2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 48, 49, 50, 51, 52  След.
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение13.11.2013, 10:17 


16/08/05
1146
Феликс Шмидель в сообщении #783523 писал(а):
Подъём для ВТФ $n=3$ - задача простая, ввиду тождества:

$(x(x^3+2 y^3))^3-(y(2 x^3+y^3))^3=(x^3+y^3)(x^3-y^3)^3$.

Тогда подъём можно представить так.

Если для натуральных взаимно простых $x,y,z$ справедливо тождество

$x^3+y^3=z^3$

то справедливо и тождество

$(z (x^3 - y^3))^3 + (y (z^3 + x^3))^3 = (x (z^3 + y^3))^3$


А не следует ли из этого одновременно и спуск? Или, иначе - что в данном случае необходимо, чтоб сработал спуск?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение13.11.2013, 10:46 


31/03/06
1384
Из возможности подъёма не следует возможность спуска.
В случае $n=3$ подъём ничего не доказывает, так как не доказано, что число решений - конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение13.11.2013, 11:23 


16/08/05
1146
В данном случае спуск станет возможным, если суметь показать, что некоторые делители $a,b,c$ чисел $x,y,z$ соответствуют подъёмной структуре:

$x=c (a^3 - b^3)$
$y=b (c^3 + a^3)$
$z=a (c^3 + b^3)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 04:47 


29/08/09
659
Добрый день, уважаемые форумчане! Прошло почти 10 лет с тех пор, как я писала на форуме. Многое изменилось в жизни, было не до Теоремы. И вот вдруг ни с того, ни с сего, решила вернуться к своему доказательству.

Я до сих пор уверена, что Ферма шел именно таким путем.

Буду благодарна, если найдете время прочитать
и укажете на ошибку.
Предлагаю частный вариант доказательство для $n=3$ , как того требуют правила форума.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.

1.1. $x+x'-z=d$, где $x$
, $x'$ , $z$
$d$ - положительные числа.***
$x^2+x'^2=z^2+p$, где $p$- положительное число.***

1.2. $x+x'-z=d$,
$x^2+x'^2-z^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+px'-pz=x^2d+x'^2d-z^2d$, $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $xd-p>0$, $x'd-p>0$, $zd-p>0$.***

1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$z^3x(xd-p)+z^3x'(x'd-p)=x^3z(zd-p)+x'^3z(zd-p)$ , следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$ .

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:


2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.

2.1.2. если $x =x'$. Тогда
$x((zd-p)x^2-z^2dx+z^2p)=0$
$x=0$ ( но у нас $x>0$).
или $(zd-p)x^2-z^2dx+z^2p=0$
$D=z^4d^2-4z^2p(zd-p)$ $D=z^2(zd-2p)^2$
$x=\frac{z^2d+z(zd-2p)}{2(zd-p)}$ или $z=\frac{z^2d-z(zd-2p)}{2(zd-p)}$, отсюда $x=c$ ( но у нас $x<c$) или $x=\frac{zp}{zd-p}$.

3.1 Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.

Тогда $a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.
Поскольку функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$
значение функции в которой при этих значениях параметров $d$ и $p$ равно $0$, то есть существуют решение уравнения $x^3+x'^3=z^3$.
при 1. $x=a$ $x'=b$ и 2.$x=x'=h$.

где $h=\frac{cp}{cd-p}$ - рациональное число. Но это противоречит $2h^3=c^3$ ( $h$
должно быть иррациональным числом),
следовательно, $p$ и $d$ не могут быть рациональными, а значит, и все три числа
$а$, $b$ и $c$ не могут быть положительными рациональными.



***$xd-p=x(x+x'-z) -(x^2+x'^2-z^2)=xx'+x^2-zx-x^2-x'^2+z^2=(z-x)(z+x')-x'(z-x)=(z-x)(z+x-x')$
$z-x>0$, $z+x-x'>0$ , следовательно, $xd-p>0$.
,$z>x$, следовательно,$zd-p>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 09:41 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):
...следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:...

Ваше равенство выполняется в куче случаев, например:

$x=n$

$x'=n(2n-1)$

$z=2n^2-2n+1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 09:45 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1594924 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):
...следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:...

Ваше равенство выполняется в куче случаев, например:

$x=n$

$x'=n(2n-1)$

$z=2n^2-2n+1$

Так у меня в первом случае и написано, что существует бесчисленное множество решений .
Может, я неточное слово подобрала, "случай"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 10:00 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 я у вас увидел лишь случай
natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):
2.1.2. если $x =x'$. Тогда...
Где второй-то? То бишь $x \neq x'$ ?

Хотя всё это лирика. Ваше равенство
natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):
$(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$
равносильно

$(x^2+x'^2-z(x+x'))(x^3+x'^3-z^3)=0$

Т.о. вы просто добавили лишние решения к исходному уравнению (одно из которых я вам и показал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 10:06 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1594928 писал(а):
natalya_1 я у вас увидел лишь случай
natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):
2.1.2. если $x =x'$. Тогда...
Где второй-то? То бишь $x \neq x'$ ?

Хотя всё это лирика. Ваше равенство
natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):
$(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$
равносильно

$(x^2+x'^2-z(x+x'))(x^3+x'^3-z^3)=0$

Т.о. вы просто добавили лишние решения к исходному уравнению (одно из которых я вам и показал).

Да, я сначала показала решения в общем случае, а потом предположила, что среди этого бесчисленного множества положительных решений существует тройка рациональных.,

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 10:20 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1594931 писал(а):
Да, я сначала показала решения в общем случае, а потом предположила, что среди этого бесчисленного множества положительных решений существует тройка рациональных
я всё равно не понимаю план вашего доказательства. Итак, будем считать, что вы показали, что среди "бесчисленного множества положительных решений" существуют мало того, что рациональные, но даже натуральные решения. Что с этим делать дальше? Все эти числа решают ваше уравнение, но не решают уравнение ВТФ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 11:13 


13/05/16
355
Москва
natalya_1 в сообщении #1594931 писал(а):
Да, я сначала показала решения в общем случае, а потом предположила, что среди этого бесчисленного множества положительных решений существует тройка рациональных

Я в вашем старом доказательстве нашёл одно интересное уравнение, только не знаю, правильное ли оно, вернее там даже два уравнения. Вот где они фигурируют
ссылка если они правильные, то тогда все сводится к системе уравнений с двумя неизвестными, только у вас тогда были другие обозначения $a^3+b^3=c^3$

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 11:33 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1594933 писал(а):
я всё равно не понимаю план вашего доказательства. Итак, будем считать, что вы показали, что среди "бесчисленного множества положительных решений" существуют мало того, что рациональные, но даже натуральные решения. Что с этим делать дальше? Все эти числа решают ваше уравнение, но не решают уравнение ВТФ.

План моего доказательства в том, что отношение параметров $\frac{p}{d}$
не может быть рациональным ( как было бы в случае рациональных решений уравнения). Более того, это отношение -величина постоянная при любых положительных решениях уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 11:36 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):
План моего доказательства в том, что отношение параметров $\frac{p}{d}$
не может быть рациональным
Почему не может? Я же вам привёл решение, подставьте — получите как раз рациональное число :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 11:51 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1594940 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):
План моего доказательства в том, что отношение параметров $\frac{p}{d}$
не может быть рациональным
Почему не может? Я же вам привёл решение, подставьте — получите как раз рациональное число :wink:

Посмотрите, пожалуйста, мое доказательство. Я именно это и доказываю, поскольку это отношение связано со значениями a, b, c. И, главное, - h , которое при рациональном c всегда иррационально .

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 12:18 
Аватара пользователя


26/02/14
496
so dna
natalya_1 в сообщении #1594943 писал(а):
Посмотрите, пожалуйста, мое доказательство.
Посмотрел. Ваше доказательство неверно, т.к. вы используете то, что корни вашего уравнения должны решать уравнение ВТФ, что неверно по уже указанным выше причинам.

natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):
Более того, это отношение -величина постоянная при любых положительных решениях уравнения.
Утверждение:

Если $(a_1,b_1,c_1)$, $(a_2,b_2,c_2)$ — различные натуральные решения уравнения $x^3+y^3=z^3$, то $\frac{a_1+b_1-c_1}{a_1^2+b_1^2-c_1^2}=\frac{a_2+b_2-c_2}{a_2^2+b_2^2-c_2^2}$

Неверно. Могу написать доказательство, если это имеет смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Попытка доказательства Теоремы Ферма
Сообщение23.05.2023, 12:21 


29/08/09
659
Rak so dna в сообщении #1594957 писал(а):
natalya_1 в сообщении #1594943 писал(а):
Посмотрите, пожалуйста, мое доказательство.
Посмотрел. Ваше доказательство неверно, т.к. вы используете то, что корни вашего уравнения должны решать уравнение ВТФ, что неверно по уже указанным выше причинам.

natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):
Более того, это отношение -величина постоянная при любых положительных решениях уравнения.
Утверждение:

Если $(a_1,b_1,c_1)$, $(a_2,b_2,c_2)$ — различные натуральные решения уравнения $x^3+y^3=z^3$, то $\frac{a_1+b_1-c_1}{a_1^2+b_1^2-c_1^2}=\frac{a_2+b_2-c_2}{a_2^2+b_2^2-c_2^2}$

Неверно. Могу написать доказательство, если это имеет смысл.
да, для меня это имеет огромный смысл. Напишите, пожалуйста, lдоказательство. Небольшое уточнение: мы имеем дело с одним и тем же значением c ( хотя, это, наверное, не важно, просто я это доказывала). В моем тексте доказательства этого нет ( поскольку не влияет на ход доказательства) и я забыла, как набирать корни в тексте на компьютере.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 770 ]  На страницу Пред.  1 ... 48, 49, 50, 51, 52  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group