О методе бесконечного спуска.

[age]

shwedka
1. Доказывайте сами!

Цитата:

Остается еще несколько других степеней

Нет. У Матиясевича использованы только первая и вторая. Все они по отдельности решаются. Следовательно, десять отдельных решений могут считаться как одно ОБЩЕЕ.

Цитата:

Неправда. Только обоснованный аргумент, а не треп от балды.

треп от балды - это у вас.

Цитата:

Цитата:

10. Решение проблемы разрешимости для произвольно-
го диофантова уравнения.
Пусть дано произвольное диофантово уравнение с про-
извольным числом неизвестных и с целыми рациональны-
ми коэффициентами; требуется указать общий метод,
следуя которому можно было бы в конечное число шагов
узнать, имеет данное уравнение решение в целых рацио-
нальных числах или нет

Покажите, где здесь написано 'не отыскать ОДИН ключ для всех уравнений, либо опровергнуть наличие такого ключа - а РЕШИТЬ диофантовы уравнения.

.
Повторно для "одаренных" сумма простых решений может рассматриваться как одно общее, начинающееся с определения "типа" уравнения. Типов - конечное число:
1. $a^n+b^k=c^t$
2. $a^n+kb^k=p$
...
и так далее.
Далее зная решения для отдельного типа и зная тип можно указать общий метод.

Цитата:

Воспринимайте как вопрос, ответ на который обязателен.

Сам разберусь, как мне воспринимать ваши вопросы.

-- Чт ноя 12, 2009 21:52:28 --

Тогда уж надо было Гильберту написать:

Цитата:

требуется указать единый, одинаковым образом применимый к каждому уравнению метод, следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет.

А под словом "общий метод" можно понимать все что угодно, в том числе и несколько различных частных методов.

[shwedka]

age в сообщении #261385 писал(а):

Далее зная решения для отдельного типа и зная тип можно указать общий метод.
Подмена цитаты.
Было:

Цитата:

А их можно и различить, и найти решения по отдельности.

Цитата:

Докажите!!
Воспринимайте как вопрос, ответ на который обязателен.

Сам разберусь, как мне воспринимать ваши вопросы.

Не сам, а по правилам Форума.

ПОвторяю вопрос по первоисточнику..

Цитата:

10. Решение проблемы разрешимости для произвольно-
го диофантова уравнения.
Пусть дано произвольное диофантово уравнение с про-
извольным числом неизвестных и с целыми рациональны-
ми коэффициентами; требуется указать общий метод,
следуя которому можно было бы в конечное число шагов
узнать, имеет данное уравнение решение в целых рацио-
нальных числах или нет

Покажите, где здесь написано 'не отыскать ОДИН ключ для всех уравнений, либо опровергнуть наличие такого ключа - а РЕШИТЬ диофантовы уравнения.
.

Ответ не получен.

[age]

shwedka
Ответ указан выше.

Цитата:

Повторно для "одаренных" сумма простых решений может рассматриваться как одно общее, начинающееся с определения "типа" уравнения. Типов - конечное число:
1. $a^n+b^k=c^t$
2. $a^n+kb^k=p$
...
и так далее.
Далее - зная решения для отдельного типа и зная тип, - можно указать общий метод.

В третий раз написать?

[shwedka]

ПОвторяю вопрос по первоисточнику..

Цитата:

10. Решение проблемы разрешимости для произвольно-
го диофантова уравнения.
Пусть дано произвольное диофантово уравнение с про-
извольным числом неизвестных и с целыми рациональны-
ми коэффициентами; требуется указать общий метод,
следуя которому можно было бы в конечное число шагов
узнать, имеет данное уравнение решение в целых рацио-
нальных числах или нет

Покажите, где здесь написано 'не отыскать ОДИН ключ для всех уравнений, либо опровергнуть наличие такого ключа - а РЕШИТЬ диофантовы уравнения.
.

Ответ не получен.

[age]

Если ответ на вопрос "где написано"? Ответ - нигде, т.к. я передавал смысл, а не приводил цитату.

[shwedka]

age в сообщении #261400 писал(а):

Если ответ на вопрос "где написано"? Ответ - нигде, т.к. я передавал смысл, а не приводил цитату.

то есть произвольная трактовка. Напоминаю цитату.

age в сообщении #261369 писал(а):

4) Поиском удобных трактовок занимаются не уважающие себя люди.

Вы попали в достойную компанию; типизация: Нет, Ферма не то имел в виду, что написал, нет, у Эйлера совсем другой смысл, не буквальный, должен быть, а Пифагор, вообще все выразил, но его неправильно понимают. Теперь, вот, смысл Гильберта произвольно передается. Вы Гильберта точнее, чем сам Гильберт, осмыслили!

Симптоматично и диагностично.

-- Чт ноя 12, 2009 19:30:08 --

Коровьев
Как автор темы, не считаете ли Вы происходящее глухим оффтопом?

[grisania]

Коровьев в сообщении #260465 писал(а):

Вот что интересно. Все известные мне доказательства несуществования решений частных случаев БТФ и Диафантовых уравнений близких к БТФ так или иначе основываются на методе бесконечного спуска. Он в доказательствах всплывает, как бы, автоматически. Заранее "А докажу-ка я это методом бесконечного спуска" никто не предполагает.
Берётся утверждение "Пусть...", и из него в процессе доказательства всплывает, что тогда необходимо выполнение этого "Пусть" для того же самого утверждения, но с другими данными. Змея, глотающая себя.
Вот примеры из книги Рибенбойма. Последняя теорема Ферма.
1. Ферма.
Биквадратное уравнение
$x^4-y^4=z^2$
Метод бесконечного спуска. Существование решения приводит к существованию другого решения с меньшим $x$
2. Эйлер.
БТФ для $n=3$. Аналогично.
3. Эйлер.
$x^4+y^4=z^2$
Аналогично.
4. Лежандр.
$x^4+y^4=2z^2$
Аналогично.
5. Гильберт
Уравнение
$X^4+Y^4=Z^2$
не имеет решений в целых ненулевых гауссовых числах. Здесь также применён метод спуска, но по степени числа (1-i), входящего в один из исходных чисел.
Из
$(1-i)^{4n}X^4+Y^4=Z^2$
Следует
$(1-i)^{4(n-1)}X'^4+Y'^4=Z'^2$
6. Куммер
Доказательство БТФ для регулярных простых чисел.
Аналогично Гильберту ( Куммер опубликовал намного раньше) применён спуск по степени показателя, входящего в одно из чисел.
Хотя Куммер и не доказал БТФ для всех показателей, следует отметить, что доказал он не только для целых чисел, но и для целых алгебраических чисел деления круга.
*****
Вот эти примеры и наводят меня на мысль, что в области простого алгебраического аппарата доказательств даже частных случаев БТФ отличных от спуска и не существует.
Может я и ошибаюсь, но многочисленные попытки ферматиков в совершенстве владеющих аппаратом арифметики и не сумевших доказать даже для $n=3$, лишь подтверждают моё мнение.

Вроде на форуме кто-то из ферматиков доказал в случае биквадратного уравнения без спуска.
Известно

${x^3} + {y^3} = 1 \Leftrightarrow {y^3} - 432 = {x^2}$

в рациональных числах.
${y^3} - 432 = {x^2}$ - уравнение Морделла. Интересно, для него применяют спуск?

[Mathusic]

Цитата:

Известно

${x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^3} - 432 = {x^2}$

в рациональных числах.

Это откуда. $x$ и $y$ - cинус да косинус, они ж по модулю не бошьше $1$.

[grisania]

Mathusic в сообщении #268508 писал(а):

Цитата:

Известно

${x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^3} - 432 = {x^2}$

в рациональных числах.

Это откуда. $x$ и $y$ - cинус да косинус, они ж по модулю не бошьше $1$.

Исправил

[dmd]

grisania в сообщении #268507 писал(а):

${y^3} - 432 = {x^2}$ - уравнение Морделла. Интересно, для него применяют спуск?

А разве спуск применим к разрешимым уравнениям? В смысле - для уравнения ${y^3} - 432 = {x^2}$ известны решения, тогда вопрос становится таким - можно ли методом бесконечного спуска показать наличие решения? Вот для уравнения ${y^3} - 435 = {x^2}$, согласно таблице, не известно решение. Но предположу, что для уравнений с "крупным неудобным" свободным членом МБС не применим; правда, не знаю, как это показать.

[Коровьев]

shwedka в сообщении #261404 писал(а):

Коровьев, Как автор темы, не считаете ли Вы происходящее глухим оффтопом?

Ну, пока не дошли до "в Киеве дядька", ничего страшного. Обсуждение не есть прямая линия, но дерево.

dmd в сообщении #268697 писал(а):

grisania в сообщении #268507 писал(а):

${y^3} - 432 = {x^2}$ - уравнение Морделла. Интересно, для него применяют спуск?

А разве спуск применим к разрешимым уравнениям? В смысле - для уравнения ${y^3} - 432 = {x^2}$ известны решения, тогда вопрос становится таким - можно ли методом бесконечного спуска показать наличие решения? Вот для уравнения ${y^3} - 435 = {x^2}$, согласно таблице, не известно решение. Но предположу, что для уравнений с "крупным неудобным" свободным членом МБС не применим; правда, не знаю, как это показать.

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел - есть тоже метод спуска. И он позволяет найти конкретный числовой результат.
Что касается уравнения
,
то это частный вид эллиптической кривой полученной заменой переменных из уравнения Ферма при $n=3$.
Для эллиптических кривых получены критерии существования/не существования решений в рациональных числах. Поэтому о методе спуска там, видимо, не приходится говорить.

[grisania]

Коровьев в сообщении #268923 писал(а):

-------------------------------
Что касается уравнения
,
то это частный вид эллиптической кривой полученной заменой переменных из уравнения Ферма при $n=3$.
Для эллиптических кривых получены критерии существования/не существования решений в рациональных числах. Поэтому о методе спуска там, видимо, не приходится говорить.

Любопытно, что о методе спуска не приходится, т.е. решения в целых и рациональных числах существенно различаются. Почему?

[Коровьев]

Ну, ежели грубо, так для целого числа нужно конечное число "спусков", чтобы прийти к конечному результату. Для рациональных дробных, это, практически, не так. Эллиптическая кривая, к примеру, с рангом 1 имеет одну однопараметрическую бесконечную серию решений в рациональных числах. Но надо уже знать одно решение. Из формул серии его не вытащить, хоть спускайся, хоть подымайся. Всегда за решением будет следовать новое.
Я знаю теорию эллиптических криввых на уровне поп.книжиц, посему объяснил, как понимаю. Сильно не бейте

[grisania]

Коровьев в сообщении #268958 писал(а):

Ну, ежели грубо, так для целого числа нужно конечное число "спусков", чтобы прийти к конечному результату. Для рациональных дробных, это, практически, не так. Эллиптическая кривая, к примеру, с рангом 1 имеет одну однопараметрическую бесконечную серию решений в рациональных числах. Но надо уже знать одно решение. Из формул серии его не вытащить, хоть спускайся, хоть подымайся. Всегда за решением будет следовать новое.
Я знаю теорию эллиптических криввых на уровне поп.книжиц, посему объяснил, как понимаю. Сильно не бейте

Хорошо известно, что разрешимость уравнения ${{x}^{3}}-432={{y}^{3}}$ в рациональных эквивалентна разрешимости в целых уравнения ${{x}^{3}}-432{{z}^{6}}={{y}^{3}}$ (см. Ribenbojm P. Poslednyaya teorema Ferma dlya lyubitelej(Mir, 2003), стр. 358).
Таким образом мы уходим от рациональных чисел.
Интересно, как для уравнения ${{x}^{3}}-432{{z}^{6}}={{y}^{3}}$ организовать спуск напрямую? У меня с ходу не получилось.
Вроде я не бил, а задал еще один глупый вопрос знатокам эллиптических кривых.

[Коровьев]

Я уже писал в этой теме. Нельзя заставить появиться в доказательстве "методу бесконечного спуска". Он, метод, сам решает, где ему появиться, а где нет.
Для интереса. Забудьте алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Попробуйте сами разработать такой алгоритм.
Мне думается, что Вы только переоткроете Евклида и получите в процессе разработки "метод бесконечного спуска".
Хотя интересно, если другие алгоритмы для нахождения НОД. Мне неизвестны.