Помогите посчитать интегралы

[rabbitjam]

Здравствуйте!
Помогите пожалуйста посчитать несколько интегралов. Используется для поиска коэффициентов при разложения интеграла с ядром типа дельта-функции.

\[\int\limits_{ - \infty }^{ - \frac{2} {h}} {\frac{{{e^{ - \alpha {h^2}{x^2}}}}} {{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\]

,

\[ - 2 < x < 2\]

,

\[0 < h < 1\]

,

\[\alpha > 1\]

\[\int\limits_{ - \infty }^{ - \frac{2} {h}} {\frac{{{e^{ - \alpha {h^2}{x^2}}}{x^2}}} {{\sqrt {{x^2} + 1} }}} dx\]

,

\[ - 2 < x < 2\]

,

\[0 < h < 1\]

,

\[\alpha > 1\]

\[\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x}} {{\sqrt {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {h^2}} }}} dx\]

,

\[ - 1 < x < 1\]

,

\[ - 1 < y < 1\]

,

\[0 < h < 1\]

буду очень благодарен, потому что сам уже несколько недель бьюсь над ними.

[Полосин]

Что значит "посчитать"? Эти интегралы не берутся в элементарных функциях и, в лучшем случае, выражаются через специальные функции.

[rabbitjam]

Ну хотя бы выразить через специальные функции. Первые два интеграла мне просто нужно показать, что они малы и их можно не учитывать. А в последнем нужно получить правую часть для дальнейшего решения интегрального уравнения и сравнения полученного результата с точным решением (синус)

[Полосин]

Малы - в каком смысле? При $h\rightarrow0$? И что значит "нужно получить правую часть"? Пожалуйста, сформулируйте задачу полностью и корректно.

[rabbitjam]

У меня есть интегральное уравнение первого рода с ядром типа дельта-функции, есть метод асимптотического разложения интеграла. Цель - разложить интеграл до дифференциалов второго порядка и решить дифференциальное уравнение и сравнить полученный результат с точным решением.

\[\int\limits_{ - 1}^1 {K(x - y,h)\varphi (x)dx = f(x)} ; - 1 < x < 1, - 1 < y < 1,h \to 0\]

В моем случае берется ядро :

\[K = \frac{1} {{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }} = \frac{1} {h}\omega \left( {\frac{{x - y}} {h}} \right)\]

\[\omega (\xi ) = \frac{1} {{\sqrt {{\xi ^2} + 1} }}\]

Коэффициенты разложения интеграла определаются формулами:

\[{a_k} = \overline {\int\limits_{ - \infty }^\infty {} } {\xi ^k}{\omega _k}(\xi )d\xi \]

, где черта над интегралом указывает на то, что интеграл берется в смысле главного значения,

\[\omega (\xi ) = \frac{{{q_2}}} {{{\xi ^2}}} + \frac{{{q_3}}} {{{\xi ^3}}} + ... + \frac{{{q_k}}} {{{\xi ^k}}} + {\omega _k}(\xi )\]

\[\mathop {\lim }\limits_{\xi \to \infty } {\xi ^k}{\omega _k}(\xi ) = 0\]

Но в этом случае коэффициенты

\[{a_k}\]

получаются бесконечными, поэтому ядро

\[K\]

преобразуем в ядро

\[{K_1} = \left\{ \begin{gathered} \frac{1} {{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }}, - 2 \leqslant x - y \leqslant 2 \hfill \\ \frac{{{e^{ - \alpha ({{(x - y)}^2} - 4)}}}} {{\sqrt {{{(x - y)}^2} + {h^2}} }},x - y \leqslant - 2,x - y \geqslant 2,\alpha > 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Собственно из этого ядра и получаются первые два интеграла, которые я писал выше.
Третий интеграл - это поиск правой части

\[{f(x)}\]

для функции

\[\sin x\]

[Полосин]

Ни $K$, ни $K_1$ не являются ядрами типа дельта-функции: $\int\limits_R\omega(\xi)d\xi=+\infty$, $\int\limits_{-2/h}^{2/h}\omega(\xi)d\xi\rightarrow+\infty$, даже в смысле главного значения. Если $h\rightarrow0$, то левая часть не будет ограниченной ни для какой фиксированной (т.е. не зависящей от $h$) гёльдеровой функции, кроме тождественного нуля. Откуда взялось такое уравнение?

[Eiktyrnir]

Уважаемые математики!
Вновь обращаюсь с просьбой помочь решить (разобраться) с одним интересным интегралом. Непрошу решить, прошу помочь. У кого какие есть соображения?! Поделитесь. Буду признателен!

\[\int {\frac{dx} {{\sqrt {x}}- {^{4}\sqrt {x+1}}} \]

Что пробывал?!
Пытался избавиться от "нехорошего" корня 4-й степени следующей подстановкой
^{4}\sqrt {x+1}=t
получил вот такое

\[\int {\frac{4t^{3}dt} {{\sqrt {t^{4}-1}}- t} \]

Дальше пробывал и так
\sqrt {t^{4}-1}=z
получили "от чего ушли к тому пришли"

\[\int {\frac{2zdz} {z-{^{4}\sqrt {z^{2}+1}}} \]

Вернулся к интегралу от переменной t
Попробывал так t=cos{z}
Но "хрен редьки не слаще"

\[\int {\frac{cos^{3}{z}sin{z}} {{\sqrt {(cos^{2}{z}-1)(cos^{2}{z}+1)}-cos{z}}} dz\]

Уважаемые математики направьте в "нужное русло" пожалуйста.

[Полосин]

$x=s^2-1$:

$$ I=\int\frac{2sds}{\sqrt{s^2-1}-\sqrt{s}}=\int\frac{2s(\sqrt{s^2-1}+\sqrt{s})ds}{s^2-s-1}=I_1+I_2, $$

$$ I_1=\int\frac{2(s^3-s)ds}{\sqrt{s^2-1}(s^2-s-1)}, I_2=(s=t^2)=\int\frac{4t^4dt}{t^4-t^2-1}. $$

Последние интегралы вычисляются стандартно.

[Eiktyrnir]

Полосин писал(а):

$x=s^2-1$:

$$ I=\int\frac{2sds}{\sqrt{s^2-1}-\sqrt{s}}=\int\frac{2s(\sqrt{s^2-1}+\sqrt{s})ds}{s^2-s-1}=I_1+I_2, $$

$$ I_1=\int\frac{2(s^3-s)ds}{\sqrt{s^2-1}(s^2-s-1)}, I_2=(s=t^2)=\int\frac{4t^4dt}{t^4-t^2-1}. $$

Последние интегралы вычисляются стандартно.

Огромное вам спасибо. А можно еще уточнить. Вот интеграл I_2 я взял без особых проблем. Но вот с I_1 кручу верчу - неполучается. Могли бы еще поделиться своим очень ценным опытом - дать еще одну маленькую подсказку в каком направлении двигаться относительно интеграла I_1? Заранее премного благодарен.

С уважением, А.А.Чебаков.

[ewert]

Если не крутиться и не вертеться, то можно заменить эс единицей, делённой на косинус. Получится рационально-тригонометрическое выражение, сводящееся к рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой (через тангенс половинного аргумента).

[Eiktyrnir]

ewert писал(а):

Если не крутиться и не вертеться, то можно заменить эс единицей, делённой на косинус. Получится рационально-тригонометрическое выражение, сводящееся к рациональной дроби универсальной тригонометрической подстановкой (через тангенс половинного аргумента).

ОГРОМНОЕ ВАМ СПАСИБО! Я все-таки взял этот интеграл при помощи вас и Полосина. Выражаю вам и Полосину огромную признательность и благодарность.

[GAA]

Вопросы Kalbas и ответы на них выделены в отдельную тему (в связи с перемещением в Карантин).