Нужна формула для ортогонального вектора

[Александр Т.]

Brukvalub писал(а):

Александр Т. в сообщении #164374 писал(а):

Вроде бы, вот такие, например, формулы удовлетворяют всем требованиям
$a=y$
$b=\dfrac{z}{z^2+1}-x$
$c=-\dfrac{y}{z^2+1}$

А если х = 0.5 , у=0, z = 1 ?

Поспешил.

Была надежда на то, что разрывную функцию трех переменных (для машинного вычисления значений которой необходимо использование условных операторов) можно заменить непрерывной функцией по аналогии с заменой разрывной функции одной переменной с устранимым разрывом непрерывной функцией с использованием "колокола" ($y=(x^2+1)^{-1}$). Однако доказательство, которое привел Someone показало беспочвенность этой надежды.

Someone писал(а):

В результате получим непрерывное поле единичных касательных векторов на сфере $S^2$, что, как известно, невозможно.

Так вот ты какая, Hairy ball theorem.

[Yu_K]

А почему решили сузить класс до непрерывных функций - в начальной постановке ничего не было про непрерывность. Вопрос функция "модуль" может быть использована - или считаем, что она использует условный оператор? Если такой функцией можно пользоваться - то решение существует.

[TOTAL]

Yu_K писал(а):

А почему решили сузить класс до непрерывных функций - в начальной постановке ничего не было про непрерывность. Вопрос функция "модуль" может быть использована - или считаем, что она использует условный оператор? Если такой функцией можно пользоваться - то решение существует.

Если доказали, что непрерывных способов нет, то с модулем не может быть решения.
Приведите решение, которое имеете в виду.

[zoo]

Someone писал(а):

Обозначим $S^2=\{\vec x\in\mathbb R^3:\|\vec x\|=1\}$.
Предположим, что существует такое непрерывное отображение $f\colon S^2\to S^2$, что векторы $\vec x$ и $f\vec x$ не коллинеарны. Существование такого отображения необходимо и достаточно для решения обсуждаемой задачи.

Для каждого $\vec x\in S^2$ рассмотрим кратчайшую дугу большого круга сферы $S^2$, проходящую через векторы $\vec x$ и $f\vec x$. Построим в точке $\vec x$ единичный касательный вектор к этой дуге, направленный в сторону $f\vec x$. В результате получим непрерывное поле единичных касательных векторов на сфере $S^2$, что, как известно, невозможно. Поэтому в классе непрерывных функций обсуждаемая задача решений не имеет.

мне как-то неочевидна непрерывность полученного векторного поля две близкие точки на сфере могут быть перенесены отображением $f$ в близкие почти диаметрально противоположенные исходным точи, при этом могут получиться касательные векторы, торчащие из близких точек и смотрящие почти в разные стороы

[Yu_K]

Тогда давайте найдем - где у меня глюк?

[TOTAL]

Yu_K писал(а):

Тогда давайте найдем - где у меня глюк?

Где перпендикулярный данному вектору вектор?

Добавлено спустя 5 минут 32 секунды:

zoo писал(а):

мне как-то неочевидна непрерывность полученного векторного поля две близкие точки на сфере могут быть перенесены отображением $f$ в близкие почти диаметрально противоположенные исходным точи, при этом могут получиться касательные векторы, торчащие из близких точек и смотрящие почти в разные стороы

Дело в том, что любая точка переносится только на четверть большой окружности.
Так что векторное поле было бы непрерывным.

[Yu_K]

p - исходный вектор, а s - ему перпендикулярный

[zoo]

TOTAL в сообщении #164493 писал(а):

Дело в том, что любая точка переносится только на четверть большой окружности.

почему?

[TOTAL]

zoo писал(а):

TOTAL в сообщении #164493 писал(а):

Дело в том, что любая точка переносится только на четверть большой окружности.

почему?

Так как образ перпендикулярен исходному вектору.

[zoo]

да что-то я про это забыл

[TOTAL]

Yu_K писал(а):

p - исходный вектор, а s - ему перпендикулярный

Пусть $x=k^2/15, y=k/5, z=1, k=105^{1/3}$. Что получим?

[Yu_K]

А так уютен был чертог...

[Someone]

zoo в сообщении #164487 писал(а):

мне как-то неочевидна непрерывность полученного векторного поля две близкие точки на сфере могут быть перенесены отображением $f$ в близкие почти диаметрально противоположенные исходным точи, при этом могут получиться касательные векторы, торчащие из близких точек и смотрящие почти в разные стороы

Угол $\varphi_{\vec x}$ между $\vec x$ и $f\vec x$ является непрерывной функцией на сфере, а так как сфера компактна, эта функция достигает наименьшего и наибольшего значения на некоторых векторах $\vec x_1$ и $\vec x_2$, так что $0<\varphi_{\vec x_1}\leqslant\varphi_{\vec x}\leqslant\varphi_{\vec x_2}<\pi$ для всех $\vec x\in S^2$. Даже это не очень нужно, так как точки разрыва векторного поля могут появиться только там, где $\varphi_{\vec x}=0$ или $\varphi_{\vec x}=\pi$, а таких точек нет по предположению, что $\vec x$ и $f\vec x$ не коллинеарны.