2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Так о чем арифметика?
Сообщение29.06.2009, 18:37 


20/03/08
421
Минск
Что изучается в арифметике: числа или операции над ними?
Ведь кажется, что именно операции (точнее, свойства этих операций, например, коммутативность и т. д.).

А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое, нечто, что без всякого ущерба может быть названо “сепульками”. У Гудстейна на этот счет имеется хорошая аналогия арифметики с шахматной игрой:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение30.06.2009, 11:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
7962
Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
Что изучается в арифметике: числа или операции над ними?
Ведь кажется, что именно операции (точнее, свойства этих операций, например, коммутативность и т. д.).

А если сказать, что то и другое вместе?

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое, нечто, что без всякого ущерба может быть названо “сепульками”.

Я бы сказал: "строка вертикальных чёрточек". Чем плохое определение?

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
У Гудстейна на этот счет имеется хорошая аналогия арифметики с шахматной игрой:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

"Что делает некоторую конкретную фигуру королём? Ясно, что это не очертания этой фигуры и не её размер, ибо и то, и другое может быть по желанию изменено".

На мой взгляд, это - рассуждение человека, замороченного на математических абстракциях (того самого математика из анекдота, который в ответ на вопрос путешественников о том, где они находятся, подумав, сказал: "На воздушном шаре"). Для нормального человека, понятия не имеющего об абстрактных шахматах, фигуру (идентифицируемую именно по её очертаниям и размеру) делает королём тот факт, что её так назвали. Показали пальцем и сказали: "Запомни, вот это - король". А уж как эта фигура ходит, он пока что может и не знать.

Кстати, игру, определяемую совокупностью правил (в том числе и правилами о том, как ходит король), делает "шахматами" то, что её так назвали.

Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

Всё "хвилософствуете"? :)

Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение30.06.2009, 14:18 


20/03/08
421
Минск
epros в сообщении #225720 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

Всё "хвилософствуете"? :)

Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но ведь в теоретической арифметике числовые системы как раз-то и рассматриваются именно как абстрактные системы объектов.
Цитата:
Под системой объектов мы будем иметь в виду (непустое) множество объектов, между которыми установлены некоторые соотношения... Если об объектах системы мы ничего не знаем, кроме соотношений, имеющихся между ними в системе, то такая система называется абстрактной. В этом случае устанавливается только структура системы, а природа ее объектов остается неопределенной во всех отношениях, кроме одного, -- что они согласуются с этой структурой. Всякая дальнейшая спецификация природы объектов дает представление (или модель) этой абстрактной системы, т. е. систему объектов, удовлетворяющих соотношениям абстрактной системы и, кроме того, обладающих, вообще говоря, и другими свойствами.
Клини К. С. “Введение в метаматематику”, 1957, сс. 29 – 30.

В частности, так любимая Вами арифметика Пеано должна специфицировать именно некоторую абстрактную систему объектов (ведь арифметика Пеано – это pure mathematics, а не applied).
http://en.wikipedia.org/wiki/Pure_mathematics
http://en.wikipedia.org/wiki/Applied_mathematics

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение30.06.2009, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
7962
Свободный Художник в сообщении #225754 писал(а):
epros в сообщении #225720 писал(а):
Разумеется, если говорить об абстрактном понятии, из которого исключены все представления о его возможных применениях и оставлены только формальные описания свойств и отношений, то дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но ведь в теоретической арифметике числовые системы как раз-то и рассматриваются именно как абстрактные системы объектов.

Так я и говорю, что если говорить об абстрактных объектах, то рассуждать об их "природе" бессмысленно, ибо Вы эту самую "природу" исключили, когда абстрагировались от реальных применений этих абстрактных понятий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение30.06.2009, 22:21 


07/09/07
463
Что такое определение объекта? Это указание его взаимосвязей с другими объектами. Потому любая наука строится не на объектах а на связях между ними. Объект это название для комплекса связей.
Дискуссии о "природе чисел" скорее имеют своей целью выявить в другой сфере жизни такую же систему взаимосвязей как у понятия Число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение30.06.2009, 22:29 


27/08/06
579
STilda в сообщении #225856 писал(а):
Объект это название для комплекса связей.

Для связей чего с чем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение30.06.2009, 23:30 


07/09/07
463
хороший вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение07.07.2009, 12:03 


20/03/08
421
Минск
epros в сообщении #225720 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
У Гудстейна на этот счет имеется хорошая аналогия арифметики с шахматной игрой:
http://www.px-pict.com/9/6/4/8/4/4.html

"Что делает некоторую конкретную фигуру королём? Ясно, что это не очертания этой фигуры и не её размер, ибо и то, и другое может быть по желанию изменено".

На мой взгляд, это - рассуждение человека, замороченного на математических абстракциях (того самого математика из анекдота, который в ответ на вопрос путешественников о том, где они находятся, подумав, сказал: "На воздушном шаре"). Для нормального человека, понятия не имеющего об абстрактных шахматах, фигуру (идентифицируемую именно по её очертаниям и размеру) делает королём тот факт, что её так назвали. Показали пальцем и сказали: "Запомни, вот это - король". А уж как эта фигура ходит, он пока что может и не знать.

А к концепции Гильберта о формальном аксиоматическом методе Вы как относитесь?
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/3/2.html

Рассуждение Гудстейна вполне в русле этого метода.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение07.07.2009, 14:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
7962
Свободный Художник в сообщении #227088 писал(а):
А к концепции Гильберта о формальном аксиоматическом методе Вы как относитесь?
http://www.px-pict.com/9/6/6/1/3/2.html

Рассуждение Гудстейна вполне в русле этого метода.

Честно говоря, не понял всей глубины различий между "материальной" и "формальной" аксиоматиками. Разумеется, в формально записанной теории и аксиоматика "формальная". А если теория находит применение в реальности, то можно сказать, что её аксиоматика приобретает какое-то "реальное содержание". Почему нужно противопоставлять одно другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение08.07.2009, 14:33 


20/03/08
421
Минск
epros в сообщении #227133 писал(а):
Честно говоря, не понял всей глубины различий между "материальной" и "формальной" аксиоматиками.

Как?! Вы ничего не слышали о столах, стульях и пивных кружках? :shock:
Цитата:
Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение08.07.2009, 15:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
7962
Свободный Художник в сообщении #227391 писал(а):
epros в сообщении #227133 писал(а):
Честно говоря, не понял всей глубины различий между "материальной" и "формальной" аксиоматиками.

Как?! Вы ничего не слышали о столах, стульях и пивных кружках? :shock:

Я не понимаю противопоставления "материальной" и "формальной" аксиоматик.

Понятное дело, что "точка" и "прямая" в бытовом смысле - это то, что можно провести карандашом. После того, как мы абстрагируемся от "несущественных" свойств этих объектов, а оставшиеся "существенные" формулируем в виде аксиом, мы получаем математическое определение этих объектов. Почему нужно говорить о том, что бытовое понимание - бессмысленно, а формальное - правильно (или наоборот)?

Свободный Художник в сообщении #227391 писал(а):
Цитата:
Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

Гм... Что первично: курица или яйцо? То бишь: "бытовой" смысл, т.е. понимание практических способов применения понятия, или "формальный математический"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение08.07.2009, 22:08 


20/03/08
421
Минск
epros в сообщении #227409 писал(а):
Я не понимаю противопоставления "материальной" и "формальной" аксиоматик.

Понятное дело, что "точка" и "прямая" в бытовом смысле - это то, что можно провести карандашом. После того, как мы абстрагируемся от "несущественных" свойств этих объектов, а оставшиеся "существенные" формулируем в виде аксиом, мы получаем математическое определение этих объектов.

Дык, … ведь не объектов же! Не объектов!!!

Даже если взять для примера “материальную” аксиоматику:
Кокстер Х.С.М.
Действительная проективная плоскость.
Пер. с англ. Т. В. Солнцевой под ред. проф. А. А. Глаголева.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 28 — 44:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/1.html,

то ведь нет там “аксиом точек”. И “аксиом прямых” тоже нет. А вот аксиомы отношений инцидентности имеются:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/4.html

-- Чт июл 09, 2009 00:47:43 --

А, вот, если считать, что арифметика – это “наука о числах”, то дело можно и так повернуть.
Известно, что точки можно складывать и умножать:
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/1.html
(выдержка из той же книги Кокстера)

Если принять, что точки – это фигуры, то получается, что арифметика – это “наука о фигурах” (для определенности будем считать, что мы говорим сейчас об арифметике положительных рациональных чисел).

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение09.07.2009, 09:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
7962
Свободный Художник в сообщении #227473 писал(а):
Дык, … ведь не объектов же! Не объектов!!!
...
то ведь нет там “аксиом точек”. И “аксиом прямых” тоже нет. А вот аксиомы отношений инцидентности имеются:

Ну и что? Это просто особенность традиционного синтаксиса теорий: "объекты" соответствуют предметным переменным и константам, а аксиомы, естественно, представляют собой высказывания, т.е. логические формулы (без свободных переменных). Поскольку "отношения" и "свойства" - это как раз формулы, то понятно, что высказывания записываются именно через них.

Например, в указанном мной Выше примере "недоарифметики" выражения вида $x \in \mathbb{N}$ можно понимать как "свойство" объекта $x$ "являться натуральным числом". Однако, в этой теории самой по себе никаких переменных нет (не определены в синтаксисе), так что можно вообще не говорить об "объектах", о "свойствах" или об "отношениях" - только о "теоремах".

Свободный Художник в сообщении #227473 писал(а):
Если принять, что точки – это фигуры, то получается, что арифметика – это “наука о фигурах” (для определенности будем считать, что мы говорим сейчас об арифметике положительных рациональных чисел).

И зачем Вам нужны эти замены слов? Чтобы сбить с толку пользователей теории? Можно сказать, что любая теория - это "теория о значках", потому что она с формальной точки зрения представляет собой просто набор правил манипулирования значками. Но у теорий обычно есть и какое-то назначение, касающееся её предполагаемых применений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение15.07.2009, 23:15 


20/03/08
421
Минск
Свободный Художник в сообщении #227473 писал(а):
А, вот, если считать, что арифметика – это “наука о числах”, то дело можно и так повернуть.
Известно, что точки можно складывать и умножать:
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/1.html
(выдержка из той же книги Кокстера)

Если принять, что точки – это фигуры, то получается, что арифметика – это “наука о фигурах” (для определенности будем считать, что мы говорим сейчас об арифметике положительных рациональных чисел).

epros в сообщении #227525 писал(а):
И зачем Вам нужны эти замены слов? Чтобы сбить с толку пользователей теории? Можно сказать, что любая теория - это "теория о значках", потому что она с формальной точки зрения представляет собой просто набор правил манипулирования значками. Но у теорий обычно есть и какое-то назначение, касающееся её предполагаемых применений.

Чудно как-то пишите. :)
Разве Вам неведомо, что в математике изучаются системы объектов с точностью до изоморфизма? Что как раз-то и предполагает, что “объекты” (т. е. элементы множества-носителя системы) – это ничто, тогда как отношения между объектами – это все.
Именно отношения между объектами характеризуются в аксиоматике, а не сами объекты.
В этом суть гильбертовского подхода к аксиоматике геометрии и в этом суть цитировавшихся выше пассажей Гудстейна, сравнившего арифметику с шахматной игрой.

При изоморфных отображениях сохраняется общая структура системы, а не ее объекты. Так что числа вполне могут стать фигурами, лишь бы отношения между ними сохранились.
epros в сообщении #225720 писал(а):
Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
Получается, что все дискуссии о “природе чисел” бессмыссленны.
Аналогично можно сказать, что геометрия – это наука не о фигурах, а о свойствах отношений инцидентности и теория множеств – не о множествах а об отношении принадлежности.

Всё "хвилософствуете"? :)

Не “хвилософствую” я, а просто такова математическая се ля ви. :)

-- Чт июл 16, 2009 00:58:15 --

Свободный Художник в сообщении #227391 писал(а):
Как?! Вы ничего не слышали о столах, стульях и пивных кружках? :shock:
Цитата:
Сначала он объяснил своей аудитории, что прямая, точка и плоскость, как их определял Евклид, не имеют математического смысла. Они появляются только в связи с теми аксиомами, которые для них выбираются. Другими словами, назвать ли их точками, прямыми, плоскостями или же столами, стульями, пивными кружками, это будут те объекты, для которых справедливы соотношения, выражаемые аксиомами. В некотором смысле это похоже на то, как значение неизвестного слова проясняется по мере использования его в различных контекстах. Каждое дополнительное предложение, в котором оно участвует, исключает некоторые значения, которые могли бы иметь смысл в предыдущих предложениях.

http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

Да, да… Конечно…. Очень правильное наблюдение. Не зря же я писал о сепульках: :D
Свободный Художник в сообщении #225556 писал(а):
Что изучается в арифметике: числа или операции над ними?
Ведь кажется, что именно операции (точнее, свойства этих операций, например, коммутативность и т. д.).

А сами по себе числа представляют собой нечто совершенно неопределенное и неопределимое, нечто, что без всякого ущерба может быть названо “сепульками”.

Таким образом, уважаемый epros, объекты (в частности, числа) – это всего лишь только сепульки. А вовсе не “строки вертикальных черточек”, как Вам почему-то кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Так о чем арифметика?
Сообщение16.07.2009, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
7962
Уважаемый Свободный Художник! Мы с Вами ходим уже по третьему или четвёртому кругу. Я уже сказал Вам, что если Вы хотите рассматривать "объекты" абстрактно, т.е. исключительно с точки зрения до предела урезанной аксиоматики, то пожалуйста. Но тогда не надо удивляться, что такой объект оказывается "сепулькой" и
epros в сообщении #225720 писал(а):
дискуссии о его "природе" бессмысленны, поскольку именно её-то Вы и исключили, отказавшись обсуждать применения.

Но это не означает, что у математических теорий в принципе и не должно быть применений, с позиций которых можно было бы судить о том "для чего эта теория" и "что именно она описывает". Некоторые вот считают, что только в применениях и состоит ценность теорий.

Кстати, касательно "чёрточек": Тут в параллельной ветке, обсуждая возможности дать определение тому, что понятие "определено в теории", мы предварительно пришли к выводу, что в теориях, содержащих константы, могут быть определены операции и отношения на вполне конкретных объектах, представляющих собой замкнутые термы теории. Например, для арифметики Пеано таковыми объектами являются строки $0$, $S(0)$, $S(S(0))$, ...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group