Нужна формула для ортогонального вектора

[TOTAL]

Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

[sergey1]

(-y,x,0)
Это то, что надо?

[TOTAL]

TOTAL писал(а):

Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

Нет, не выполняется это требование.

[Александр Т.]

TOTAL писал(а):

Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

$a=y\zeta-z\eta$
$b=-z\xi+x\zeta$
$c=x\eta-y\xi$
где $(\xi, \eta, \zeta)$ - произвольная тройка чисел такая, что $\xi^2+\eta^2+\zeta^2\ne0$, и не существует такого числа $k$, что
$x=k\xi$
$y=k\eta$
$z=k\zeta$
Чтобы гарантировать выполнение условий для тройки $(\xi, \eta, \zeta)$ без использования условных операторов, можно, например, выбрать
$\xi=x+4$
$\eta=2y+5$
$\zeta=3z+6$

Добавлено:
Увидел, что этот выбор не гарантирует выполнение условий: существует единственный вектор $(x, y, z)$, для которого при этом выборе не выполняется условие $\xi^2+\eta^2+\zeta^2\ne0$.

Пока мне не удалось придумать такой выбор тройки $(\xi, \eta, \zeta)$, чтобы выполнялись условия для нее, и при ее вычислении не использовались условные операторы (включая проверку на ноль). Начал уже сомневаться в том, что это возможно.

Добавление 2.
Как уже отметил ниже AD, задача сводится к тому, чтобы найти такую тройку функций $(\xi(x,y,z), \eta(x,y,z), \zeta(x,y,z))$, чтобы система трех уравнений относительно четырех переменных $x,y,z,k$
\begin{equation*} \begin{cases} \xi(x,y,z)=kx\\ \eta(x,y,z)=ky\\ \zeta(x,y,z)=kz\\ \end{cases} \end{equation*}
не имела бы решение. Как отметил Zoo, для вектора трехмерного пространства, эти функции не могут быть линейными. (Интересно, что для четномерных пространств получается (вроде бы), что такие линейные функции существуют.) Однако, сейчас я склонен полагать, что среди нелинейных функций их наверное можно найти.

Добавление 3.
Уже не склонен. Если существует тройка непрерывных функций $(\xi(x,y,z), \eta(x,y,z), \zeta(x,y,z))$ такая, что вышеприведенная система не имеет решение, тогда функции
\begin{equation*} \begin{align} \dfrac{\xi(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\ \dfrac{\eta(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\ \dfrac{\zeta(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\ \end{align} \end{equation*}
осуществляют непрерывное отображение, невозможность которого ниже доказал Someone.

[Yu_K]

А в случае исходного вектора (-4,-2.5,-2) - не понадобится условный оператор?

[Александр Т.]

Yu_K писал(а):

А в случае исходного вектора (-4,-2.5,-2) - не понадобится условный оператор?

Опередили (см. добавление).

[antbez]

А если записать условие ортогональности как равенство нулю скалярного произведения и искать решение, например, в целых числах?

[Yu_K]

Из симметрии следует, что нужно искать функцию трех переменных такую что x*w(x,y,z)+y*w(y,z,x)+z*w(z,x,y)=0 для любых (x,y,z) и w(0,0,0)=0 и которая больше нигде не равна нулю, кроме точки (0,0,0).

Добавил ниже.

Ну а вообще так как предлагает Александр Т. делается в трехмерной графике при построении трехмерной сетки для поверхности вокруг спиральной линии - там берется произвольный фиксированный вектор и ищется его векторное произведение с направляющим вектором спирали. Это не оттуда задача?

[AD]

Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному. Например, такой, как предложил sergey1. А потом можно взять векторное произведение. Вроде бы, всё выполняется.

[Brukvalub]

AD в сообщении #164336 писал(а):

Вроде бы, всё выполняется.

А если х=у=0 и z=1?

[zoo]

AD в сообщении #164336 писал(а):

Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному.

вот именно, или другими словами предъявить линейный оператор, не имеющий собственных векторов, таких операторов в $\mathbb{R}^3$ нет. Это доказывает неразрешимость задачи в линейной постановке

[AD]

Brukvalub в сообщении #164337 писал(а):

А если х=у=0 и z=1?

А, щас, да. То есть предложение sergey1 в этой постановке тоже не проходит, но, все-таки, мне кажется, что наблюдение, что

AD в сообщении #164336 писал(а):

Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному

, немножко хотя бы что-нибудь упрощает.

[Александр Т.]

TOTAL писал(а):

Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

[Brukvalub]

Александр Т. в сообщении #164374 писал(а):

Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

А если х = 0.5 , у=0, z = 1 ?

[Someone]

Обозначим $S^2=\{\vec x\in\mathbb R^3:\|\vec x\|=1\}$.
Предположим, что существует такое непрерывное отображение $f\colon S^2\to S^2$, что векторы $\vec x$ и $f\vec x$ не коллинеарны. Существование такого отображения необходимо и достаточно для решения обсуждаемой задачи.

Для каждого $\vec x\in S^2$ рассмотрим кратчайшую дугу большого круга сферы $S^2$, проходящую через векторы $\vec x$ и $f\vec x$. Построим в точке $\vec x$ единичный касательный вектор к этой дуге, направленный в сторону $f\vec x$. В результате получим непрерывное поле единичных касательных векторов на сфере $S^2$, что, как известно, невозможно. Поэтому в классе непрерывных функций обсуждаемая задача решений не имеет.