Попытка доказательства Теоремы Ферма

[dmd]

Феликс Шмидель в сообщении #783523 писал(а):

Подъём для ВТФ $n=3$ - задача простая, ввиду тождества:

$(x(x^3+2 y^3))^3-(y(2 x^3+y^3))^3=(x^3+y^3)(x^3-y^3)^3$.

Тогда подъём можно представить так.

Если для натуральных взаимно простых $x,y,z$ справедливо тождество

$x^3+y^3=z^3$

то справедливо и тождество

$(z (x^3 - y^3))^3 + (y (z^3 + x^3))^3 = (x (z^3 + y^3))^3$


А не следует ли из этого одновременно и спуск? Или, иначе - что в данном случае необходимо, чтоб сработал спуск?

[Феликс Шмидель]

Из возможности подъёма не следует возможность спуска.
В случае $n=3$ подъём ничего не доказывает, так как не доказано, что число решений - конечно.

[dmd]

В данном случае спуск станет возможным, если суметь показать, что некоторые делители $a,b,c$ чисел $x,y,z$ соответствуют подъёмной структуре:

$x=c (a^3 - b^3)$
$y=b (c^3 + a^3)$
$z=a (c^3 + b^3)$

[natalya_1]

Добрый день, уважаемые форумчане! Прошло почти 10 лет с тех пор, как я писала на форуме. Многое изменилось в жизни, было не до Теоремы. И вот вдруг ни с того, ни с сего, решила вернуться к своему доказательству.

Я до сих пор уверена, что Ферма шел именно таким путем.

Буду благодарна, если найдете время прочитать
и укажете на ошибку.
Предлагаю частный вариант доказательство для $n=3$ , как того требуют правила форума.

Итак, Ферма утверждал, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$ не имеет рациональных решений . Попробуем доказать обратное.

1.1. $x+x'-z=d$, где $x$
, $x'$ , $z$
$d$ - положительные числа.***
$x^2+x'^2=z^2+p$, где $p$- положительное число.***

1.2. $x+x'-z=d$,
$x^2+x'^2-z^2=p$ Перемножаем левые и правые части, получаем: $px+px'-pz=x^2d+x'^2d-z^2d$, $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $xd-p>0$, $x'd-p>0$, $zd-p>0$.***

1.3. $x(xd-p)+x'(x'd-p)=z(zd-p)$, $x^3+x'^3=c^3$ (п.1.1). Перемножаем левые и правые части, получаем:$z^3x(xd-p)+z^3x'(x'd-p)=x^3z(zd-p)+x'^3z(zd-p)$ , следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$ .

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:


2.1.1. Функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px $ в точках $x$ и $x'$ принимает одинаковые значения разных знаков. Она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$,
следовательно , уравнение имеет бесчисленное множество решений.

2.1.2. если $x =x'$. Тогда
$x((zd-p)x^2-z^2dx+z^2p)=0$
$x=0$ ( но у нас $x>0$).
или $(zd-p)x^2-z^2dx+z^2p=0$
$D=z^4d^2-4z^2p(zd-p)$ $D=z^2(zd-2p)^2$
$x=\frac{z^2d+z(zd-2p)}{2(zd-p)}$ или $z=\frac{z^2d-z(zd-2p)}{2(zd-p)}$, отсюда $x=c$ ( но у нас $x<c$) или $x=\frac{zp}{zd-p}$.

3.1 Теперь предположим, что уравнение $x^3+x'^3=z^3$
имеет решение в рациональных числах при $x=a$, $x'=b$, $z=c$, где $a$, $b$, $c$ - рациональные положительные числа.

Тогда $a^3+b^3=c^3$.
$a+b=c+d$ ,$a^2+b^2=c^2+ p$ , и
$p$ ,$d$ -рациональные числа.
Поскольку функция $y=(cd-p)x^3-c^{2}dx^2+c^{2}px$ в точках $a$ и $b$ принимает одинаковые значения разных знаков и она является целой рациональной функцией, непрерывна и определена при всех значениях $x$, между $a$ и $b$ существует точка ( назовем ее
$h$
значение функции в которой при этих значениях параметров $d$ и $p$ равно $0$, то есть существуют решение уравнения $x^3+x'^3=z^3$.
при 1. $x=a$ $x'=b$ и 2.$x=x'=h$.

где $h=\frac{cp}{cd-p}$ - рациональное число. Но это противоречит $2h^3=c^3$ ( $h$
должно быть иррациональным числом),
следовательно, $p$ и $d$ не могут быть рациональными, а значит, и все три числа
$а$, $b$ и $c$ не могут быть положительными рациональными.



***$xd-p=x(x+x'-z) -(x^2+x'^2-z^2)=xx'+x^2-zx-x^2-x'^2+z^2=(z-x)(z+x')-x'(z-x)=(z-x)(z+x-x')$
$z-x>0$, $z+x-x'>0$ , следовательно, $xd-p>0$.
,$z>x$, следовательно,$zd-p>0$

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):

...следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:...

Ваше равенство выполняется в куче случаев, например:

$x=n$

$x'=n(2n-1)$

$z=2n^2-2n+1$

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1594924 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):

...следовательно, $(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$

2.1 Равенство будет выполняться в двух случаях:...

Ваше равенство выполняется в куче случаев, например:

$x=n$

$x'=n(2n-1)$

$z=2n^2-2n+1$

Так у меня в первом случае и написано, что существует бесчисленное множество решений .
Может, я неточное слово подобрала, "случай"?

[Rak so dna]

natalya_1 я у вас увидел лишь случай

natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):

2.1.2. если $x =x'$. Тогда...

Где второй-то? То бишь $x \neq x'$ ?

Хотя всё это лирика. Ваше равенство

natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):

$(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$

равносильно

$(x^2+x'^2-z(x+x'))(x^3+x'^3-z^3)=0$

Т.о. вы просто добавили лишние решения к исходному уравнению (одно из которых я вам и показал).

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1594928 писал(а):

natalya_1 я у вас увидел лишь случай

natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):

2.1.2. если $x =x'$. Тогда...

Где второй-то? То бишь $x \neq x'$ ?

Хотя всё это лирика. Ваше равенство

natalya_1 в сообщении #1594899 писал(а):

$(zd-p)x^3-z^{2}dx^2+z^{2}px=-((zd-p)x'^3-z^{2}dx'^2+z^{2}px')$

равносильно

$(x^2+x'^2-z(x+x'))(x^3+x'^3-z^3)=0$

Т.о. вы просто добавили лишние решения к исходному уравнению (одно из которых я вам и показал).

Да, я сначала показала решения в общем случае, а потом предположила, что среди этого бесчисленного множества положительных решений существует тройка рациональных.,

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1594931 писал(а):

Да, я сначала показала решения в общем случае, а потом предположила, что среди этого бесчисленного множества положительных решений существует тройка рациональных

я всё равно не понимаю план вашего доказательства. Итак, будем считать, что вы показали, что среди "бесчисленного множества положительных решений" существуют мало того, что рациональные, но даже натуральные решения. Что с этим делать дальше? Все эти числа решают ваше уравнение, но не решают уравнение ВТФ.

[Antoshka]

natalya_1 в сообщении #1594931 писал(а):

Да, я сначала показала решения в общем случае, а потом предположила, что среди этого бесчисленного множества положительных решений существует тройка рациональных

Я в вашем старом доказательстве нашёл одно интересное уравнение, только не знаю, правильное ли оно, вернее там даже два уравнения. Вот где они фигурируют
ссылка если они правильные, то тогда все сводится к системе уравнений с двумя неизвестными, только у вас тогда были другие обозначения $a^3+b^3=c^3$

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1594933 писал(а):

я всё равно не понимаю план вашего доказательства. Итак, будем считать, что вы показали, что среди "бесчисленного множества положительных решений" существуют мало того, что рациональные, но даже натуральные решения. Что с этим делать дальше? Все эти числа решают ваше уравнение, но не решают уравнение ВТФ.

План моего доказательства в том, что отношение параметров $\frac{p}{d}$
не может быть рациональным ( как было бы в случае рациональных решений уравнения). Более того, это отношение -величина постоянная при любых положительных решениях уравнения.

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):

План моего доказательства в том, что отношение параметров $\frac{p}{d}$
не может быть рациональным

Почему не может? Я же вам привёл решение, подставьте — получите как раз рациональное число

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1594940 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):

План моего доказательства в том, что отношение параметров $\frac{p}{d}$
не может быть рациональным

Почему не может? Я же вам привёл решение, подставьте — получите как раз рациональное число

Посмотрите, пожалуйста, мое доказательство. Я именно это и доказываю, поскольку это отношение связано со значениями a, b, c. И, главное, - h , которое при рациональном c всегда иррационально .

[Rak so dna]

natalya_1 в сообщении #1594943 писал(а):

Посмотрите, пожалуйста, мое доказательство.

Посмотрел. Ваше доказательство неверно, т.к. вы используете то, что корни вашего уравнения должны решать уравнение ВТФ, что неверно по уже указанным выше причинам.

natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):

Более того, это отношение -величина постоянная при любых положительных решениях уравнения.

Утверждение:

Если $(a_1,b_1,c_1)$, $(a_2,b_2,c_2)$ — различные натуральные решения уравнения $x^3+y^3=z^3$, то $\frac{a_1+b_1-c_1}{a_1^2+b_1^2-c_1^2}=\frac{a_2+b_2-c_2}{a_2^2+b_2^2-c_2^2}$

Неверно. Могу написать доказательство, если это имеет смысл.

[natalya_1]

Rak so dna в сообщении #1594957 писал(а):

natalya_1 в сообщении #1594943 писал(а):

Посмотрите, пожалуйста, мое доказательство.

Посмотрел. Ваше доказательство неверно, т.к. вы используете то, что корни вашего уравнения должны решать уравнение ВТФ, что неверно по уже указанным выше причинам.

natalya_1 в сообщении #1594939 писал(а):

Более того, это отношение -величина постоянная при любых положительных решениях уравнения.

Утверждение:

Если $(a_1,b_1,c_1)$, $(a_2,b_2,c_2)$ — различные натуральные решения уравнения $x^3+y^3=z^3$, то $\frac{a_1+b_1-c_1}{a_1^2+b_1^2-c_1^2}=\frac{a_2+b_2-c_2}{a_2^2+b_2^2-c_2^2}$

Неверно. Могу написать доказательство, если это имеет смысл.

да, для меня это имеет огромный смысл. Напишите, пожалуйста, lдоказательство. Небольшое уточнение: мы имеем дело с одним и тем же значением c ( хотя, это, наверное, не важно, просто я это доказывала). В моем тексте доказательства этого нет ( поскольку не влияет на ход доказательства) и я забыла, как набирать корни в тексте на компьютере.