2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 10:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 12:25 


14/02/06
285
(-y,x,0)
Это то, что надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 12:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
TOTAL писал(а):
Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

Нет, не выполняется это требование.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 17:12 


06/12/06
347
TOTAL писал(а):
Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

$a=y\zeta-z\eta$
$b=-z\xi+x\zeta$
$c=x\eta-y\xi$
где $(\xi, \eta, \zeta)$ - произвольная тройка чисел такая, что $\xi^2+\eta^2+\zeta^2\ne0$, и не существует такого числа $k$, что
$x=k\xi$
$y=k\eta$
$z=k\zeta$
Чтобы гарантировать выполнение условий для тройки $(\xi, \eta, \zeta)$ без использования условных операторов, можно, например, выбрать
$\xi=x+4$
$\eta=2y+5$
$\zeta=3z+6$

Добавлено:
Увидел, что этот выбор не гарантирует выполнение условий: существует единственный вектор $(x, y, z)$, для которого при этом выборе не выполняется условие $\xi^2+\eta^2+\zeta^2\ne0$.

Пока мне не удалось придумать такой выбор тройки $(\xi, \eta, \zeta)$, чтобы выполнялись условия для нее, и при ее вычислении не использовались условные операторы (включая проверку на ноль). Начал уже сомневаться в том, что это возможно.

Добавление 2.
Как уже отметил ниже AD, задача сводится к тому, чтобы найти такую тройку функций $(\xi(x,y,z), \eta(x,y,z), \zeta(x,y,z))$, чтобы система трех уравнений относительно четырех переменных $x,y,z,k$
\begin{equation*}
\begin{cases}
\xi(x,y,z)=kx\\
\eta(x,y,z)=ky\\
\zeta(x,y,z)=kz\\
\end{cases}
\end{equation*}
не имела бы решение. Как отметил Zoo, для вектора трехмерного пространства, эти функции не могут быть линейными. (Интересно, что для четномерных пространств получается (вроде бы), что такие линейные функции существуют.) Однако, сейчас я склонен полагать, что среди нелинейных функций их наверное можно найти.

Добавление 3.
Уже не склонен. Если существует тройка непрерывных функций $(\xi(x,y,z), \eta(x,y,z), \zeta(x,y,z))$ такая, что вышеприведенная система не имеет решение, тогда функции
\begin{equation*}
\begin{align}
\dfrac{\xi(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\
\dfrac{\eta(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\
\dfrac{\zeta(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\
\end{align}
\end{equation*}
осуществляют непрерывное отображение, невозможность которого ниже доказал Someone.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:09 


02/11/08
1187
А в случае исходного вектора (-4,-2.5,-2) - не понадобится условный оператор?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:19 


06/12/06
347
Yu_K писал(а):
А в случае исходного вектора (-4,-2.5,-2) - не понадобится условный оператор?
Опередили (см. добавление).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:24 


24/11/06
451
А если записать условие ортогональности как равенство нулю скалярного произведения и искать решение, например, в целых числах?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:29 


02/11/08
1187
Из симметрии следует, что нужно искать функцию трех переменных такую что x*w(x,y,z)+y*w(y,z,x)+z*w(z,x,y)=0 для любых (x,y,z) и w(0,0,0)=0 и которая больше нигде не равна нулю, кроме точки (0,0,0).

Добавил ниже.

Ну а вообще так как предлагает Александр Т. делается в трехмерной графике при построении трехмерной сетки для поверхности вокруг спиральной линии - там берется произвольный фиксированный вектор и ищется его векторное произведение с направляющим вектором спирали. Это не оттуда задача?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 21:37 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному. Например, такой, как предложил sergey1. А потом можно взять векторное произведение. Вроде бы, всё выполняется.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 21:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
AD в сообщении #164336 писал(а):
Вроде бы, всё выполняется.
А если х=у=0 и z=1?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 21:50 
Аватара пользователя


02/04/08
742
AD в сообщении #164336 писал(а):
Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному.

вот именно, или другими словами предъявить линейный оператор, не имеющий собственных векторов, таких операторов в $\mathbb{R}^3$ нет. Это доказывает неразрешимость задачи в линейной постановке

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 22:03 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Brukvalub в сообщении #164337 писал(а):
А если х=у=0 и z=1?
А, щас, да. То есть предложение sergey1 в этой постановке тоже не проходит, но, все-таки, мне кажется, что наблюдение, что
AD в сообщении #164336 писал(а):
Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному
, немножко хотя бы что-нибудь упрощает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 23:28 


06/12/06
347
TOTAL писал(а):
Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Александр Т. в сообщении #164374 писал(а):
Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

А если х = 0.5 , у=0, z = 1 ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.12.2008, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Обозначим $S^2=\{\vec x\in\mathbb R^3:\|\vec x\|=1\}$.
Предположим, что существует такое непрерывное отображение $f\colon S^2\to S^2$, что векторы $\vec x$ и $f\vec x$ не коллинеарны. Существование такого отображения необходимо и достаточно для решения обсуждаемой задачи.

Для каждого $\vec x\in S^2$ рассмотрим кратчайшую дугу большого круга сферы $S^2$, проходящую через векторы $\vec x$ и $f\vec x$. Построим в точке $\vec x$ единичный касательный вектор к этой дуге, направленный в сторону $f\vec x$. В результате получим непрерывное поле единичных касательных векторов на сфере $S^2$, что, как известно, невозможно. Поэтому в классе непрерывных функций обсуждаемая задача решений не имеет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group