2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Применения ВТФ
Сообщение15.11.2009, 04:49 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Кто-нибудь хоть раз сталкивался с ситуацией, где надо было ссылаться на ВТФ, использовать ВТФ?.. Короче, рассматривать ВТФ не как финальную точку исследований, а как промежуточный этап решения задачи, продолжая с того места, где заканчивается её доказательство.

Я вот недавно сам удивился тому, как она всплыла на семинаре по формальным языкам.

Задача: Доказать, что для каждого натурального $s > 2$ язык $L = \{ a^{n^s} : n \in \mathbb{N} \}$ не является регулярным (контекстно-свободным).

Решение: Пусть $L$ регулярен (контекстно-свободен). Тогда для некоторого $n>0$ по теореме о накачке... существует $k > 0$, такое что $a^{n^s + ik} \in L$ при всех $i \in \mathbb{N}$. Положим $i = k^{s-1}$ и придём к противоречию.

Конечно, применение ВТФ здесь несколько надумано, достаточно было положить $i = n^sk^{s-1}$ и результат был бы получен без ссылки на столь сложную теорему. Но сама возможность её применения меня удивила. ВТФ всегда казалась мне примером наиболее бесполезного математического результата, вещью в себе.

(Оффтоп)

В юношеские годы (1989 год) моему другу довелось познакомиться с одним ферматиком. Тот был по профессии железнодорожным инженером и утверждал, что не просто доказал Великую Теорему Ферма, но и применил её в теории железнодорожных насыпей :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение15.11.2009, 07:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Запомнился доклад Андрея Виноградова на семинаре алгебра и логика в 60-х об описании минимальных квазимногообразий колец. Все, кроме одного описывались конечной системой квазитождеств (даже тождеств), а при описании последнего возникла проблема - в систему его квазитождеств надо было включить ровно те квазитождества $x^p+y^p + z^p=0 \longrightarrow xyz=0 \ (p\ne 2)$, которые справедливы в кольце $\mathbb Z$. С этой оговоркой статья и была опубликована. Теперь оговорку можно убрать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение15.11.2009, 12:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
bot
по-видимому, здесь

Vinogradov, A. A. Minimal quasi-varieties of rings and relation algebras. (Russian) Algebra i Logika 6 1967 no. 4, 3--10.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение15.11.2009, 13:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
Она самая. Порылся среди оттисков - не нашёл, а гуглить поленился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение09.01.2011, 11:20 


23/01/07
3415
Новосибирск
Доказанность ВТФ позволяет намного проще решать многие проблемы.

Например, в одной из тем на форуме рассматривали случай ВТФ:
$(x+1)^3-x^3=y^3$ и, как справедливо отмечали участники обсуждения, это уравнение сводится к уравнению
$4a^3-3b^2=1$,
которое решается при помощи исследования точек на эллиптических кривых.

Но при доказанной ВТФ доказательство отсутствия других решений кроме тривиального $(1,1)$ уравнения:
$4a^3-3b^2=1$
выливается в школьную (может быть, олимпиадную) задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение09.01.2011, 12:28 
Заслуженный участник


10/08/09
599
Гарднер в одной из своих книг упоминает карточный фокус, основанный на теореме Ферма. Само описание фокуса он не приводит, замечая, что оно занимает полсотни страниц.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение09.01.2011, 13:10 
Заморожен


18/11/10
63
г. Киров
"Не хлебом единым, жив человек, но и..."

Подпись. "Танкист."

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение10.01.2011, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
А чем жив танкист? Неужели теоремой Ферма? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение10.01.2011, 22:35 
Заморожен


18/11/10
63
г. Киров

(Оффтоп)

Один Человек сказал:
не заботьтесь о завтрашнем дне, ибо завтрашний сам
будет заботится о своем: довольно для каждого дня
своей заботы.

 !  zhoraster:
Замечание за бессодержательное сообщение!

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение14.01.2011, 12:31 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
Профессор Снэйп в сообщении #262149 писал(а):
Кто-нибудь хоть раз сталкивался с ситуацией, где надо было ссылаться на ВТФ, использовать ВТФ?..

было пару раз, но хоть убейте не помню где.
зато помню забавное свойство натуральных чисел, найденое при попытке доказательства теоремы.
$2^3+1^2=3^2, 2+1=3$
$3^3+3^2=6^2, 3+3=6$
$4^3+6^2=10^2, 4+6=10$
$5^3+10^2=15^2, 5+10=15$
$6^3+15^2=21^2, 6+15=21$
...

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение14.01.2011, 13:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
Ну кагбе ничего особенного. $(\frac{k^2+k}2)^2 - (\frac{k^2-k}2)^2 = k^2 \cdot k = k^3$.

(Оффтоп)

За это "ничего особенного" я буду растерзан каббалистами: как же, это такая прекрасная формула, связывающая кубы, квадраты и треугольные числа!

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение14.01.2011, 14:24 
Заморожен


18/11/10
63
г. Киров

(Оффтоп)

Как много сделано ошибок...
как мало пройденно дорог.


Подпись. ...

 !  Однодневный бан за бессодержательное сообщение и игнорирование замечания модератора.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение14.01.2011, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Мне думается, что основное применение достижение решения Большой теоремы Ферма не в том, что она решена, а в том, что она разрешима. :D
Были мнения, что она, проблема, может быть не разрешима. От этого математикам было как-то не уютно, ибо тогда некоторые проблемы, где бы встретилось подобное условие, также были бы не разрешимы.
Большой плюс в решении БТФ в том, что многие ферматисты, незнакомые с ситуацией о премии за доказательство, бросили заниматься этой проблемой, а новые не появляется, сберегая тем самым своё время и здоровье для более насущных для себя задач.
Правда, есть и минус. Раз проблема имеет не элементарное решение, то нужно попытаться найти решение элементарными методами. Как в своё время было с теоремой Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. А это способствует рождению новой армии ферматистов, правда, уже не такой многочисленной. К слову, как и "элементарное" доказательство теоремы Дирихле ничего не дало, кроме престижа, (я не запомнил имя автора, а гуглить лень) так и элементарное доказательство БТФ ничего не даст.
Но не будем о печальном. БТФ ещё не сдалась.
Доказательство Уайлса БТФ основано на элиптической кривой Фрея,
$y^2  = x(x + a^n )(x - b^n )$
полученной из условия, что существуют целые числа с условием БТФ
$a^n  + b^n  = c^n $
Как обычно делались попытки доказательства?
Предположим, что $b$ не делится на $n$, $n$ - ясно простое.
Тогда
$\sum\limits_{k = 1}^n {c^{n - k} a^{k - 1} }  = d^n$
Если доказать, что это равенство не возможно в целых числах, то значит и БТФ верна. Но вот это пока и не доказано! Хотя сама БТФ и доказана, это не исключает существование решения вышеприведённого уравнения в целых числах.
Отсутствие решений в целых числах доказано для большого класса простых чисел, так называемых регулярных. Но, ведь не для всех! Так, что БТФ ещё повоюет! :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение14.01.2011, 16:49 


21/07/10
555
Профессор Снэйп в сообщении #262149 писал(а):
Но сама возможность её применения меня удивила. ВТФ всегда казалась мне примером наиболее бесполезного математического результата, вещью в себе.



ВТФ полезна хотя бы тем, что ее доказательство породило массу весьма полезных теорий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Применения ВТФ
Сообщение14.01.2011, 17:54 


22/02/09

285
Свердловская обл.
alex1910 в сообщении #399922 писал(а):
ВТФ полезна хотя бы тем, что ее доказательство породило массу весьма полезных теорий.

....и дает возможность иметь смысл жизни на старости лет,а молодым не пить водку и не "колоться",не бегать за девченками,хотя последнее утверждение ложное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group