2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 10:03 
Аватара пользователя
Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 12:25 
(-y,x,0)
Это то, что надо?

 
 
 
 Re: Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 12:28 
Аватара пользователя
TOTAL писал(а):
Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

Нет, не выполняется это требование.

 
 
 
 Re: Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 17:12 
TOTAL писал(а):
Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

$a=y\zeta-z\eta$
$b=-z\xi+x\zeta$
$c=x\eta-y\xi$
где $(\xi, \eta, \zeta)$ - произвольная тройка чисел такая, что $\xi^2+\eta^2+\zeta^2\ne0$, и не существует такого числа $k$, что
$x=k\xi$
$y=k\eta$
$z=k\zeta$
Чтобы гарантировать выполнение условий для тройки $(\xi, \eta, \zeta)$ без использования условных операторов, можно, например, выбрать
$\xi=x+4$
$\eta=2y+5$
$\zeta=3z+6$

Добавлено:
Увидел, что этот выбор не гарантирует выполнение условий: существует единственный вектор $(x, y, z)$, для которого при этом выборе не выполняется условие $\xi^2+\eta^2+\zeta^2\ne0$.

Пока мне не удалось придумать такой выбор тройки $(\xi, \eta, \zeta)$, чтобы выполнялись условия для нее, и при ее вычислении не использовались условные операторы (включая проверку на ноль). Начал уже сомневаться в том, что это возможно.

Добавление 2.
Как уже отметил ниже AD, задача сводится к тому, чтобы найти такую тройку функций $(\xi(x,y,z), \eta(x,y,z), \zeta(x,y,z))$, чтобы система трех уравнений относительно четырех переменных $x,y,z,k$
\begin{equation*}
\begin{cases}
\xi(x,y,z)=kx\\
\eta(x,y,z)=ky\\
\zeta(x,y,z)=kz\\
\end{cases}
\end{equation*}
не имела бы решение. Как отметил Zoo, для вектора трехмерного пространства, эти функции не могут быть линейными. (Интересно, что для четномерных пространств получается (вроде бы), что такие линейные функции существуют.) Однако, сейчас я склонен полагать, что среди нелинейных функций их наверное можно найти.

Добавление 3.
Уже не склонен. Если существует тройка непрерывных функций $(\xi(x,y,z), \eta(x,y,z), \zeta(x,y,z))$ такая, что вышеприведенная система не имеет решение, тогда функции
\begin{equation*}
\begin{align}
\dfrac{\xi(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\
\dfrac{\eta(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\
\dfrac{\zeta(x,y,z)}{\sqrt{\xi^2(x,y,z)+\eta^2(x,y,z)+\zeta^2(x,y,z)}}\\
\end{align}
\end{equation*}
осуществляют непрерывное отображение, невозможность которого ниже доказал Someone.

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:09 
А в случае исходного вектора (-4,-2.5,-2) - не понадобится условный оператор?

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:19 
Yu_K писал(а):
А в случае исходного вектора (-4,-2.5,-2) - не понадобится условный оператор?
Опередили (см. добавление).

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:24 
А если записать условие ортогональности как равенство нулю скалярного произведения и искать решение, например, в целых числах?

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 19:29 
Из симметрии следует, что нужно искать функцию трех переменных такую что x*w(x,y,z)+y*w(y,z,x)+z*w(z,x,y)=0 для любых (x,y,z) и w(0,0,0)=0 и которая больше нигде не равна нулю, кроме точки (0,0,0).

Добавил ниже.

Ну а вообще так как предлагает Александр Т. делается в трехмерной графике при построении трехмерной сетки для поверхности вокруг спиральной линии - там берется произвольный фиксированный вектор и ищется его векторное произведение с направляющим вектором спирали. Это не оттуда задача?

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 21:37 
Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному. Например, такой, как предложил sergey1. А потом можно взять векторное произведение. Вроде бы, всё выполняется.

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 21:38 
Аватара пользователя
AD в сообщении #164336 писал(а):
Вроде бы, всё выполняется.
А если х=у=0 и z=1?

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 21:50 
Аватара пользователя
AD в сообщении #164336 писал(а):
Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному.

вот именно, или другими словами предъявить линейный оператор, не имеющий собственных векторов, таких операторов в $\mathbb{R}^3$ нет. Это доказывает неразрешимость задачи в линейной постановке

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 22:03 
Brukvalub в сообщении #164337 писал(а):
А если х=у=0 и z=1?
А, щас, да. То есть предложение sergey1 в этой постановке тоже не проходит, но, все-таки, мне кажется, что наблюдение, что
AD в сообщении #164336 писал(а):
Достаточно научиться сочинять вектор, не коллинеарный данному
, немножко хотя бы что-нибудь упрощает.

 
 
 
 Re: Нужна формула для ортогонального вектора
Сообщение03.12.2008, 23:28 
TOTAL писал(а):
Для заданного вектора $(x, y, z)$ придумать как можно более простую формулу (без условных операторов), задающую ортогональный ему вектор $(a, b, c)$. Требование к формуле: $a=b=c=0$, только если $x=y=z=0$.

Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 23:31 
Аватара пользователя
Александр Т. в сообщении #164374 писал(а):
Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

А если х = 0.5 , у=0, z = 1 ?

 
 
 
 
Сообщение03.12.2008, 23:55 
Аватара пользователя
Обозначим $S^2=\{\vec x\in\mathbb R^3:\|\vec x\|=1\}$.
Предположим, что существует такое непрерывное отображение $f\colon S^2\to S^2$, что векторы $\vec x$ и $f\vec x$ не коллинеарны. Существование такого отображения необходимо и достаточно для решения обсуждаемой задачи.

Для каждого $\vec x\in S^2$ рассмотрим кратчайшую дугу большого круга сферы $S^2$, проходящую через векторы $\vec x$ и $f\vec x$. Построим в точке $\vec x$ единичный касательный вектор к этой дуге, направленный в сторону $f\vec x$. В результате получим непрерывное поле единичных касательных векторов на сфере $S^2$, что, как известно, невозможно. Поэтому в классе непрерывных функций обсуждаемая задача решений не имеет.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group