Black-Scholes – элементарное введение

[H14sk]

vek88 в сообщении #258865 писал(а):

1. Здесь не следует усложнять - предлагаю смотреть на это проще. Разумеется, $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считаем постоянной. А вопрос сводится к определению нашего навара $\Delta \Pi$ с точностью до членов порядка $\Delta t$

Если $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считать постоянной, что

$$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$

является константой по времени? Цена акции и стоимость опциона изменяются за $\Delta t$ синхронно на одну и ту же величину? Насколько корректное допущение?

[vek88]

H14sk в сообщении #258876 писал(а):

Если $\Delta$ на интервале $\Delta t$ считать постоянной, что

$$\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$$

является константой по времени? Цена акции и стоимость опциона изменяются за $\Delta t$ синхронно на одну и ту же величину? Насколько корректное допущение?

$\Delta$ считаем постоянной на $\Delta t$ пренебрегая членами более высокого порядка малости.

Видимо, надо выразиться более точно: цена позиции по опциону и цена позиции по акции меняются на одну и ту же величину, но с разными знаками. Как говорится, потому и не кусают, т.е. для того и хеджировались, чтобы наш портфель не зависел от риска изменения цены акции (т.е. от рыночного риска). В частности, чтобы не зависел от величины $\mu$, которая в реальном мире нам не очень-то известна.

И еще одна подсказка. Забудьте на время об опционе. Предположим, что безрисковая ставка 5%, а у вас в руках безрисковый актив, приносящий доход по ставке 4%. Предположим также, что этот актив Вам не нужен в течение года. Ваши действия?

[vek88]

Ответа на последний вопрос я так и не увидел. Пусть этот вопрос останется в качестве хвоста, а мы рассмотрим заключительные замечания.

Вернемся на минуту к $\mu=r$. В результате усреднения денежного потока в момент $T$ и дисконтированием его по ставке $r$ мы пришли к формулам BS. А теперь посмотрим на эти формулы с позиций $\Delta$-нейтрального хеджирования. Очевидно, что этот портфель за каждый интервал $\Delta t$ наваривает безрисковую ставку $r$. Отсюда следует, что купив европейский call опцион за цену c (по BS) в момент исполнения опциона мы получим сумму $c e^{rT}$.

А теперь пусть $\mu$ произвольно. Казалось бы теперь мы должны "найти" некоторую иную формулу для цены опциона. Предположим, мы нашли такую функцию $c_\mu$.

Обратим внимание на важное обстоятельство. Устроив $\Delta$-нейтральное хеджирование для этой функции мы снова обнаружим, что это хеджирование исключает из рассмотрения параметр $\mu$. Следовательно, все в этом динамический портфеле, в том числе, функция $c_\mu$ не зависит от $\mu$. Разумеется $r$ присутствует в процессе - по этой ставке мы навариваем на текущую стоимость портфеля. Разумеется, денежки от продажи $\Delta$ акций мы крутим в банке по ставке $r$.

И все? И все. Фанаты ликуют - передние ряды в трансе.

А что касается меня, до понедельника ухожу в отпуск.
С уважением,
vek88

[vek88]

Поскольку вот уже неделя с последнего сообщения, считаю основную тему исчерпанной. Теперь можно кратко прокомментировать дополнительные вопросы, возникавшие по ходу темы.

Шимпанзе в сообщении #256791 писал(а):

vek88 в сообщении #256772 писал(а):

А если серьезно, надо использовать какую-либо модель для учета толстых хвостов, лептокуртозиса, улыбки волатильности и т.д.

Складывается мнение ( у меня), что любая экономическая модель тренда достоверна на короткий промежуток времени – максимум пару дней. Любая модель на более длинный период недостойна внимания. Нет?

Я бы не стал говорить столь однозначно (пессимистично или оптимистично). It depends. На некоторых промежутках времени график эмпирического интегрального (!) распределения лога близок к нормальному (и на глаз и по Колмогорову). Другими словами, все как в учебниках. А иногда отчетливо видны жирные хвосты и/или лептокуртозис.

В любом случае надо помнить, что лучшего (и столь же простого) нам не дано.

С уважением,
vek88

[H14sk]

Ну, что можно подводить итоги?
Насколько адекватные в основе положены предпложения?
1. Колебания курса положены в %, а не в валюте.
Отсюда, вроде, и проблема со стремление матожидания к нулю при больших n или $\sigma_d$ сравнимых с единицей:
$M\left[ln(\frac{S_T}{S_0}) \right] = (n/2) \left( ln(1 + \sigma_d) + ln(1 - \sigma_d) \right) = (n/2) ln(1 - {\sigma_d}^2) $
2. Четкого вывода я тут не увидел, может, плохо смотрел, но в целом, ИМХО, это упрощенная биноминальная модель с равновероятными исходами + или - %. Стандартная биноминальная модель использует менее узкие предположения.
3. Понимаю Ваше желание оставить неявное управление на $\Delta=\frac{\partial {c}}{\partial{S}}$, но наверное интереснее модели, где к этому аспекту относятся содержательнее.

vek88 писал(а):

А если это кому-то нужно, пусть откроет Халла (Appendix 11A). Переписывать понятные и общедоступные вещи сюда вряд ли целесообразно.

В моих изданиях Халла нет Appendix'а 11A, наверное имелось в виду, 13.1 или 13А?
И стоит так уж избегать Ито? Если оставить в основном идеи случайных процессов в стороне, то, по сути, броуновский процесс это и не фунуция t, и нельзя сказать, что совсем уж независимые величины, - есть зависимость через дисперсию - это и используется в формуле Ито.

[vek88]

Халл у меня 4-е издание (2000 г.). Приложение 11А называется Proof of BSM Formula.

Обращаю внимание на следующее:

1. Нигде не ставилась задача "доказать" что-либо. Речь шла исключительно на уровне элементарных пояснений.

2. Задача "закрыть Америку" (Винера, Ито, и т.д.) также не ставилась. Винеровский процесс и все такое - это прекрасно, красиво и изящно. Но ... только для тех, кто это все знает.

3. Меня несколько удивляет целый ряд заданных в теме вопросов, например, о пояснении логнормальности. Господа! Прочитайте внимательно того же Халла - все взято оттуда. И лишь опущены "необязательные" моменты. Например, динамическое хеджирование уже на содержательном уровне исключает $\mu$, следовательно, не обязательно писать дифуры для того, чтобы сказать о независимости от $\mu$. То же и с винеровским процессом - вывести искомое распределение $S_T$ можно и без него.

Итак, была поставлена задача изложить BS без суровой математики. Плохо ли, хорошо ли - эта задача выполнена. Кто может сделать это лучше - сделайте.

[finanzmaster]

vek88 в сообщении #262518 писал(а):

Итак, была поставлена задача изложить BS без суровой математики. Плохо ли, хорошо ли - эта задача выполнена. Кто может сделать это лучше - сделайте.

Худо-бедно, да.
Из положительных моментов:
1. упоминался дельта-хеджинг
2. Уделено внимание тому, что волатильность "добавляет отрицательности" тренду цены акции.

Но с учетом того, что формула БШ даже не была выведена - это далеко не лучшее элементаное введение.
На мой взгляд, лучше "классический" подход:
1. Ввести дискретный random walk
2. Показать, что он сходится к броуновскому движению
3. Ввести CRR-модель; в рамках нее - и хеджирующую стратегию, и мартингальную меру
4. Показать, что при соответствующей калибровке цена европйского колла сходится к БШ
5. Попросить поверить на слово, что в непрерывном времени есть и хеджирующая стратегия - ну а перейти к мартингальной мере - значит сделать drift не $\mu$, а $r$

При этом говоря "лучше", я имею в виду лучше того, что нам было представлено.
По своему опыту скажу (хотя это особенности восприятия) - пока не засучил рукава и не изучил Shrev'а в деталях - все оставлось темным лесом, все эти элементарные введения в лучшем случае дают ответ на узкий определенный вопрос. А вот чтобы за деревьями лес видеть - надо куда больше времени и старания инвестировать.

[vek88]

finanzmaster в сообщении #262631 писал(а):

Уделено внимание тому, что волатильность "добавляет отрицательности" тренду цены акции.

А как же не уделить этому внимание? Мы просто "обошли стороной" Лемму Ито в конкретном случае.

finanzmaster в сообщении #262631 писал(а):

Но с учетом того, что формула БШ даже не была выведена - это далеко не лучшее элементаное введение.

Что касается взятия интеграла, уже были ссылки на Халла (например, к приложению к главе 13 в русском переводе). Хотя, как Вы сказали по другому поводу, можно поверить на слово со взятием интеграла.

В целом же согласен, что излагать ценообразование производных инструментов можно самыми разными способами. Разумеется, с учетом конкретных целей и особенностей аудитории. Так, например, для аспирантов мехмата МГУ, специализирующихся на теории случайных процессов, вряд ли необходимо элементарное введение. А вот для "нематематической" аудитории более предпочтительно делать акцент на содержательной стороне, а математические выкладки следует давать в минимально возможном объеме.

Что касается глубокого изучения какого-либо предмета, абсолютно согласен с Вами, что все дается трудом и терпением. Лет пятнадцать назад мне дали ксерокопию тогдашнего издания Халла - я его проштудировал "с карандашом в руках" раза три. Потом мне подарили 4-е издание - при любых проблемах открываю и с большим удовольствием изучаю снова.

С уважением,
vek88

[PlamBeer]

А можно просьбу из грона "чайников"?
Можно какой-нибудь список основных понятий и формул составить (можно не расписывая даже, просто термины), чтобы как-то было в легче вливаться в эти все дела. Я просто только начинаю их изучение и потому, как тут многие любят говорить, что некоторые вещи элементарны, мне они на данном этапе развития таковыми не кажутся...
Очень надеюсь, что когда-то и я буду смотреть на них как на нечто очень элементарное, но для этого надо сейчас грамотно подойти к их изучению...
Думаю такой ликбез-топик пригодится в будущем не только мне... Заранее спасибо!

[bubu gaga]

Напишите, что не понятно, форум для этого и существует.

[vek88]

PlamBeer в сообщении #267595 писал(а):

Можно какой-нибудь список основных понятий и формул составить (можно не расписывая даже, просто термины), чтобы как-то было в легче вливаться в эти все дела.

Мне кажется, что Ваш вопрос не туда и не о том. Фактически, Вы просите дать Вам путеводитель, причем непонятно для кого и непонятно куда. Разумеется, писать подобный путеводитель никто для Вас не станет, поскольку это большой и неблагодарный труд. Как сказал когда-то акдемик Понтрягин, тонкую книгу написать гораздо труднее, чем толстую.

Я бы на Вашем месте попросил на Форуме совета о выборе одной-двух книг для Вашего уровня математической и экономической подготовки (если Вы этот уровень укажете в вопросе).

Либо, как Вам уже посоветовал уважаемый bubu gaga, задавайте конкретные вопросы.

С уважением,
vek88

P.S. Вспомнил старый анекдот. Один доцент другому: я так долго объяснял этому студенту, что уже даже сам понял, а он так ничего и не понял.

[barga44]

предлагаю все же приводить реальные примеры.Попробуем применить ее на практике для одной венчурной компании в Канаде.Сейчас она стоит (ее акции )720 тысяч долларов на бирже в Канаде.Имеет на балансе 2 ангара для ремонта самолетов площадью 300 квадратных метров.Долгов примерно на 7 миллионов долларов.Ее оборот(если бы она работала) составляет 65 миллионов долларов в год.Сейчас она находится под защитой от банкротства законами Канады и месяц будет приостановлена ее работа.То есть кредиторы не могут получать плату за долги.Наверное сменят директора.Работники уволены.Им платится пособие 6 месяцев, составлябщее 75% от их зарплаты.
Видно, что ващи формулы не работают применительно к такой находящейся в состоянии банкротства или в компании, которая идет к юанкпротству.

[bubu gaga]

barga44: Замечание за оффтопик