариации координат $\delta q$ не бесконечно-малые, а произвольные, как всем известно.

Да ну, то есть вот варьируя произвольный функционал $ \delta F(s) = \cfrac{dF}{ds} \delta s $ и меня $ \delta s $ не будет малой функцией?

[VladimirKalitvianski]

Да, ПНД не завязан на бесконечно-малые вариации траекторий, почитайте литературу. Вывод, где вариации траекторий малы, но произвольны, не ограничивает на самом деле ПДН. Товарищ, начавший эту тему, сравнивает конечные вариации траекторий, что вполне правильно в рамках ПНД. Я это знаю из литературы.

-- 21.08.2011, 19:50 --

Цитата:

Да ну, то есть вот варьируя произвольный функционал $ \delta F(s) = \cfrac{dF}{ds} \delta s $ и меня $ \delta s $ не будет малой функцией?

Если Вы предполагаете что-то малым, оно будет малым. Но приращение функционала может быть определено и для конечных и произвольных приращений $ \Delta s $. Единственность траектории означает справедливость ПНД для любых, а не только бесконечно-малых вариаций траекторий под интегралом.

Как я уже сказал вначале, у физика нет данных из будущего, поэтому и постановка задачи с данными из будущего невозможна. В этом разница в общности описания. Даже когда Вы хотите в определенном будущем попасть в заданную точку (задача встречи снаряда с самолетом), Вы выбираете начальные данные - скорость снаряда, его направление, возможно, начальное положение, возможно, начальный момент времени, и решаете задачу в постановке Ньютона, т.е., с начальными данными.