Анализ возможности доказательства гипотезы Гольдбаха.

[Батороев]

Сильная гипотеза Гольдбаха формулируется:
"Любое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел".

Как мне кажется, при доказательстве гипотезы Гольдбаха достаточно доказать, что любое натуральное четное число, не являющееся числом вида $N = 2p$ (где $p$ - простое число), можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Числа же вида $N = 2p$ автоматически, как бы по определению, подпадают под действие гипотезы Гольдбаха. Ведь в формулировке гипотезы нет слова "разных" (простых чисел).
Верно ли я понимаю смысл условия гипотезы?


p.s. Если правильно, то возможно еще более сильное предположение:
"Любое простое число можно представить в виде среднего арифметического двух различных простых чисел".

[Батороев]

Чтоб не мелочиться ( ) попытаюсь доказать это последнее утверждение:
" Любое простое число можно представить в виде среднего арифметического двух разных простых чисел".
Перефразируем это утверждение:
" Любое из чисел вида $2P$ (где $P$ - простое число) можно представить в виде суммы двух разных простых чисел".

Введем функцию:
Функция $\Psi(p_i, p_j)$ - это отношение количества чисел, взаимнопростых нечетным простым числам от $p_i$ до $p_j$, к общему числу членов арифметической прогрессии.

Тезис 4.
Функцию $ \Psi $ с некоторой погрешностью $\varepsilon $ можно описать формулой:
$ \Psi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-1}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-1}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-1}{p_j} $, (1)
где $i, j$ - порядковые номера чисел в ряду нечетных простых.
При этом $\varepsilon $ имеет отрицательное значение, т.е. функция, вычисленная по формуле (1), не превосходит действительное значение.
____________________________________

Допустим, имеется число $N=2P$, где $P$ - простое число.
В натуральном ряду чисел имеем $m_2=\frac{N}{2}$ нечетных чисел.
Среди этих нечетных чисел можно выделить три арифметические прогрессии (далее называемые рядами) с шагом $6$:
1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73...
3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45, 51, 57, 63, 69, 75...
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77...

В виду того, что число $N$ может иметь остаток по основанию $3$, отличный от $0$, то два из этих трех рядов образуют пары, чьи числа в сумме будут давать $N$. Причем, одно из двух слагаемых обязательно будет кратно $3$, т.е. будет составным.
Тогда обратим свое внимание только на оставшийся третий ряд (к примеру, ряд 5, 11, 17, 23...).
Назовем его остаточный ряд.
Этот ряд свободен от чисел, кратных трем, т.е. все числа ряда взаимнопросты числу $3$.
Количество членов этого ряда $ m_3=\dfrac{N}{6} $.
Члены этого ряда образуют пары чисел, которые в сумме дают число $N$.
Для того, чтобы среди указанных пар была хотя бы одна пара простых чисел, необходимо, чтобы ее функция $ \Psi (p_i, p_j) > \frac{1}{2} $, при этом $p_i=5$, а число $N<p_{j+1}^2 $.
Если число $N<7^2$, то считаем функцию:
$ \Psi (5, 5) = \frac{4}{5} $, что превосходит значение $ \frac {1}{2} $.
Если $N<11^2$, то $ \Psi (5, 7) = \frac{4}{5}\cdot \frac {6}{7} = 0,69 $
и т.д. .......................
до $ N < 23^2 $, где $ \Psi (5, 19) >\frac {1}{2} $.
Следовательно, для чисел, не превышающих $23^2 = 529 $, предположение доказано.

Для того, чтобы рассмотреть выполнение для бОльших чисел, опять вернемся к рассматриваемому остаточному ряду.
В этом ряду можно выделить $5 $ рядов (арифметических прогрессий) с шагом $30$:
5, 35, 65, 95, 125, 155, 185, 215, 245, 275, 305...
11, 41, 71, 101, 131, 161, 191, 221, 251, 281, 311...
17, 47, 77, 107, 137, 167, 197, 227, 257, 287, 317...
23, 53, 83, 113, 143, 173, 203, 233, 263, 293, 323...
29, 59, 89, 119, 149, 179, 209, 239, 269, 299, 329...

В виду того, что число $N$ может иметь остаток по основанию $5$, отличный от $0$, то четыре из этих пяти рядов образуют две пары, сумма чисел которых будет равна $N$, остаточный пятый ряд будет свободен от пятерок.

Чтобы далее доказательство плавно не перешло в сказку про белого бычка, отмечу, что для данного ряда
$ \Psi (7, 59)=\frac{6}{7}\cdot\frac{10}{11}\cdot\frac{12}{13}\cdot...\cdot\frac{58}{59}>\frac{1}{2} $; $N<61^2=3721$
И далее
$\Psi (11, 113) > \frac {1}{2} $; $N<127^2 = 16129 $.
..............................................

[sceptic]

Батороев в сообщении #221777 писал(а):

Введем функцию:
Функция $\Psi(p_i, p_j)$ - это отношение количества чисел, взаимнопростых нечетным простым числам от $p_i$ до $p_j$, к общему числу членов арифметической прогрессии.

Уточните, пожалуйста:
а) из какого интервала берутся числа при подсчете "количества чисел, взаимнопростых нечетным простым числам от $p_i$ до $p_j$"?
б) о какой арифметической прогрессии идет речь?
в) что такое "общее число членов арифметической прогрессии"?

[Батороев]

sceptic в сообщении #221837 писал(а):

Батороев в сообщении #221777 писал(а):

Введем функцию:
Функция $\Psi(p_i, p_j)$ - это отношение количества чисел, взаимнопростых нечетным простым числам от $p_i$ до $p_j$, к общему числу членов арифметической прогрессии.

Уточните, пожалуйста:
а) из какого интервала берутся числа при подсчете "количества чисел, взаимнопростых нечетным простым числам от $p_i$ до $p_j$"?
б) о какой арифметической прогрессии идет речь?
в) что такое "общее число членов арифметической прогрессии"?

Весь натуральный ряд чисел можно разбить на отдельные арифметические прогрессии. Их я и рассматриваю.

Если написано, что $N<7^2$, то рассматривается интервал чисел $N$ от $1$ до $48$. Естественно, что все нечетные числа, взаимнопростые $3 $и $5$, на этом интервале будут простыми числами.
Допустим, $N=2\cdot 23=46$.
Среди нечетных чисел выделим три арифметические прогрессии:
$1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43$
$3, 9, 15, 21, 27, 33, 39, 45$
$5, 11, 17, 23, 29, 35, 41$.
Т.к. $ 46\equiv 1\pmod 3 $, то первые два ряда создадут пары слагаемых, которые в сумме дают $N$:
$1+46; 7+39; 13+33; 19+27; 25+21; 31+15; 37+9; 43+3$. В каждой из этих пар есть числа, кратные $3$, т.е. составные (при этом простое число $3$ в паре $43+3$ мною условно не учтено).
Остается третий ряд, члены которого образуют пары между собой: $5+41; 11+35; 17+29; 23+23$ и взаимнопросты $3$. Поэтому достаточно проверить их на взаимную простоту с $5$.
Для того, чтобы среди этих пар была хотя бы одна пара простых необходимо, чтобы $\Psi(5,5) >\frac{1}{2}$, т.е. чтобы количество взаимнопростых с $5$ (соответственно, простых) чисел в этом ряду было больше половины.
В данном примере общее число членов арифметической прогрессии равно $7$.

[sceptic]

Вы хоть обратили внимание на вопросы?

[Батороев]

Внимание на Ваши вопросы обратить - обратил, но не очень понял, что конкретно Вам не понятно.
Попытаюсь ответить пока на первый.
а) Задача состоит в том, чтобы выявить остаточный ряд (арифметическую прогрессию) с числом простых, больших половины. В соответствии с этой задаче и идет выбор $i, j $.

Для чисел $N<3^2$ считать функцию $\Psi$ вообще не требуется.

Для чисел $N<5^2$ можно использовать арифметическую прогрессию из нечетных чисел от $1$ до $23$. Тогда $p_i=p_j=3$.
$ \Psi(3,3) = \frac{2}{3} $.

Для чисел $N<7^2$ можно также использовать арифметическую прогрессию с шагом $2$. Тогда будем иметь арифметическую прогрессию из нечетных чисел от $1$ до $47$. В этом случае $p_i=3; p_j=5$.
$ \Psi(3, 5) = \frac {2}{3}\cdot \frac{4}{5} = 0, 5333...$.
( Для этих же $N<49$ можно рассмотреть и как показано выше арифметическую прогрессию с шагом $6$, т.е. $p_i=p_j=5$ )

Если для чисел $N>7^2$ вновь рассматривать арифметическую прогрессию с шагом $2$, то $p_i=3$; $p_j=7$ и в этом случае $\Psi(3,7)=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot{6}{7} = 0,48 $. Т.е. в такой арифметической прогрессии простых чисел не более половины и доказать наличие пар слагаемых из простых чисел не представляется возможным. Поэтому для рассмотрения переходим к другой арифметической прогрессии - с шагом $2\cdot 3 = 6 $.

Т.е. в величину шага входят простые числа, предшествующие $i$.

[sceptic]

Итак (как я и подозревал), в определение функции $ \Psi(p,q) $ должен входить выбор арифметической прогрессии. Почему вы это явно не указали в своем определении? И опишите внятно алгоритм смены арифметической прогрессии. Не ясно также, как вы выбираете $ p_i, p_j $ (в зависимости от $ N $).

А это что за перл ?

Батороев в сообщении #221863 писал(а):

в величину шага входят простые числа, предшествующие $i$"

Что за $i$?

Советую изменить название темы. Не вводите людей в заблуждение. Доказательством гипотезы Гольдбаха здесь и не пахнет. Предъявлены лишь некие эмпирические наблюдения над малыми числами. Для доказательства чего-либо - маловато будет.

[Батороев]

sceptic в сообщении #221889 писал(а):

Итак (как я и подозревал), в определение функции $ \Psi(p,q) $ должен входить выбор арифметической прогрессии. Почему вы это явно не указали в своем определении?

Функция $\Psi(p_i,p_j) $ вводится для любых арифметических прогрессий.

sceptic в сообщении #221889 писал(а):

И опишите внятно алгоритм смены арифметической прогрессии. Не ясно также, как вы выбираете $ p_i, p_j $ (в зависимости от $ N $).

Проще говоря, берем первое простое нечетное число 3. Считаем функцию $\Psi(3,p_j)$ до некоторого $p_j$, при котором функция становится меньше $\frac{1}{2}$. Делаем вывод, что до числа $N = p_{j+1}^2$ утверждение справедливо.
Следующим шагом, принимаем $p_i=5$ и повторяем все действия.

sceptic в сообщении #221889 писал(а):

А это что за перл ?

Батороев в сообщении #221863 писал(а):

в величину шага входят простые числа, предшествующие $i$"

Что за $i$?

$i$ - порядковый номер наименьшего простого числа, относительно которого вычисляется $ \Psi(p_i;p_j) $.
Шаг арифметической прогрессии в данном рассмотрении равен произведению простых чисел, меньших $p_i$.

sceptic в сообщении #221889 писал(а):

Советую изменить название темы. Не вводите людей в заблуждение. Доказательством гипотезы Гольдбаха здесь и не пахнет. Предъявлены лишь некие эмпирические наблюдения над малыми числами. Для доказательства чего-либо - маловато будет.

Йесть, сэр!

[sceptic]

Батороев в сообщении #221913 писал(а):

Функция $\Psi(p_i,p_j) $ вводится для любых арифметических прогрессий.

Простейшие подсчеты показывают, что значение функции $\Psi(p_i,p_j) $ (при фиксированных $p_i, p_j$) сильно зависит от выбора арифметической прогрессии. Оценка же для $\Psi(p_i,p_j) $ в Тезисе 4 у вас никак не связана с выбором прогресии. Поэтому погрешность $\varepsilon $ для этой оценки будет "гулять" в значительных пределах. А ведь при выборе ответа на вопрос о наличии пар слагаемых из простых чисел для числа $N$ (в выбираемой арифметической прогрессии) вы опираетесь на эту оценку. Но вы не удосужились дать анализ погрешности оценки (отделавшись замечание о её отрицательном знаке - но и это не доказали ), чтобы обосновать правомерность использования этой оценки.

Поэтому прошу предъявить этот анализ - без него считаю бессмысленным обсуждать предложенный вами подход к решению проблемы Гольдбаха.

Батороев в [url=http://dxdy.ru/post221863.html#p221863[/url] писал(а):

. . . простые числа, предшествующие $i$

и

Батороев в сообщении #221913 писал(а):

... простых чисел, меньших $p_i$

- чуствуете разницу?

[Батороев]

При количестве членов арифметической прогрессии, на порядок превышающих $p_j^2$, расчет $\Psi(p_i, p_j)$ по формуле (1), на мой взгляд, достаточно точный и, как мне кажется, погрешность $\varepsilon$ при этом находится близко отношению $ j-i$ к числу членов прогрессии.
Но предлагаю отложить "на потом" рассмотрение данной функции.

Сейчас хочу предложить несколько иной ход рассуждений.
Итак, согласно гипотезе Гольдбаха утверждается, что любое четное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Таким образом, четные числа вида $N=2P$, где $ P $ - простое число автоматически подпадают под действие гипотезы. Следовательно, рассматривать их нет смысла.

Если анализировать остальные четные числа, то наибольшие из меньших простых множителей могут содержать четные числа вида $N=2PQ$, где $P<Q$ - простые числа.
Таким образом, можно записать $ P < \sqrt {\frac {N}{2}}$. Необходимо отметить, что при этом среди пар нечетных чисел, которые в сумме дадут число $N$, будет $ \dfrac {1}{2P} $ пар, невзаимнопростых числу $N$.
Например, $N=2\cdot17\cdot19 = 646 $
Теперь рассмотрим структуру чисел, непревосходящих $N$.
Половина этих чисел - нечетные.
$ \frac{N}{2}=\frac {646}{2}=323 $
Третья часть этих чисел кратна трем.
$ \frac{N}{2\cdot {3}}= \frac {646}{6}= 107 $
Эти числа образуют арифметическую прогрессию (далее называемая - ряд).
3, 9, 15, 21, 27, 33, .... 645.
Среди оставшихся чисел также можно выделить две параллельные арифметические прогрессии, имеющие остатки по основанию 3.
1, 7, 13, 19, 25, ... 643 $ 1 \pmod 3 $
5, 11, 17, 23, 29, ... 641 $ 2 \pmod 3 $
Т.к. число $N$ - взаимнопростое трем, то числа ряда с остатками $ 0 \pmod 3 $ образует пары с другим рядом. И эти пары уже не подходят под условие гипотезы (парой с простым 3 пожертвуем).
3+643, 9+637, 15+631, ....645+1.

Нечетные числа оставшегося третьего ряда образуют пары между собой.
Все числа этих пар - взаимнопросты числу 3.
5+641, 11+635, 17+ 629...

Последний ряд можно разбить на 5 рядов, каждый по $ \dfrac {1}{2\cdot 3\cdot 5}N $ членов прогрессии.
5, 35, 65, 95, ... 615, 635.
11, 41, 71, 101, ... 611, 641.
17, 47, 77, 107, ... 587, 617.
23, 53, 83, 113, ... 593, 623.
29, 59, 89, 119, ... 599, 629.

Из этих пяти рядов два ряда образуют пары чисел, одно из которых будет кратно 5. Эти два ряда исключим из рассмотрения.
5+641, 35+611, ...
Еще два ряда образуют пары чисел, взаимнопростых 3 и 5.
17+29, 47+ 599, ...
Оставшийся ряд образует пары между своими членами.
23+623, 53+593, ...
Таким образом имеем $\ \dfrac {3}{2\cdot 3\cdot 5}N $ чисел, которые образуют пары, взаимнопростые 3 и 5.

Рассуждая аналогично можно подсчитать количество чисел, которые образуют пары, взаимнопростые 3, 5, 7.
$\dfrac {2\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7}N $

Если далее продолжить счет не верно, то получим:
$ \dfrac { 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13...}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot 15...}N $ и придем к числу $ \dfrac {1}{2P} $, что говорит о том, что ни одна пара не будет состоять из простых чисел.

Но мы пользоваться таким "гамбургским счетом" не будем, а пойдем по верному пути:
$ \dfrac { 9\cdot 15\cdot 21\cdot 27\cdot 35\cdot 39\cdot 45...}{2\cdot 7\cdot 13\cdot 19\cdot 23\cdot 31\cdot 37\cdot 43\cdot 47...}N $.
.....................................
Домашние просят освободить компьютер.

[sceptic]

Батороев в сообщении #223544 писал(а):

При количестве членов арифметической прогрессии, на порядок превышающих $p_j^2$, расчет $\Psi(p_i, p_j)$ по формуле (1), на мой взгляд, достаточно точный и, как мне кажется, погрешность $\varepsilon$ при этом находится близко отношению $ j-i$ к числу членов прогрессии.
Но предлагаю отложить "на потом" рассмотрение данной функции.

Хорошо.

Батороев в сообщении #223544 писал(а):

Если анализировать остальные четные числа, то наибольшие из меньших простых множителей могут содержать четные числа вида $N=2PQ$, где $P<Q$ - простые числа.
Таким образом, можно записать $ P < \sqrt {\frac {N}{2}}$. Необходимо отметить, что при этом среди пар нечетных чисел, которые в сумме дадут число $N$, будет $ \dfrac {1}{2P} $ пар, невзаимнопростых числу $N$.
Например, $N=2\cdot17\cdot19 = 646 $

Здесь у вас ошибка. Количество пар нечетных чисел, не взаимно простых с $N$ и с суммой, равной $N$, есть $\dfrac {P+Q}{2}$. Согласитесь - это далеко от $ \dfrac {N}{2P} $ (думю, вы хотели написать эту дробь, а не $ \dfrac {1}{2P} $, что выглядит и вовсе нелепо).

Дальнешее пока комментировать воздержусь - дождусь конца рассуждения.

[Батороев]

Таким образом имеем:

Есть функция
$ \Psi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-1}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-1}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-1}{p_j}\cdot N $, (1)
которая при ее умножении на $N$ считает, пусть и с некоторой погрешностью, количество взаимнопростых чисел с простыми числами от $p_i$ до $p_j$.

Есть функция
$\Phi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-2}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-2}{p_j} \cdot N$, (2)
которая при ее умножении на $N$ считает, также с некоторой погрешностью, количество взаимнопростых чисел с простыми числами от $p_i$ до $p_j$, которые создают пары, чья сумма равна $N$.

Если для чисел вида $N=2P$ принять $i=2$, т.е. $p_i=3$, а $p_j$ - наибольшее простое число, непревышающее $ \sqrt{N}$,
то $ \Psi (p_i, p_j) $ отражает количество простых чисел до $N$ за исключением простых от $3$ до $p_j$, а $ \Phi (p_i, p_j) $ - количество простых из обозначенных, которые создадут указанные выше пары.

Если обозначить фактическое число простых чисел, способных создать пары, дающие в сумме $N$, через $m(N)$, то с некоторой погрешностью можно записать:
$ \dfrac {\Phi (p_i, p_j)}{\Psi (p_i, p_j)} = \dfrac {m(N)}{\pi(N)} = \dfrac{p_i-2}{p_i-1}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}-1}...\dfrac{p_j-2}{p_j-1} $,
(где $\pi(N)$ - фактическое число простых чисел, непревышающих $N$)
или
$m(N) =\pi(N)\cdot \dfrac{p_i-2}{p_i-1}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}-1}...\dfrac{p_j-2}{p_j-1} $

Таким образом, чтобы для любого четного $N$ была хотя бы одна пара, необходимо, чтобы с учетом всех погрешностей выполнялось условие:
$ \pi(N)\cdot \dfrac{p_i-2}{p_i-1}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}-1}...\dfrac{p_j-2}{p_j-1}> 4 $ (3)
(4 взято с учетом того, что существует пара 1+ (N-1) ).

Для четных чисел вида, отличного от $N=2P$, неравенство (3) усиливается, за счет того, что в числителе будет не $q-2$, а $q-1$, где $q$ - простые делители $N$, непревышающие $ \sqrt{N}$.

В этих раскладках не учтены пары, в которых могут участвовать простые от $3$ до $p_j$.

[Батороев]

В принципе, на основе данных рассуждений можно рассмотреть и другой вопрос.
Рассмотрим натуральный ряд нечетных чисел.
Исключая из него числа, кратные трем, получаем две параллельные арифметические прогрессии:
5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71, 77...
7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79...

Каждому числу, кратному 5, в этих рядах пару составляет число, взаимнопростое 5.
Следовательно, $\dfrac{3}{5}=\dfrac {(5-2)}{5} $ чисел в каждом из рядов, взаимнопростых 5, имеет в паре число, взаимнопростое 5, из другого ряда (числа 1)

Среди этих чисел каждому числу, кратному 7, пару составляет число, взаимнопростое 7.
Следовательно, среди чисел 1, взаимнопростых 7
$\dfrac{5}{7}=\dfrac {(7-2)}{7} $ чисел
имеет в паре число, взаимнопростое 7.

Продолжая такие рассуждения, опять приходим к функции
$\Phi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-2}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-2}{p_j} $. (2)

Эта функция при ее умножении на $N$ в данном расмотрении с некоторой погрешностью отражает количество чисел до $N$, участвующих в парах, оба члена которых взаимнопросты простым числам до $p_j$.
Следовательно, при $p_j=\sqrt N$ выражение:
$ \Phi (p_i, p_j)\cdot N $ отражает число простых чисел, участвующих в парах простых близнецов.
Применяя функцию
$ \Psi (p_i, p_j) = \dfrac{p_i-1}{p_i}\cdot\dfrac{p_{i+1}-1}{p_{i+1}}...\dfrac{p_j-1}{p_j}\cdot N $, (1)
при $p_j=\sqrt N$ при ее умножении на $N$ с некоторой погрешностью получаем количество простых чисел, непревышающих $N$.

Если обозначить фактическое количество простых чисел в парах простых близнецов в пределах числа $N$ через $s(N)$, то с некоторой погрешностью можно записать:
$s(N) = N\cdot \dfrac {\Phi (p_i, p_j)}{\Psi (p_i, p_j)} = \dfrac{p_i-2}{p_i-1}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}-1}...\dfrac{p_j-2}{p_j-1} $ (4)

Допустим, имеется пара простых-близнецов $p_{j} = p_{j-1}+2$.
Рассматривая два числа
$ N_1 = p_{j-1}^2=(p_j-2)^2$
и $ N_ 2= p_j^2$
по выражению (4) можно посчитать разность простых чисел, участвующих в парах близнецов в пределах каждого из них:
$s(N_1) =N_1\cdot \dfrac{p_i-2}{p_i-1}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}-1}...\dfrac{p_{j-1}-2}{p_{j-1}-1} $
$s(N_2) =N_2\cdot \dfrac{p_i-2}{p_i-1}\cdot\dfrac{p_{i+1}-2}{p_{i+1}-1}...\dfrac{p_{j-1}-2}{p_{j-1}-1}\cdot\dfrac{p_j-2}{p_j-1} $
откуда получаем:
$\dfrac{s(N_2)}{s(N_1)}= \dfrac{p_j-2}{p_j-1}\cdot \dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{p_j-2}{p_j-1}\cdot\dfrac {p_j^2}{(p_j-2)^2}= \dfrac{p_j^2}{(p_j-1)(p_j-2)}>1$

[Батороев]

Оценка погрешности функции $\Psi(p_i, p_j)$, рассчитанной по формуле (1)
Оценить погрешность формулы можно, приведя к расчету простых чисел.
Рассмотрим число $N = p_{j+1}^2$.
Тогда число нечетных простых чисел до $N$ можно подсчитать по формуле:
$ \pi(N) = p_{j+1}^2\cdot\Psi(3, p_j) + j - 1 $ (5)
Слагаемое $j$ появляется в виду того, что по формуле (1) простые от $p_i$ до $p_j$ не учитывались.
$ -1$ - исключает из рассмотрения число 1, не являющееся простым.

Результаты сведем в таблицу.
\small \begin{tabular}{|p{1.8cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Число N & Фактическое число нечетных простых & Количество нечетных простых по формуле & Погрешность & \\ \hline 25 & 8 & 8,333333333 & 0,333333333 & \\ \hline 49 & 14 & 14,06666667 & 0,066666667 & \\ \hline 121 & 29 & 29,65714286 & 0,657142857 & \\ \hline 169 & 38 & 38,11688312 & 0,116883117& \\ \hline 289 & 60 & 59,43256743 &-0,567432567& \\ \hline 361 & 71 & 70,16965388 &-0,830346124 & \\ \hline 529 & 98 & 96,47170786 &-1,528292141& \\ \hline 841 & 145 & 144,5776723 &-0,422327706 & \\ \hline 961 & 161 & 159,7872814 &-1,212718599 & \\ \hline 1369 & 218 & 218,2545953 &0,254595252 & \\ \hline 1681 & 262 & 260 &-2 & \\ \hline 1849 & 282 & 279,2781966 &-2,721803426 & \\ \hline 2209 & 328 & 325,0581524 &-2,941847615 & \\ \hline 2809 & 408 & 402,6197962 &-5,380203786 & \\ \hline 3481 & 486 & 487,7189663 &1,718966343 & \\ \hline 3721 & 518 & 512,7971452 &-5,202854828 & \\ \hline 4489 & 608 & 606,6956225 &-1,304377544 & \\ \hline 5041 & 674 & 670,4313654 &-3,568634557 & \\ \hline 5329 & 704 & 699,0338387 &-4,966161277 & \\ \hline 6241 & 810 & 805,6594969 &-4,340503119 & \\ \hline 6889 & 885 & 877,3463506 &-7,653649361 & \\ \hline 7921 & 999 & 994,9034227 &-4,096577292 & \\ \hline 9409 & 1162 & 1165,857734 &3,85773385 & \\ \hline 10201 & 1251 & 1250,35668 &-0,643319865 & \\ \hline 10609 & 1293 & 1287,808054 &-5,191945892 & \\ \hline 11449 & 1380 & 1375,632425 &-4,367574911 & \\ \hline 11881 & 1422 & 1414,496214 &-7,50378615 & \\ \hline 12769 & 1522 & 1505,583476 &-16,41652372 & \\ \hline 16129 & 1876 & 1879,126008 &3,126007995 & \\ \hline 17161 & 1975 & 1983,060276 &8,060276483 & \\ \hline 18769 & 2140 & 2150,843174 &10,84317441 & \\ \hline 19321 & 2189 & 2198,281697 &9,281696565 & \\ \hline 22201 & 2488 & 2504,421922 &10,84317441 & \\ \hline 22801 & 2546 & 2555,19924 &9,199239758 & \\ \hline 24649 & 2729 & 2742,564066 &13,56406586 & \\ \hline \end{tabular}

Естественно, что на основании данных расчетов трудно судить о погрешности формулы (1) при более значимых величинах, но мои технические возможности на этом исчерпываются.
* Фактическое число нечетных простых считалось автором темы "вручную", поэтому возможны ошибки.

[Батороев]

Оценка погрешности функции $ \Phi (5, p_j) $ применительно к расчету количества пар простых-близнецов.

Для расчета принимаем $N=p_{j+1}^2$.
Рассчитываем количество пар простых-близнецов по формуле:
$ \pi_2(N) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{N+2}{3} \cdot \Phi (5, p_j) = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{N+2}{3}\cdot \dfrac {(5-2)(7-2)(11-2)(13-2)....(p_j-2)}{5\cdot 7\cdot 11\cdot13 \cdot ...\cdot p_j} $
Полученные результаты сводим в таблицу:
\small \begin{tabular}{|p{1.8cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|p{2cm}|} \hline Число N & Фактическое число пар простых-близнецов & Количество пар простых-близнецов по формуле & Погрешность & \\ \hline 25 & 3 & 2,7 & -0,3 & \\ \hline 49 & 5 & 3,642857143 & -1,357142857 & \\ \hline 121 & 9 & 7,188311688 & -1,811688312 & \\ \hline 169 & 11 & 8,456043956 & -2,543956044& \\ \hline 289 & 18 & 12,69715579 &-5,302844215& \\ \hline 361 & 20 & 14,17148641 &-5,828513592 & \\ \hline 529 & 24 & 18,92756557 &-5,072434431 & \\ \hline 841 & 32 & 27,97651276 &-4,023487244 & \\ \hline 961 & 34 & 29,89706776 &-4,102932242 & \\ \hline 1369 & 45 & 40,2629956 &-4,737004395 & \\ \hline 1681 & 52 & 47,01468116 &--4,985318843 & \\ \hline 1849 & 55 & 49,30275626 &-5,697243742 & \\ \hline 2209 & 66 & 56,38559645 &-9,614403555 & \\ \hline 2809 & 79 & 68,98181043 &-10,01818957 & \\ \hline 3481 & 92 & 82,57528117 &-9,424718828 & \\ \hline 3721 & 97 & 85,37128129 &-11,62871871 & \\ \hline 4489 & 113 & 99,90802465 &-13,09197535 & \\ \hline 5041 & 122 & 109,0277444 & -12,97225558 & \\ \hline 5329 & 127 & 112,0965458 & -14,90345415 & \\ \hline 6241 & 141 & 127,9500667 & -13,04993328 & \\ \hline 6889 & 153 & 137,8276522 & -15,17234784 & \\ \hline 7921 & 167 & 154,9077016 & -12,09229843 & \\ \hline 9409 & 189 & 180,2067269 & -8,79327308 & \\ \hline 10201 & 205 & 191,5035957 & -13,49640431 & \\ \hline 10609 & 212 & 195,2942739 &-16,70572615 & \\ \hline 11449 & 223 & 206,8150461 & -16,18495386 & \\ \hline 11881 & 229 & 210,67941 & -18,32059002 & \\ \hline 12769 & 240 & 222,4156981 & -17,5843019 & \\ \hline 16129 & 282 & 276,5082635 & -5,491736477 & \\ \hline 17161 & 294 & 289,7066344 & -4,293365644 & \\ \hline 18769 & 321 & 312,223688 & -8,776312003 & \\ \hline 19321 & 327 & 316,7807337 & -10,21926626 & \\ \hline ... & ...& ... & ... & \\ \hline 97969 & 1200 & 1205,611474 & 5,611474469 & \\ \hline 100489 & 1224 & 1228,820057 & 4,820056887 & \\ \hline \end{tabular}

Втайне надеялся, что погрешность всегда будет отрицательной, но в некоторый момент она "перевалила" через нуль и стала положительной. Далее проверить нет технической возможности.
Приведенные расчеты показывают, что оценка по функции $ \Phi $ достаточно близка к реальному, а относительная погрешность достаточно мала.

Вместе с тем, если $ \pi_2 (N) $, рассчитанную по приведенной формуле, рассматривать в виде функции, то видно, что она монотонно возрастающая и по своей величине не ограничена.
Доказательством данного факта может служить ее сравнение с другой монотонно возрастающей функцией, а именно:
$ \dfrac{N+2}{3}\cdot\Phi (5, p_j) = \dfrac{N+2}{3}\cdot \dfrac {3\cdot 5\cdot 9\cdot ...\cdot {p_j-2}}{5\cdot 7\cdot 11\cdot...\cdot p_j} > \dfrac{N+2}{3}\cdot \dfrac {3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11\cdot 13\cdot ...\cdot {(p_{j+1}-2)}}{5\cdot 7\cdot 9\cdot11\cdot 13\cdot 15\cdot ...\cdot p_{j+1}} > \dfrac {N}{p_{j+1}} = \sqrt N $.
Например, для чисел $N$ порядка $10^{10}$ левая часть неравенства более, чем в $500$ раз превышает правую. Относительная же погрешность расчета по приведенной формуле, как мне видится, на всей числовой оси не может превышать нескольких процентов и полагаю, что вполне реально сделать предположение, что фактическое число пар простых-близнецов:

$ \pi_2(N)> \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{N+2}{3} \cdot \Phi (5, p_j) $.

И уж тем более, - что для $N \ge 289$:

$ \pi_2(N) > \sqrt N $.