О методе бесконечного спуска.

[Коровьев]

Вот что интересно. Все известные мне доказательства несуществования решений частных случаев БТФ и Диафантовых уравнений близких к БТФ так или иначе основываются на методе бесконечного спуска. Он в доказательствах всплывает, как бы, автоматически. Заранее "А докажу-ка я это методом бесконечного спуска" никто не предполагает.
Берётся утверждение "Пусть...", и из него в процессе доказательства всплывает, что тогда необходимо выполнение этого "Пусть" для того же самого утверждения, но с другими данными. Змея, глотающая себя.
Вот примеры из книги Рибенбойма. Последняя теорема Ферма.
1. Ферма.
Биквадратное уравнение
$x^4-y^4=z^2$
Метод бесконечного спуска. Существование решения приводит к существованию другого решения с меньшим $x$
2. Эйлер.
БТФ для $n=3$. Аналогично.
3. Эйлер.
$x^4+y^4=z^2$
Аналогично.
4. Лежандр.
$x^4+y^4=2z^2$
Аналогично.
5. Гильберт
Уравнение
$X^4+Y^4=Z^2$
не имеет решений в целых ненулевых гауссовых числах. Здесь также применён метод спуска, но по степени числа (1-i), входящего в один из исходных чисел.
Из
$(1-i)^{4n}X^4+Y^4=Z^2$
Следует
$(1-i)^{4(n-1)}X'^4+Y'^4=Z'^2$
6. Куммер
Доказательство БТФ для регулярных простых чисел.
Аналогично Гильберту ( Куммер опубликовал намного раньше) применён спуск по степени показателя, входящего в одно из чисел.
Хотя Куммер и не доказал БТФ для всех показателей, следует отметить, что доказал он не только для целых чисел, но и для целых алгебраических чисел деления круга.
*****
Вот эти примеры и наводят меня на мысль, что в области простого алгебраического аппарата доказательств даже частных случаев БТФ отличных от спуска и не существует.
Может я и ошибаюсь, но многочисленные попытки ферматиков в совершенстве владеющих аппаратом арифметики и не сумевших доказать даже для $n=3$, лишь подтверждают моё мнение.

[age]

Теорема Ферма - очень сложная вещь. Архисложная. Прежде чем набраться смелости стучаться в ее дверь надо бы найти доказательства нескольких вещей попроще, как-то:
1. Всякое простое $4p+1$ представимо суммой двух квадратов и все суммы двух квадратов состоят из простых $4p+1$ (кроме тривиальной двойки $=1^2+1^2$).
2. Представимость простыми числами сумм квадратов с коэффициентом $a^2+kb^2$.
3. Свойства чисел $x^{m-1}-1$, где $m$ - простое и взаимно простое с $x$. И в каких случаях эти числа может делить квадрат числа $m$, $m^p$?

И все это надо сделать методом бесконечного спуска. Вот когда эти доказательства (методом спуска) будут - вот тогда все они (вместе с малой теоремой) станут инструментами к поиску ключа для теоремы Ферма.

[Коровьев]

Вот я и не стучался. Я как-то доверял всей трёхсотлетней истори её доказательств, да и сразу приходил на ум калашный ряд. Вот, ещё в школе, перерешав Кречмара, я не смог решить попавшуюся детскую диафантовую задачку. Примерно такую.
Показать что уравнение
$a^2+b^2=3c^2$
не имеет решений в целых числах. Сразу дошло, что $a,b$ делятся на 3
$9a_1^2+9b_1^2=3c^2$
Сократив на три, увидев, что и $c$ делится на три получил
$a_1^2+b_1^2=3c_1^2$
Совершив для верности ещё один круг, я забросил задачку, не догадавшись, что получил доказательство бесконечыым спуском. Но этод метод, перефразируя Раневскую, настолько знаменит, что сам выбирает, где ему появляться в доказательствах, а где нет. Посему требование, доказать что-то методом спуска, выглядит несколько несуразно.
Тем более в приведённых давно решённых задачах для получения мифического ключа к уже открытой двери.
Я думаю, что многие ферматики для $n=3$ приходили в процессе доказательства в исходную точку, переоткрыв доказательство Эйлера. Другого элементарного решения, видимо, нет.

[age]

Коровьев в сообщении #260972 писал(а):

Посему требование, доказать что-то методом спуска, выглядит несколько несуразно.

Потому что это трудно? Теорема Ферма на порядок труднее (а может и на несколько порядков).

Что касается "открытой" двери, то метод нужен не для этого, а для того, чтобы узнать, может, теорема Ферма станет своего рода ключом к еще более закрытой двери - Десятой проблеме Гильберта? И мы докажем ошибку Матиясевича, разбив ее на две или несколько "подпроблем", каждая из которых будет уже алгоритмически разрешима?
(я всегда улыбаюсь, когда вижу в википедия напротив Десятой проблемы Гильберта - решена!).

[Mathusic]

age в сообщении #261060 писал(а):

Коровьев в сообщении #260972 писал(а):

Посему требование, доказать что-то методом спуска, выглядит несколько несуразно.

Потому что это трудно? Теорема Ферма на порядок труднее (а может и на несколько порядков).

Что касается "открытой" двери, то метод нужен не для этого, а для того, чтобы узнать, может, теорема Ферма станет своего рода ключом к еще более закрытой двери - Десятой проблеме Гильберта? И мы докажем ошибку Матиясевича, разбив ее на две или несколько "подпроблем", каждая из которых будет уже алгоритмически разрешима?
(я всегда улыбаюсь, когда вижу в википедия напротив Десятой проблемы Гильберта - решена!).

А почему считаете не решена? По-Вашему, алгоритм есть?

[age]

Mathusic
Потому что доказана невозможность существования Единого метода (алгоритма) решения диофантовых уравнений. Найдены уравнения, алгоритмы решения которых вступают друг с другом в противоречия (тем самым доказана алгоритмическая неразрешимость единым методом или алгоритмом). Скажите, это можно назвать "решением" проблемы и написать гордо напротив нее - решена!?
Ведь достаточно решить каждый тип уравнений отдельными алгоритмами, свести их всех в одну книгу и написать на обложке "Единый алгоритм".

То, чем занимаются такие как Матиясевич (выбирают одно удобное слово из формулировки и всеми силами используют чтобы схалявить на проблеме) - называется демонстрацией бессилия науки.

[shwedka]

age в сообщении #261134 писал(а):

Ведь достаточно решить каждый тип уравнений отдельными алгоритмами, свести их всех в одну книгу и написать на обложке "Единый алгоритм".

Ошибаетесь! Вам понадобится алгоритм, различающий типы уравнений. А такого нет.

[shwedka]

age в сообщении #261196 писал(а):

А можно с вашего позволения зачеркнуть слово Единый? Т.е. снять требование умения "различать" типы уравнений? Да оно и не к чему, не находите?

Совершенно не нахожу. Алгоритм либо есть, либо его нет. Чтобы склеить алгоритм из частных случаев для разных типов, ВАМ нужно сначала описать все типы, найти алготитмы для каждого, а потом составить алгоритм различения типов. Тем задача о диофантовых уравнениях отличается от Вашей аналогии с шахматной игрой, где полный список фигур известен и конечен, как их различать известно, и правила движения каждой фигуры заданы. Таким образом, Ваша аналогия беспомощна и иррелевантна во всех трех отношениях.

[age]

shwedka
Быстро же вы отвечаете! Я перефразировал ответ.

Уравнения Пелля от уравнений Ферма? Думаю такого алгоритма нет. И поэтому проблема Гильберта действительно алгоритмически неразрешима!

-- Чт ноя 12, 2009 16:06:38 --

shwedka в сообщении #261217 писал(а):

где полный список фигур известен и конечен, как их различать известно, и правила движения каждой фигуры заданы.

Стало быть, список диофантовых уравнений неизвестен и бесконечен!?

-- Чт ноя 12, 2009 16:09:07 --

И в-последних, а вы вообще уберите слово "алгоритм". Пусть оно будет заменено на "набор алгоритмов без требования умения их различать". (чтобы халяве Матиясевича не было места).

[shwedka]

age в сообщении #261219 писал(а):

Стало быть, список диофантовых уравнений неизвестен и бесконечен!?

Полный список, заведомо, бесконечен. Понятие 'типа уравнения' точным математическим термином не является.

age в сообщении #261219 писал(а):

Уравнения Пелля от уравнений Ферма? Думаю такого алгоритма нет.

Исли Вы ограничитесь 2 или 22 'типми' уравнений, то, скорее всего, алгоритм различения есть. Но в Проблеме Гильберта речь идет о ВСЕХ.

[age]

shwedka
Послушайте, халяве места все равно не будет. О ВСЕХ, значит о всех. Если "типов уравнений" как вы выразились, - бесконечное количество, то тогда и доказательство Матиясевича сразу летит в топку, т.к. он рассмотрел всего десять типов. А их можно и различить, и найти решения по отдельности.

[shwedka]

age в сообщении #261226 писал(а):

А их можно и различить, и найти решения по отдельности.

Вот когда сможете, когда найдете, тогда и говорите о топке. А пока Ваше 'можно' - в пользу бедных.

age в сообщении #261226 писал(а):

Если "типов уравнений" как вы выразились, - бесконечное количество, то тогда и доказательство Матиясевича сразу летит в топку, т.к. он рассмотрел всего десять типов.

Понятие 'типа' неформализовано. А раз у Матиясевича для десяти типов (я не помню деталей, верю Вам) доказано, что алгоритма нет, то, значит, и для более общей задачи (опять же, если она более общая) алгоритма нет.

Вам не нравится доказательство-- укажите ошибку. Если не нравится задача, Ваше прво не любить, но это не отменяет факта доказательства. Решена задача, как была сформулирована Гильбертом. ЕСли считаете, что нужно было решать другую задачу, туз Вам в руки, решайте.

[shwedka]

age в сообщении #261351 писал(а):

За этим - к школьникам.

Нет к Вам. Это Вы говорите 'можно найти', а не какие-то мифические школьники.

age в сообщении #261351 писал(а):

Не значит.

Слабоваты Вы по части логики. Если доказана неразрешимость частной задачи, отсюда следует неразрешимость более общей.

age в сообщении #261351 писал(а):

Указал.

Не указал. Если считаете, что указали, цитатку, плиз. И конкретненько.

age в сообщении #261351 писал(а):

Если решена - приведите решение.

См. Матиясевич, Ю.В. Диофантовы множества. Успехи мат.Наук. 27 (1972), no. 5(167), 185--222.
Если не нравится, укажите конкретные ошибки.

[age]

shwedka

Цитата:

Вклад Матиясевича в решение проблемы заключается в том, что он предъявил 10 диофантовых уравнений первой и второй степени, которые задают условие b = F2a, где через Fn обозначено n-ое число Фибоначчи.

1. Каждое уравнение в отдельности - может быть различено.
2. Каждое уравнение первой или второй степени в отдельности может быть решено. Или мне лично вам их привести, начиная от уравнений Пелля или вы может, сами посмотрите как они решаются?
3. Ошибку я указал.
4. Задача мне нравится.
5. Любой (хотя бы один) аргумент против факта доказательства отменяет его факт.
6. Решена задача не как была сформулирована Гильбертом, а как представил эту формулировку Матиясевич.
7. Решать не надо было другую задачу, ее надо решать сейчас, т.к. она до сих пор не решена.
8. Все аргументы против доказательства изложены выше в предыдущих постах, еще раз их формализую:
1) Матиясевич нашел способ не решать Десятую проблему, а подсунуть вместо нее решение более мелкой проблемы, которая может быть воспринята как аналогичное по значимости утверждение. Гильберт имел в виду совсем другое. Он задавался целью не отыскать ОДИН ключ для всех уравнений, либо опровергнуть наличие такого ключа - а РЕШИТЬ диофантовы уравнения. Слово "алгоритм" было использовано именно в этом значении, а не в смысле его "единственности сразу для всех".
2) Не то чтобы Десятая проблема Гильберта, но даже куда более слабые подпроблемы до сих пор не решены.
3) О диофантовых уравнениях до сих пор известно очень мало. Решения большинства из них (3 степени и выше) не изучены.
4) Поиском удобных трактовок занимаются не уважающие себя люди.

-- Чт ноя 12, 2009 21:07:09 --

Если не согласны, давайте проведем филологическую экспертную оценку Десятой проблемы Гильберта:
"найти алгоритм решения произвольных диофантовых уравнений" и сравним с
"установить, существует ли ЕДИНЫЙ алгоритм решения произвольных диофантовых уравнений, либо доказать невозможность его существования".

И посмотрим тождественны ли они по содержанию и смыслу, или разные.

[shwedka]

age в сообщении #261369 писал(а):

1. Каждое уравнение в отдельности - может быть различено.

Цитата:

Докажите!

2. Каждое уравнение первой или второй степени в отдельности может быть решено. Или мне лично вам их привести, начиная от уравнений Пелля или вы может, сами посмотрите как они решаются?

Цитата:

Остается еще несколько других степеней

3. Ошибку я указал.

Цитата:

Цитата?

4. Задача мне нравится.
5. Любой (хотя бы один) аргумент против факта доказательства отменяет его факт.

Цитата:

Неправда. Только обоснованный аргумент, а не треп от балды.

6. Решена задача не как была сформулирована Гильбертом, а как представил эту формулировку Матиясевич.

Цитата:

Математическая общественность восприняла формулировку Матиясевича как адекватную Гильбертовой.
Не поленитесь, объясните разницу, и, если она есть, дайте точную формулировку Гильберта.

7. Решать не надо было другую задачу, ее надо решать сейчас, т.к. она до сих пор не решена.

Цитата:

Сформулирийте и решайте. Кто Вам мешает. Пока что Вашей формулировки не вижу.

8. Все аргументы против доказательства изложены выше в предыдущих постах, еще раз их формализую:
1) Матиясевич нашел способ не решать Десятую проблему, а подсунуть вместо нее решение более мелкой проблемы, которая может быть воспринята как аналогичное по значимости утверждение. Гильберт имел в виду совсем другое. Он задавался целью не отыскать ОДИН ключ для всех уравнений, либо опровергнуть наличие такого ключа - а РЕШИТЬ диофантовы уравнения. Слово "алгоритм" было использовано именно в этом значении, а не в смысле его "единственности сразу для всех".

Цитата:

Привожу цитату из Гильберта, в приличном переводе. Если считаете перевод плохим, дайте аргументированно хороший.

Цитата:

10. Решение проблемы разрешимости для произвольно-
го диофантова уравнения.
Пусть дано произвольное диофантово уравнение с про-
извольным числом неизвестных и с целыми рациональны-
ми коэффициентами; требуется указать общий метод,
следуя которому можно было бы в конечное число шагов
узнать, имеет данное уравнение решение в целых рацио-
нальных числах или нет

Покажите, где здесь написано 'не отыскать ОДИН ключ для всех уравнений, либо опровергнуть наличие такого ключа - а РЕШИТЬ диофантовы уравнения. '

2) Не то чтобы Десятая проблема Гильберта, но даже куда более слабые подпроблемы до сих пор не решены.

Цитата:

Не более слабые, а другие, и их полно.

3) О диофантовых уравнениях до сих пор известно очень мало. Решения большинства из них (3 степени и выше) не изучены.
4) Поиском удобных трактовок занимаются не уважающие себя люди.

Цитата:

Сейчас именно Вы занимаетесь поисками ненаписанного у Гильберта.

age в сообщении #261226 писал(а):

А их можно и различить, и найти решения по отдельности.

В третий раз прошу обосновать Ваши слова. Воспринимайте как вопрос, ответ на который обязателен.

Варианты ответа:
1. вот ссылка
2. сбрехнул, не думая (что shwedka вопьется)